北京市西城外國語學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

北京市西城外國語學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．電視臺某節(jié)目組要從名觀眾中抽取名幸運觀眾．先用簡單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取人，則在人中，每個人被抽取的可能性（）A．都相等，且為 B．都相等，且為C．均不相等 D．不全相等2．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．3．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，則B．，則C．，則D．，則4．若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0A．(-∞,0)∪(1,+∞) B．(0,1) C．(-∞,0]∪(1,+∞)5．若向量與向量不相等，則與一定（）A．不共線 B．長度不相等 C．不都是單位向量 D．不都是零向量6．已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．32021-18 B．320207．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知平面平面，，點，，直線，直線，直線，，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）A． B． C． D．9．設(shè)有直線和平面，則下列四個命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，l∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α10．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個周期的圖象，則f(1)=__________.12．方程組的增廣矩陣是________.13．已知，則的最小值是_______.14．角的終邊經(jīng)過點，則___________________．15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，成等比數(shù)列，且，則________.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則=___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．化簡.18．已知函數(shù)的定義域為R（1）求的取值范圍；（2）若函數(shù)的最小值為，解關(guān)于的不等式。19．如圖1所示，在四邊形中，，且，，．（1）求的面積；（2）若，求的長．圖1圖220．設(shè)，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數(shù)列），則稱數(shù)列是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.（3）對任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由21．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點，且，，.（1）求證：平面；（2）若點為線段上一點，且，求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)隨機(jī)抽樣等可能抽取的性質(zhì)即可求解.【詳解】由隨機(jī)抽樣等可能抽取，可知每個個體被抽取的可能性相等，故抽取的概率為.故選：A【點睛】本題考查了隨機(jī)抽樣的特點，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．3、D【解析】

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可.【詳解】兩平行平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系為：平行或異面，可知錯誤；且，此時或，可知錯誤；，，，此時或，可知錯誤；兩平行線中一條垂直于一個平面，則另一條必垂直于該平面，正確.本題正確選項：【點睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查學(xué)生對于定理的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由題意，得出a≠0，再分析不等式開口和判別式，可得結(jié)果.【詳解】由題，因為為一元二次不等式，所以a≠0又因為ax所以a>0Δ=故選B【點睛】本題考查了一元二次不等式解法，利用二次函數(shù)圖形解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由方向相同且模相等的向量為相等向量，再逐一判斷即可得解.【詳解】解：向量與向量不相等，它們有可能共線、有可能長度相等、有可能都是單位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即選項A、B、C錯誤，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了相等向量的定義，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由題意得出3n+1-12<an+2【詳解】∵an+1-又∵an+2-∵an∈Z，∴于是得到a3上述所有等式全部相加得a2019因此，a2019【點睛】本題考查數(shù)列項的計算，考查累加法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題中條件構(gòu)造出等式an+27、C【解析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時求出實數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗證，由此解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點睛】本題考查二次不等式在上恒成立問題，求解時根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)和判別式的符號列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.8、D【解析】

平面外的一條直線平行平面內(nèi)的一條直線則這條直線平行平面，若兩平面垂直則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直另一個平面，主要依據(jù)這兩個定理進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】如圖所示：由于，，，所以，又因為，所以，故A正確，由于，，所以，故B正確，由于，，在外，所以，故C正確；對于D，雖然，當(dāng)不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正確；故答案選D【點睛】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷以及性質(zhì)應(yīng)用，要求熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．9、D【解析】

在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m與β相交；在D中，由直線與平面垂直的性質(zhì)與判定定理可得m∥α．【詳解】由直線m、n，和平面α、β，知：對于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；對于中，若α⊥β，α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯誤；對于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線與平面垂直的性質(zhì)與判定定理得m∥α，故D正確．故選D．【點睛】本題考查了命題真假的判斷問題，考查了空間線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定定理及推論的應(yīng)用，體現(xiàn)符號語言與圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，是中檔題．10、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

由三角函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求解的值，得到答案.【詳解】由三角函數(shù)圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫出增廣矩陣.【詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數(shù)以及常數(shù)項構(gòu)成的矩陣，故方程組的增廣矩陣是.故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組與增廣矩陣的關(guān)系，需理解增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題.13、3【解析】

根據(jù)，將所求等式化為，由基本不等式，當(dāng)a=b時取到最小，可得最小值?！驹斀狻恳驗?，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.【點睛】本題考查基本不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，并且要注意取最小值時等號能否成立。14、【解析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數(shù)定義求解.【詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【點睛】設(shè)始邊為的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過任意一點,則：15、【解析】

A,B,C是三角形內(nèi)角，那么，代入等式中，進(jìn)行化簡可得角A,C的關(guān)系，再由，，成等比數(shù)列，根據(jù)正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，兩式相減可得關(guān)于的方程，解方程即得．【詳解】因為，所以，所以.因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，則，整理得，解得.【點睛】本題考查正弦定理和等比數(shù)列運用，有一定的綜合性．16、【解析】試題分析：因為和關(guān)于軸對稱，所以，那么，（或），所以.【考點】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，即可得到答案.【詳解】原式.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應(yīng)用.18、（1）；（2）【解析】

（1）由的定義域為可知，，恒成立，即可求出的范圍.（2）結(jié)合的范圍，運用配方法，即可求出的值，進(jìn)而求解不等式.【詳解】（1）由已知可得對，恒成立，當(dāng)時，恒成立。當(dāng)時，則有，解得，綜上可知，的取值范圍是[0，1]（2）由（1）可知的取值范圍是[0，1]顯然，當(dāng)時，，不符合.所以，，，由題意得，，，可化為，解得，不等式的解集為?！军c睛】主要考查了一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍，配方法以及一元二次不等式求解問題，屬于中檔題.對任意實數(shù)恒成立的條件是；而任意實數(shù)恒成立的條件是.19、（1）；（2）．【解析】

（1）利用已知條件求出D角的正弦函數(shù)值，然后求△ACD的面積；

（2）利用余弦定理求出AC，通過，利用余弦定理求解AB的長．【詳解】（1）因為，，所以，又，所以，所以．（2）由余弦定理可得，因為，所以，解得．【點睛】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，基本知識的考查，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；

（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結(jié)合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發(fā)現(xiàn)多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結(jié)論得證.【詳解】解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”

否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，

，又與矛盾，所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；

（2）證明：設(shè)，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當(dāng)時，總成立．

如果取適當(dāng)?shù)?，使得，又?/p>

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側(cè)展開為關(guān)于的多項式，最高次項為，其次數(shù)為，

故，對于任意給定正整數(shù)，當(dāng)充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.【點睛】本題要求學(xué)生能夠從已知分析出“弱等差數(shù)列”要想成立所應(yīng)該具備的要求，進(jìn)而進(jìn)行推理，轉(zhuǎn)化，最后進(jìn)行驗證，本題難度相當(dāng)大.21、（1）見解析（2）6【解析】

（1）連接交于點，得出點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過作交于，由平面，得出平面，可而