乘法公式-(二)代數(shù)式

第2講代數(shù)式化簡與求值

代數(shù)式是用基本運算符號，將數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子。代數(shù)式的變形、推

導(dǎo)、求值是整個初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的基本功。它綜合了數(shù)學(xué)中的各種常見方法和技巧，既要

求我們對基本的公式及其變形要熟記，同時也要靈活掌握各種解題方法，學(xué)會分析代數(shù)式條

件，建立已知和求解之間的關(guān)系，為將來進一步的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)打下基礎(chǔ)。當(dāng)然，這部分

內(nèi)容也是初中競賽?？嫉膬?nèi)容之一。

--基本概念和公式

a)代數(shù)式的概念

前面我們已經(jīng)講了代數(shù)式是用基本運算符號，將數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子。代數(shù)式

與小學(xué)我們研究的算式不同之處在于字母的出現(xiàn)，因此我們理解代數(shù)式的關(guān)鍵在于字母與參

數(shù)的區(qū)別。直接代入是一種題型，恒等式是一種題型。

b)乘法公式

①)(a+b')2-cr+2ab+b2

②)(a+Z?)3—a3+3a2b+Zab1+b3

③)(?+/7)(?-&)=a2-b~

④)/±/=(a土b)(/ab+b2)

⑤)(a+b+c)2-a2+b2+c2+lab+lac+2bc

⑥)(<2+Z?+c)(tz+白+c~—ab—ac—be)—+b+—3abe

nnYnn

?)(a—b)(優(yōu)T+a"-2b+an-3b-+...+ab--+b-^^a-b

⑧)er+b2+c2±ab±ac+bc=^[(a+b)2+(a±c)2+(Z?±c)2]

二.典型例題

A)直接帶入法

例1已知a為3的倒數(shù)，b為最小的正整數(shù)，求代數(shù)式(a+加2-2(a+b)+3的值

B)特殊值分析一一，恒等式

例2若不論x取什么值，代數(shù)式竺旦(分母不為零)的值都相同，試求a與b的關(guān)系

bx+8

3

解：令x=0帶入，推出代數(shù)式的值為e，再將x=l代入，得3b=8a

8

例3已知

(3%-I),=%%7+4%6+……+,試求％+。6+〃5......+〃2+卬+%的值

解：x=l代入得128

C）整體求值

例4當(dāng)％=3時，代數(shù)式ar5+法+8的值是12,求當(dāng)x=3時，代數(shù)式av3+法一5的值

解：-1

例5已知代數(shù)式加+bx+c,當(dāng)x=0時的值為2；當(dāng)x=3時的值為1；求當(dāng)％=-3時,

代數(shù)式的值？

解：3

D）從已知出發(fā)，消元

例6已知a+Z?=l,求代數(shù)式+3ab+Z?3的值

解：法1,將a=l-b或b=l-a代入，得到1

法2,將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為a+b的形式，得到1

法3,令a=l,b=0,代入a+b=l,滿足已知條件，再代入代數(shù)式中得到1

例7已知a-b=2,Z?-c=1,求代數(shù)式。2+Z?2+。2一的值

解:法1,將a=2+b,c=b-l代入代數(shù)式得到7；

法2,利用乘法公式得到7；

E）從所求出發(fā)，構(gòu)造已知條件代入

,.,11_4一3iz+4-cib+3b,,

例8己知-----=2,求--------------的值

abla-3ab-lb

解：法1,分子分母同除以ab,得到-W；

7

法2,將。代入，得到—"；

2+』7

b

法3,將a=l,b=-l代入,得到—W；

7

例9已知三個正數(shù)”,4c滿足=1,求--—+—-—+—-—的值

ab+a+1be+b+lac+c+1

解：原式

aababc

---------1-----------1—-----------

ab+a+\abc+ab+aabe+abc-\-ab

ab+a+\\+ab+aa+\+ab

=1

例10已知12一%一1=0,證明犬3=2%+1,犬s=5%+3

解：%3=2%+1可以轉(zhuǎn)化為MJ-x-1)=一九2+%+1

F)整式除法

例H已知3爐—%—1=0,求6%3+7%2—5%+1987的值

解：商為2x+3,余數(shù)為1990；所以答案為1990

G)連等一一設(shè)而不求

例12已知=。一=二一，求的值

y+zx+zx+yy+z

解：令=左，推出當(dāng)x+y+z不等于0時，k=0.5；等于0時，得-1。

y+zx+zx+y

H)乘法公式的應(yīng)用

例13若a、b、c都是有理數(shù)，且a+b+c=0,tz3+Z?3+c3=0,試求爐十獷十^的值

解：利用乘法公式：

(a+b+c)(a2+b2+C1-ab-ac-be)=a3+b3+c3-3abc得到3abc=0,因此。，瓦c中

至少有一個為0,不妨設(shè)a=0,則b=-c,代入a5+65+c5=0

例14已知%+1=2,求

x

21

a)x2

x

31

b)xT

X

解：利用乘法公式及xJ=1解題，a)2；b)2；

X

I)雜題

[2

例15已知f—=-,試求—的值

a+a+l6ci+〃+1

解：先分析倒數(shù)，再考慮乘法公式和a1=1；答案為工

a24

三.課后練習(xí)題

練習(xí)1若x為;的倒數(shù)，y為偶質(zhì)數(shù)，求代數(shù)式(x—yy+3(x—y)4+(x—y)2—3的值

解：2

練習(xí)2如果不論x取什么值，代數(shù)式竺二(分母不為零)都得到同樣的值，那么a與b

bx+4

應(yīng)滿足什么條件？

解:4a=3b

練習(xí)3把(A：?一元+1)6展開后得為2%12+〃]]%"+…+%%2+〃1%+%,貝口

42+%0+/++。4+a2+%的值為？

解：將x=l和x=l代入后兩式相加，得到365

Z7b

練習(xí)4已知當(dāng)x=7時，代數(shù)式公§+法一8的值為4,求當(dāng)尤=7時，代數(shù)式上V+2x+3

22

的值？

解：9

練習(xí)5若a、b均為正數(shù)，且=試求一乙+―也的值？

a+1Z?+1

將。=工或6=工代入，得到1；

解：法1,

ba

■將a_而_1；

法2,

a+1ab+b1+b

法3,設(shè)a=2,b=0.5,代入ab=l,滿足已知條件，代入代數(shù)式中得到1

練習(xí)6己知”+工=11+—=1,求c+1的值？

bca

解：由已知條件，解出a,c（都由b表示），代入得到1

,12?44x+3xy+2y_

練習(xí)7已知一+—=2,求-------:-----的值

xy-4^+8xy-2y

解:7/4

練習(xí)8若a,"c,d是四個正數(shù)，且aZ?cd=l,求

abc+ab+a+1bed+be+b+ldac+cd+c+\dab+da+d+l

解：1

練習(xí)9若3f—%=1,求代數(shù)式6/+7/—5X+1999的值

解:2002

練習(xí)10若上=上=二，求x+y+z的值

a-bb-cc-a

解：0

練習(xí)11已知a?+步+。2=。人+匕且a=l,求(a+Z?—。甘毓

解：利用乘法公式：

?2+b2+c2+ab+ac+bc=-^[(a+b)2+(a±c)2+(Z?±c)2]得到a=/?=c=l,所以

(a+6—c