2024年河南省中考數(shù)學類比探究模擬真題解析卷

中考23題類比探究1.(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:AD·BC=AP·BP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題.如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出發(fā),沿邊AB向點B運動,且滿足∠CPD=∠A,設(shè)點P的運動時間為t秒,當DC=4BC時,求t的值.2.（2023年河南省南陽市西峽縣中考數(shù)學二模）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師帶領(lǐng)同學們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．（1）操作判斷：如圖1，先用對折的方式確定矩形的邊的中點，再沿折疊，點落在點處，把紙片展平，延長，與交點為．請寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）遷移思考：如圖2，把按照（1）中的操作進行折疊和作圖，請判斷，這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若，按照（1）中的操作進行折疊和作圖，請直接寫出當時的值．3.（2023平頂山二模郟縣）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，連接DB，將線段DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，連接BE（1）如圖1，當α＝60°時，的值是；∠DCE的度數(shù)為°；（2）如圖2，當α＝90°時，請寫出，并就圖2的情形說明理由；（3）如圖3，當α＝120°時，若AB＝8，請直接寫出點E到CD的距離．4.（2023河南封丘）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“特殊四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．（1）操作判斷：操作一：將圖①所示的正方形紙片沿AE折疊（折痕經(jīng)過頂點A）得到圖②；操作二：將點A折疊到點E，得到圖③，展開得到兩條折痕AE和FG，如圖④；根據(jù)以上操作：AE與FG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）遷移探究：小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將矩形紙片ABCD（圖⑤）按照（1）中的方式操作，得到圖⑥．若AB＝kAD，圖⑥中折痕AE和FG的數(shù)量關(guān)系是，并證明．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，若k＝2，且E為BC的中點，折痕AE和FG相交于P，M是邊AD上一點，，連接MP，過P作MP的垂線與AB相交于點N，如圖⑦，直接寫出NG的長．5.（2023河南輝縣二模）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學實踐課上開展了“四邊形折疊”研究活動．問題情景：在平行四邊形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不與A、D重合）連接BE，將△ABE沿BE折疊（1）初步探究：如圖1，若n＝，α＝90°°，的值是；（2）類比探究：如圖2，n＝1，α＝30°°，的值是；（3）拓展應(yīng)用：若n＝1，AB＝2，請直接寫出△DEF為直角三角形時DF的長．6.（2023河南信陽新縣三模）數(shù)學興趣小組的同學在學習中點知識時，遇到如下一個問題：如圖①，在邊長為4的正方形ABCD中，BF＝1，連接BE，點C，H分別是BE，連接GH，求GH的長．小組成員展開討論小佳同學是這樣思考的：題目中有兩個中點，我想到用中位線，但是這兩個中點所在的線段是交叉狀態(tài)，垂足為P，易證四邊形BCPF是矩形，連接EP，則GH是△BEP的中位線根據(jù)以上信息，請回答以下問題：（1）點H是BP中點的依據(jù)是．（2）請根據(jù)小佳同學的思路寫出具體的證明過程．（3）如圖③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分別是AC，A'C'的中點（不包含頂點），求DD'的長度．7.（河南周口2023三模）綜合與實踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊△ABC和它內(nèi)部一點D，把線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，CE，射線AD，則AD與CE數(shù)量關(guān)系是，∠AFC＝°．（2）類比探究：如圖2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AC邊上一點，過點D作DE∥CB交AB于點E，連接CD′，BE′，設(shè)直線CD′，BE′交于點F；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接寫出答案）．8.（2023洛陽欒川二模）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．9.（2023洛陽市洛龍區(qū)一模）[問題情境]（1）王老師給愛好學習小明和小穎提出這樣一個問題：如圖，在中，，為邊上的任一點，過點作，，垂足分別為，，過點作，垂足為．求證：．小明的證明思路是：如圖，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖，過點作，垂足為，可以證得：，，則．請你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細的證明過程．[變式探究]（2）如圖，當點在延長線上時，問題情境中，其余條件不變，求證：．[結(jié)論運用]（3）如圖，將矩形沿折疊，使點落在點上，點落在點處，點為折痕上的任一點，過點作，，垂足分別為，，若，，求的值．[遷移拓展]圖是一個機器模型的截面示意圖，在四邊形中，為邊上的一點，，，垂足分別為，，且，，，，、分別為，的中點，連接，，請直接寫出與的周長之和．11.（2023洛陽市洛寧縣一模）綜合與實踐（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點的直線折疊，使點落在正方形內(nèi)部的點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角；（2）【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點的對應(yīng)點恰好落在折痕上的點處，連接交于點．度；若，求線段的長；（3）【遷移應(yīng)用】如圖，在矩形，點，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點落在點處，點落在點處，點，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．

12.（2023洛寧三練）綜合與實踐我們在沒有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進行如下操作也可以得到幾個相似的含有30°角的直角三角形．實踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長，將矩形紙片ABCD對折，使點D與點A重合，點C與點B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點H．第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線再次折疊，使CD落在對角線CA上，點D的對應(yīng)點恰好與點H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．（1）在圖②中，______，______；（2）在圖②中，______；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：將上面的矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，點D的對應(yīng)點落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)，若，連接，的長度為m，則m的取值范圍是______．14.（2023南陽內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）綜合與實踐【問題背景】數(shù)學活動課上，老師將矩形按如圖①所示方式折疊，使點與點重合，點的對應(yīng)點為，折痕為，若為等邊三角形．（1）請解答老師提出的問題：試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【實踐探究】（2）小明受到此問題啟發(fā)，將紙片按如圖②所示方式折疊，使點與點重合，折痕為，若,，①試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②若點為的中點，連接，求的長；【問題解決】小亮深入研究小明提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖③，在中，將折疊，使點與點重合，點為折痕所在直線上一點，若，，，請直接寫出線段的長．15.（新鄉(xiāng)長垣二模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學活動．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片，將沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形的內(nèi)部，得到折痕，點B的對應(yīng)點為M，連接；將沿過點A的直線折疊，使與重合，得到折痕，將紙片展平，連接．（1）根據(jù)以上操作，易得點E，M，F(xiàn)三點共線，①；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．深入探究】操作二：如圖2、將沿所在直線折疊，使點C落在正方形的內(nèi)部，點C的對應(yīng)點為N，將紙片展平，連接、．同學們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，當點E在邊上某一位置時（點E不與點B，C重合），點N恰好落在折痕上，此時交于點P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個結(jié)論：①；②．請任意選擇其中一個結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】若正方形紙片的邊長為3，當點N落在折痕或上時，請直接寫出線段的長．16（.2023新鄉(xiāng)原陽一模）已知點C為和的公共頂點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：（1）如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：（2）如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當點B，D，E三點共線時，請直接寫出長．17.（信陽市浉河區(qū)）綜合與實踐：問題情境：數(shù)學活動課上，老師讓同學們拿出大小兩副三角板，按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．問題探究：將三角板繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當點E落在邊上時，延長交于點F，試判斷與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在圖2中，連接，請求出長度；（3）如圖3，G為的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線的距離的最大值是______．18.（2023鄭州金水區(qū)三模）在中，，，點為邊的中點，以為一邊作正方形，（1）如圖1，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為______；（2）在（1）的條件下，①如果正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接、、，線段與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；②正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當以點A，B，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形時．直接寫出線段AF的長．19.（2023鄭外三模）【問題發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．20.（2023周口鹿邑縣三模）小明參加了學校組織的數(shù)學興趣小組，在一次數(shù)學活動課上，他們對兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：（1）將兩塊三角板的直角頂點重合，如圖1，在和中，，，，當點D在線段上時（點D不與點A，B重合），①由題意可得，其依據(jù)是：___________；A．B．C．D．②直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________．（2）將兩塊三角板的銳角頂點重合，如圖2，在和中，，，，點A與線段不在同一直線上，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若不成立，請求出新的數(shù)量關(guān)系；（3）將小三角板的銳角頂點與大三角板的直角頂點重合，如圖3，在和中，，，．將繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當點D落在邊上時，滿足，請直接寫出的長．21.（2023周口沈丘縣一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，四邊形為矩形，，，點在矩形的對角線上，的兩條直角邊、分別交、于點、，當，時，__________（用含、的代數(shù)式表示）；（2）拓展探究在（1）中，固定點，使繞點旋轉(zhuǎn)，如圖2，的大小有無變化？請僅就圖2的圖形給出證明；（3）問題解決如圖3，四邊形為正方形，，點在對角線上，、分別在、上，，當時（是正實數(shù)），直接寫出四邊形的面積是__________（用含，的代數(shù)式表示）．22.（2023周口項城三模）綜合與實踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊和它內(nèi)部一點D，把線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，射線交于點F，則與數(shù)量關(guān)系是___________，__________°．（2）類比探究：如圖2，在等腰中，，點D是邊上一點，過點D作交于點E，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交于點F，探索和的數(shù)量關(guān)系和的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，以為斜邊作等腰直角三角形，若求線段的長（直接寫出答案）．23.（2023駐馬店市某校二模）綜合與實踐數(shù)學活動課上，數(shù)學老師以“矩形紙片的折疊”為課題開展數(shù)學活動：將矩形紙片對折，使得點A，D重合，點B，C重合，折痕為，展開后沿過點B的直線再次折疊紙片，點A的對應(yīng)點為點N，折痕為．（1）如圖（1）若，則當點落在上時，和的數(shù)量關(guān)系是________，的度數(shù)為________．思考探究：（2）在的條件下進一步進行探究，將沿所在的直線折疊，點M的對應(yīng)點為點．當點落在上時，如圖（2），設(shè)，分別交于點J，K．若，請求出三角形的面積．開放拓展：如圖（3），在矩形紙片中，，，將紙片沿過點B的直線折疊，折痕為，點A的對應(yīng)點為點N，展開后再將四邊形沿所在的直線折疊，點A的對應(yīng)點為點P，點M的對應(yīng)點為點，連接，，若，請直接寫出的長．(溫馨提示：，)中考23題類比探究（答案）1.(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:AD·BC=AP·BP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題.如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出發(fā),沿邊AB向點B運動,且滿足∠CPD=∠A,設(shè)點P的運動時間為t秒,當DC=4BC時,求t的值.解析(1)證明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴ADBP∴AD·BC=AP·BP.(2)結(jié)論AD·BC=AP·BP依然成立.理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=∠B=θ,∴∠BPC=∠ADP,∴△ADP∽△BPC,∴ADBP∴AD·BC=AP·BP.(3)∵DC=4BC,AD=BD=5,∴DC=4,BC=1,∠A=∠B,∵∠CPD=∠A,∴∠CPD=∠A=∠B,由(1)(2)的經(jīng)驗可知AD·BC=AP·BP,∴5×1=t(6-t),解得t1=1,t2=5,∴t的值為1或5.2.（2023年河南省南陽市西峽縣中考數(shù)學二模）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師帶領(lǐng)同學們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．（1）操作判斷：如圖1，先用對折的方式確定矩形的邊的中點，再沿折疊，點落在點處，把紙片展平，延長，與交點為．請寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）遷移思考：如圖2，把按照（1）中的操作進行折疊和作圖，請判斷，這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若，按照（1）中的操作進行折疊和作圖，請直接寫出當時的值．（1）連接，四邊形是矩形，，點是的中點，，由折疊知，，，在和中，，，，故答案為：；（2），證明如下：連接，四邊形是平行四邊形，，點是的中點，，由折疊知，，，，，，，，，；（3）四邊形是矩形，，，，令，則，由（1）知，，解得，即的長為．3.（2023平頂山二模郟縣）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，連接DB，將線段DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，連接BE（1）如圖1，當α＝60°時，的值是；∠DCE的度數(shù)為°；（2）如圖2，當α＝90°時，請寫出，并就圖2的情形說明理由；（3）如圖3，當α＝120°時，若AB＝8，請直接寫出點E到CD的距離．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，同理可得：△BDE是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，BD＝BE，∴∠BDE＝∠ABC，∴∠BDA＝∠EBC，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝120°，∴，∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝60°，故答案為：1，60；（2））∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，，同理可得：∠BDE＝40°，，∴∠BDE＝∠ABC，，∴∠BDA＝∠EBC，∴△ABD∽△CBE，∴，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝45°；（3）如圖2，作BF⊥CD于F，作EG⊥CD于G，交CE的延長線于H，在Rt△AEF中，AB＝8，∴AF＝8?cos60°＝5，BF＝8sin60°＝4，在Rt△BDF中，BD＝7，∴DF＝，∴AD＝AF﹣DF＝8，∴CD＝AD+AC＝11，同理（2）可得：，∠BCE＝∠BAD＝60°，∴CE＝AD＝3，在Rt△CDH中，CD＝11，∴DH＝，由S△DCE＝CD?EG＝，11EG＝3，∴EG＝；如圖2，由上知：DF＝8，AF＝4，∴CD＝13，AD＝5AD＝5，∴13EG＝5×，∴EG＝，綜上所述：點E到CD的距離為：或．4.（2023河南封丘）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“特殊四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．（1）操作判斷：操作一：將圖①所示的正方形紙片沿AE折疊（折痕經(jīng)過頂點A）得到圖②；操作二：將點A折疊到點E，得到圖③，展開得到兩條折痕AE和FG，如圖④；根據(jù)以上操作：AE與FG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）遷移探究：小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將矩形紙片ABCD（圖⑤）按照（1）中的方式操作，得到圖⑥．若AB＝kAD，圖⑥中折痕AE和FG的數(shù)量關(guān)系是，并證明．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，若k＝2，且E為BC的中點，折痕AE和FG相交于P，M是邊AD上一點，，連接MP，過P作MP的垂線與AB相交于點N，如圖⑦，直接寫出NG的長．解：（1）由折疊可知AE⊥FG，過點F作FH⊥CD于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠FHG＝90°，F(xiàn)H＝AD＝AB，∵AE⊥FG，∴∠BAE＝∠GFH，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（AAS），∴AE＝FG；故答案為：AE＝FG，AE⊥FG；（2）AE＝kFG．證明：如圖，過點F作AB的垂線，垂足為H．由題意可知FG⊥AE．∵矩形ABCD，F(xiàn)H⊥AB，∴四邊形AHFD為矩形，∴FH＝AD．∵AB＝kAD，∴AB＝kFH．∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠FGA＝∠FGA+∠EAB＝90°，∴∠HFG＝∠EAB．在△HFG和△BAE中，∠HFG＝∠BAE，∠FHG＝∠ABE，∴△HFG∽△BAE，∴，即AE＝kFG．故答案為：AE＝kFG；（3）∵AB＝2AD，E為BC的中點，∴AB＝4BE．∵FG⊥AE，∴∠APG＝∠B＝90°，又∠PAG＝∠BAE，∴△PGA∽△BEA．∴，∴AP＝4PG．∵PM⊥PN，F(xiàn)G⊥AE，∴∠MPA+∠APN＝∠APN+∠NPG＝90°，∴∠MPA＝∠NPG，∵∠MAP+∠PAG＝∠PAG+∠PGA，∴∠MAP＝∠PGA，∴△PMA∽△PNG．∴，∴MA＝4NG，∴．5.（2023河南輝縣二模）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學實踐課上開展了“四邊形折疊”研究活動．問題情景：在平行四邊形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不與A、D重合）連接BE，將△ABE沿BE折疊（1）初步探究：如圖1，若n＝，α＝90°°，的值是；（2）類比探究：如圖2，n＝1，α＝30°°，的值是；（3）拓展應(yīng)用：若n＝1，AB＝2，請直接寫出△DEF為直角三角形時DF的長．解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AB＝，∴＝，在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝∠BFE＝90°，∴∠DFE＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°，在Rt△DEF中，cos∠DEF＝，∵AE＝EF，∴＝；故答案為：30，；（2）如圖，過點D作DG⊥EF于點G，∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，∵∠A＝30°，∴∠ADC＝150°，∵BD為菱形ABCD的對角線，∴∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝75°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠A＝∠F＝30°，∵∠ADB＝∠F+∠DEF，∴∠DEF＝∠ADB﹣∠F＝75°﹣30°＝45°，∴△DEG為等腰直角三角形，∴DG＝EG，DE＝，在Rt△DFG中，∠F＝30°，∴FG＝，∴AE＝EF＝FG+EG＝＝，∴＝＝；故答案為：45，；（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形，①當∠DFE＝90°時，如圖，∴∠BFE＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝BFE＝90°，∴菱形ABCD為正方形，∴BD＝＝，∴DF＝BD﹣FB＝；②當∠DEF＝90°時，如圖，∴∠EDF+∠DFE＝90°，∵∠DAB＝α，AD＝AB，∴∠ADB＝＝，即∠EDF＝，由折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝∠BFE＝α，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣α，∴，解得：α＝120°，∴∠EDF＝＝30°，在Rt△DEF中，∠EDF＝30°，∴DE＝EF＝，DF＝2EF，∴AB＝AE+DE＝＝2，解得：AE＝，∴AE＝EF＝，∴DF＝3EF＝．綜上，當△DEF為直角三角形時或．6.（2023河南信陽新縣三模）數(shù)學興趣小組的同學在學習中點知識時，遇到如下一個問題：如圖①，在邊長為4的正方形ABCD中，BF＝1，連接BE，點C，H分別是BE，連接GH，求GH的長．小組成員展開討論小佳同學是這樣思考的：題目中有兩個中點，我想到用中位線，但是這兩個中點所在的線段是交叉狀態(tài)，垂足為P，易證四邊形BCPF是矩形，連接EP，則GH是△BEP的中位線根據(jù)以上信息，請回答以下問題：（1）點H是BP中點的依據(jù)是．（2）請根據(jù)小佳同學的思路寫出具體的證明過程．（3）如圖③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分別是AC，A'C'的中點（不包含頂點），求DD'的長度．【解答】解：（1）由題意可知：四邊形BCPF是矩形，∴FC＝BP，∵點H是對角線FC的中點，∴HF＝HC＝FC，∴HB＝HP＝BP，∴點H是BP的中點．∴點H是BP中點的依據(jù)是：矩形的對角線平分且相等，故答案為：矩形的對角線平分且相等；（2）如圖①，過點F作FP⊥CD，連接BP，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∵FP⊥CD，∴∠FPC＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四邊形BCPF是矩形，∵點H是對角線FC的中點，∴點H是BP的中點，∵點C是BE的中點，點H是BP的中點，∴CH是△BPE的中位線，∴，∵正方形ABCD邊長為4，點E是AD的中點，∴AD＝DC＝4，ED＝5，∵四邊形BCPF是矩形，∴PC＝BF＝1，∴DP＝3，在Rt△EDP中，由勾股定理得EP＝＝，∴；（3）當點C'落在△ABC邊上時，分兩種情況，落在邊AC上，落在邊AB上，在Rt△ABC中，，BC＝2，∴tanC＝＝＝，∴∠C＝60°，∴AC＝2BC＝4，情況7：當點C'落在邊AC上時，如圖②，由旋轉(zhuǎn)可知：BC＝BC′，∵∠C＝60°，∴△BCC'是等邊三角形，此時點C'恰好與點D重合，且A'C'⊥AB，∵D，D'分別是AC，∴；情況2：方法一：當點C'落在邊AB上時，分別以AC和A'C'為對角線構(gòu)造矩形，如圖③，連接BE，EF，∴點D和點D'為BE，BF的中點，∴DD'是△BEF的中位線，延長FC'，交EC于點G，∴∠FGE＝90°，在Rt△EFG中，，由勾股定理可得，EF＝，∴DD′＝EF＝2；方法二：如圖③，∵矩形ABCE和矩形A'BC'F，∴AC＝BE＝BF＝A'C'，∠FBE＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝AC＝2，∴，∴．綜上所述：當點G'落在△ABC的邊上時（不包含頂點），DD'的長度為2或6．7.（河南周口2023三模）綜合與實踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊△ABC和它內(nèi)部一點D，把線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，CE，射線AD，則AD與CE數(shù)量關(guān)系是，∠AFC＝°．（2）類比探究：如圖2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AC邊上一點，過點D作DE∥CB交AB于點E，連接CD′，BE′，設(shè)直線CD′，BE′交于點F；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接寫出答案）．【解答】解：（1）AD＝CE，60，理由如下：∵等邊△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°，線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，∴∠DBE＝60°，BD＝BE，∴△BDE為等邊三角形，∴DB＝DE＝BE，∠ABD+∠DBC＝60°，∠DBC+∠CBE＝60°，∵∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCF，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故答案為：AD＝CA，60；（2）由題意可知＝＝，∠D′CA＝∠E′AB，∴△D′AC∽△E′AB，∴＝＝＝，∠D′CA＝∠E′AB，∠BFC＝180°﹣（∠ACD′+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠CBD′+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣135°＝45°，∴∠BFC＝45°；（3）+1或，分情況討論，①當點D在AB的上方時，如圖1所示，過點D作DE⊥DC交BA的延長線于點E，∵等腰Rt△ABD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，AD＝BD，∴∠DAE＝∠DBC＝135°，∠EDA+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠EDA＝∠BDC，又∵AD＝BD，∴△EDA≌△CDB（ASA），∴AE＝BC＝6，∵CD＝2，∴EC＝5，∴AB＝﹣1，②當點D在AB的下方時，如圖2所示，同理可得，AB＝+7，∴線段的AB長為+1或．8.（2023洛陽欒川二模）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可．（2）首先過C作CE⊥n于點E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△PAC∽△PBE，即可判斷出PA=PB仍然成立．（3）首先延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△AEF∽△BPF，即可判斷出AF?BP=AE?BF，再個AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，據(jù)此解答即可試題解析：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵點P為線段CD的中點，∴PA=PB．把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖②，過C作CE⊥n于點E，連接PE，，∵三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，∴PD=PE，又∵點P為線段CD的中點，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直線m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l(xiāng)∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB．（3）如圖③，延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，，∵直線m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF?BP=AE?BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA?PB=2k．AB，∴PA?PB=k?AB．9.（2023洛陽市洛龍區(qū)一模）[問題情境]（1）王老師給愛好學習小明和小穎提出這樣一個問題：如圖，在中，，為邊上的任一點，過點作，，垂足分別為，，過點作，垂足為．求證：．小明的證明思路是：如圖，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖，過點作，垂足為，可以證得：，，則．請你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細的證明過程．[變式探究]（2）如圖，當點在延長線上時，問題情境中，其余條件不變，求證：．[結(jié)論運用]（3）如圖，將矩形沿折疊，使點落在點上，點落在點處，點為折痕上的任一點，過點作，，垂足分別為，，若，，求的值．[遷移拓展]圖是一個機器模型的截面示意圖，在四邊形中，為邊上的一點，，，垂足分別為，，且，，，，、分別為，的中點，連接，，請直接寫出與的周長之和．【詳解】（1）證明：小明的證明：連接，如圖，∵，，，∴，∴，∵，∴．小穎的證明：過點作，垂足為，如圖，∵，，，∴，∴四邊形矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）證明：小明的證明：連接，如圖，∵，，，∴，∴，∵，∴．小穎的證明：過點作，垂足為，如圖，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．（3）解：過點作，垂足為，如圖，∵四邊形是矩形，∴，，，，又∵，∴，由折疊有，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，由問題情景中的結(jié)論可得：，∴．∴的值為．（4）解：延長，交于點，過點作，垂足為，如圖⑤，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由問題情景中的結(jié)論可得：，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：∴，∴，∴，∴，∵，、分別為，的中點，∴，，∴與的周長之和為，∴與的周長之和．11.（2023洛陽市洛寧縣一模）綜合與實踐（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點的直線折疊，使點落在正方形內(nèi)部的點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角；（2）【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點的對應(yīng)點恰好落在折痕上的點處，連接交于點．度；若，求線段的長；（3）【遷移應(yīng)用】如圖，在矩形，點，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點落在點處，點落在點處，點，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．

【小問1詳解】結(jié)論:，理由：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，∴，∴【小問2詳解】∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，，∴，由()得:，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，，，∴，在中，，∴，∴，【小問3詳解】如圖中，上取一點，使得，過點作于點，交于點，連接，當時，，，∵，∴，∴，∴，∴，由()可知，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴，當時,同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為：或．12.（2023洛寧三練）綜合與實踐我們在沒有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進行如下操作也可以得到幾個相似的含有30°角的直角三角形．實踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長，將矩形紙片ABCD對折，使點D與點A重合，點C與點B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點H．第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線再次折疊，使CD落在對角線CA上，點D的對應(yīng)點恰好與點H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．（1）在圖②中，______，______；（2）在圖②中，______；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：將上面的矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，點D的對應(yīng)點落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)，若，連接，的長度為m，則m的取值范圍是______．【小問1詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴DC=AB=，，∵點D的對應(yīng)點D′恰好與點H重合，∴，∵矩形紙片ABCD對折，使點D與點A重合，點C與點B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點H，∴，，，∴，∴，，即，∴；在中，，根據(jù)折疊可知，，，設(shè)=x，，在Rt中，，即，解得：，∴，，∴；故答案為：；．【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴空白處可以填A(yù)E或CF或BF或DE．故答案為：AE或CF或BF或DE（填其中任意一條即可）．【小問3詳解】∵在將上面的矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，點D的對應(yīng)點在以點C為圓心，以CD為半徑的圓上，∴當點在AC上時，最小，即的最小值為AH，∴，∵點落在矩形的內(nèi)部或一邊上，∴當點在點D時，最大，∵0°<α≤90°，∴最大無法取到最大值3，∴，綜上分析可知，m的取值范圍是．故答案為：．13.（2023南陽南召三模）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如圖1放置，和重合．【操作一】三角板保持不變，將三角板繞著點以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．當它完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．（1）當時，______度．（2）求t為何值時，．【操作二】如圖2，在三角板繞著點B以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，三角板也繞著點B以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（）．（3）求t為何值時，與重合．（4）試探索：在兩個三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得與中其中一個角是另一個角的兩倍？若存在，請求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請說明理由．【小問1詳解】解：當時，，，，故答案為：；【小問2詳解】解：由題意，當旋轉(zhuǎn)到時，旋轉(zhuǎn)角度為或，∴或，故當或13時，；【小問3詳解】解：由題意，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，∵，∴當與重合時，，解得：；【小問4詳解】解：當與重合前時，若，如圖2，則，∴，解得；若，如圖，則，∴，解得；當與重合后，如圖，則，∴，解得，綜上，滿足條件的t值為2或4或12．14.（2023南陽內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）綜合與實踐【問題背景】數(shù)學活動課上，老師將矩形按如圖①所示方式折疊，使點與點重合，點的對應(yīng)點為，折痕為，若為等邊三角形．（1）請解答老師提出的問題：試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【實踐探究】（2）小明受到此問題啟發(fā)，將紙片按如圖②所示方式折疊，使點與點重合，折痕為，若,，①試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②若點為的中點，連接，求的長；【問題解決】小亮深入研究小明提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖③，在中，將折疊，使點與點重合，點為折痕所在直線上一點，若，，，請直接寫出線段的長．【小問1詳解】．理由如下：∵為等邊三角形，∴．∴．設(shè)．在中，．∵矩形沿折疊，∴．∴．∵四邊形是矩形，∴．∴．【小問2詳解】①為等腰直角三角形．理由如下：∵沿折疊，點與點重合，∴是線段的垂直平分線，．∴．∴．∴．∴為等腰直角三角形．②根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知．∵點是的中點，∴．∴．【小問3詳解】或．理由如下：①當點在內(nèi)部時．如圖所示，過點作于點，折痕為直線，點為折痕上一點，過點作于點，作于點，連接，，．∵，兩點關(guān)于折痕對稱，，∴，．∴．∵，，∴點為中點．∴．∴．∵，，，∴四邊形為矩形，．∴．∵，∴．在和中，∴．∴，．∴四邊形為正方形．∴．設(shè)．∴，．∴．∴．∴．∴．②當點在外部時．如圖所示，過點作于點，折痕為直線，點為折痕上一點，過點作于點，作于點，連接，，．根據(jù)①的證明過程，同理可得，四邊形為正方形．設(shè)．∴，．∴．∴．∴．∴．綜上所述，BD的長為或．15.（新鄉(xiāng)長垣二模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學活動．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片，將沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形的內(nèi)部，得到折痕，點B的對應(yīng)點為M，連接；將沿過點A的直線折疊，使與重合，得到折痕，將紙片展平，連接．（1）根據(jù)以上操作，易得點E，M，F(xiàn)三點共線，①；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．深入探究】操作二：如圖2、將沿所在直線折疊，使點C落在正方形的內(nèi)部，點C的對應(yīng)點為N，將紙片展平，連接、．同學們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，當點E在邊上某一位置時（點E不與點B，C重合），點N恰好落在折痕上，此時交于點P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個結(jié)論：①；②．請任意選擇其中一個結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】若正方形紙片的邊長為3，當點N落在折痕或上時，請直接寫出線段的長．【小問1詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，即，∴，∵，∴；故答案為45；；【小問2詳解】解：選擇結(jié)論①，結(jié)論①是正確的，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)，可知，，，，又，，由（1）得，是等腰直角三角形，，，，，；或選擇結(jié)論②，結(jié)論②是正確的，理由如下：由折疊的性質(zhì)，可知，，，，∴，∵，∴等腰直角三角形，，，，，，，，，；【小問3詳解】解：由題意可知：①當點N落在折痕上時，如題圖3所示，由（2）可知，；②當點N落在折痕上時，如解圖所示，設(shè)，則，由（2）可知是等腰直角三角形，，在中，由勾股定理得：，解得或（舍去），；綜上所述，線段的長為或．

16（.2023新鄉(xiāng)原陽一模）已知點C為和的公共頂點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：（1）如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：（2）如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當點B，D，E三點共線時，請直接寫出長．【小問1詳解】解：如圖1，延長交延長線于點．和都是等邊三角形，，，，，，，．∵，．綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是．故答案為：，；【小問2詳解】①不成立，；②成立．理由：如圖2，延長交的延長線于點．，，∴，，，，，，．∵，．綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；【小問3詳解】的長為或．如圖3，當點落在線段上時．，，，，，，．，，；如圖4，當點落在線段上時，同理可得．綜上所述，的長為或．17.（信陽市浉河區(qū)）綜合與實踐：問題情境：數(shù)學活動課上，老師讓同學們拿出大小兩副三角板，按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．問題探究：將三角板繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當點E落在邊上時，延長交于點F，試判斷與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在圖2中，連接，請求出長度；（3）如圖3，G為的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線的距離的最大值是______．【小問1詳解】解：，理由：如圖2，由題意得，，∴，，∴；【小問2詳解】解：如圖2，連接，∵，，，∴，∴，∴在中，；【小問3詳解】解：如圖3，取的中點，連接，則，∵G為的中點，∴為的中位線，∴，∴點G在以點O為圓心，為半徑的圓上，過O作于N，當點G在的延長線上時，點G到的距離最大，如圖，∵，∴點G到直線的距離的最大值是，故答案為：．18.（2023鄭州金水區(qū)三模）在中，，，點為邊的中點，以為一邊作正方形，（1）如圖1，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為______；（2）在（1）的條件下，①如果正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接、、，線段與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；②正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當以點A，B，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形時．直接寫出線段AF的長．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，根據(jù)勾股定理得，BC＝AB，∵點D為BC的中點，∴AD＝BC＝，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD∵BE＝AB，∴BE＝AF，故答案為:（2）①無變化理由如下：在中，∵∴∴在正方形中，在中，∴∵∴∴∴∴∴∴線段與的數(shù)量關(guān)系無變化②如圖，當點F在BC邊上時，此時，點F是BC邊的中點，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=3∴∴如圖，當點F在BC邊的延長線上時，過點A作AG⊥BC于點G，由①知，AG=CD=CG=CF=在Rt△AGF中，AG=,GF=GC+CF=++=∴AF=綜上，線段AF的長為或．19.（2023鄭外三模）【問題發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】于點，于點，，，，，，，，，，故答案為：3．解：【操作探究】對，證明：于點，于點，，，，，，