遼寧省教研聯(lián)盟2024屆高三調(diào)研測試（二模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省教研聯(lián)盟2024屆高三調(diào)研測試（二模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，因為，，所以，故，故,所以,所以.故選：C.2.設(shè)，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由復(fù)數(shù)，可得.故選：A.3.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（）A.366 B.422 C.450 D.600〖答案〗C〖解析〗由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為，可得該數(shù)列的偶數(shù)項的通項公式為，所以此數(shù)列的第30項為.故選：C.4.有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加亞運會志愿者服務(wù)工作，現(xiàn)需將四人隨機分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記甲、乙在同一組為事件，將四人隨機分成三組，每組至少一人的分法為，其中甲、乙在同一組包含基本事件個數(shù)為，所以甲、乙在同一組的概率．故選：A．5.若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選：B.6.已知函數(shù)的零點分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的圖象，如圖，由圖象可知，，所以.故選：D7.已知的外接圓半徑為2，且內(nèi)角滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，得，即，則，由，解得，由正弦定理知.故選：D.8.已知，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，即，易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：D二、選擇題9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.的定義域為 B.的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱C.的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗因為，則，解得，所以的定義域為，故A正確；因為，即為奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于原點對稱，故B錯誤，C正確；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ACD.10.設(shè)，為橢圓：兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗如下圖所示，設(shè)切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．11.在棱長為2的正方體中，點E，M分別為線段，的中點，點N在線段上，且，則（）A.平面EMN截正方體得到的截面多邊形是矩形B.平面平面C.存在，使得平面平面D.當(dāng)時，平面EMN截正方體得到的截面多邊形的面積為〖答案〗ABC〖解析〗如圖，連接，，，則，由正方體的性質(zhì)可得點E是側(cè)面的中心，點M是正方體的中心，所以連接EM并延長交側(cè)面于點P，則點P是側(cè)面的中心，且．設(shè)平面EPN交于點F，交AD于點G，交BC于點H，連接NF，GH，因為平面平面，所以，．因為，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，易知，所以，所以平面EMN截正方體得到的截面多邊形NFGH是矩形，A正確；因為點M是正方體的中心，所以，M，B三點共線，所以平面即為平面，因為，，，AB，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，B正確；當(dāng)時，點N與點重合，平面EMN即為平面，由B選項可知平面平面，即平面平面EMN，C正確；當(dāng)時，，則，又，，所以截面多邊形NFGH的面積為，D錯誤．故選:ABC．三、填空題12.設(shè)為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若，則點的橫坐標(biāo)為__________．〖答案〗4〖解析〗設(shè)，由，得，所以，解得．故〖答案〗為：4.13.設(shè)是數(shù)列的前項和，，令，則數(shù)列的前121項和為______.〖答案〗〖解析〗由數(shù)列的前項和，當(dāng)時，可得，兩式相減，可得，即，即，當(dāng)時，，可得，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)的前121項和為.故〖答案〗為：.14.某運動員在亞運會田徑比賽中準(zhǔn)備參加100米、200米兩項比賽，根據(jù)以往成績分析，該運動員100米比賽未能獲得獎牌的概率為，200米比賽未能獲得獎牌的概率為，兩項比賽都未能獲得獎牌的概率為，若該運動員在100米比賽中獲得了獎牌，則他在200米比賽中也獲得獎牌的概率為_______________.〖答案〗〖解析〗設(shè)在200米比賽中獲獎為事件，在100米比賽中獲獎為事件，則,所以，則,所以該運動員在100米比賽中獲獎，在200米比賽中也獲獎的概率是.故〖答案〗為：.四、解答題15.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，記數(shù)列的前n項和為，且，求n的最大值.解：（1）因為，則，，，由為等差數(shù)列，所以，即，化簡可得，因為，所以且，所以，則，所以，則.（2）因為，則，由（1）可知，則，由可得，解得，且，所以n的最大值為.16.某大型體育賽事首日火炬?zhèn)鬟f共有106名火炬手參與.（1）組委會從火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；（2）在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽，某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？（1）解：零假設(shè)為：全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒有關(guān)聯(lián)，根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，所以根據(jù)小概率的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，所以可以認(rèn)定為成立，即認(rèn)為全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒有關(guān)聯(lián).（2）解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手時男性的概率約為.17.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，，G為線段PD中點，，O為AD中點.（1）求證：平面平面ABCD；（2）M為線段PA上一點，且，求平面BCM與平面POC所成角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，則，，又，所以，設(shè)，又，，所以，因為，所以，所以，又在中，，而在中，，所以為直角三角形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：連接，因為，所以，又，所以平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為為等邊三角形，，所以，因為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，所以，且易知平面的一個法向量為，則，則，所以平面BCM與平面POC所成角的余弦值為0.18.彗星是太陽系大家庭里特殊的一族成員，它們以其明亮的尾巴和美麗的外觀而聞名，它的運行軌道和行星軌道很不相同，一般為極扁的橢圓形、雙曲線或拋物線.它們可以接近太陽，但在靠近太陽時，由于木星、土星等行星引力的微繞造成了軌道參數(shù)的偏差，使得它軌道的離心率由小于1變?yōu)榇笥诨虻扔?，這使得少數(shù)彗星會出現(xiàn)“逃逸"現(xiàn)象，終生只能接近太陽一次，永不復(fù)返.通過演示，現(xiàn)有一顆彗星已經(jīng)“逃逸”為以太陽為其中一個焦點離心率為的運行軌道，且慧星距離太陽的最近距離為.（1）求彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線的兩個頂點分別為，，過，作雙曲線的切線，，若點P為雙曲線上的動點，過P作雙曲線的切線，交實軸于點Q，記直線與交于點M，直線交于點N.求證：M，N，Q三點共線.（1）解：由題意知，彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線，不妨設(shè)雙曲線的焦點在上，設(shè)其方程為，因為雙曲線的離心率為，可得，即，又因為慧星距離太陽的最近距離為，可得，解得，可得，所以彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）證明：不妨設(shè)點在第一象限，由雙曲線，可得，則，所以，即切線的斜率為，則切線方程為且，可得，令，可得，即點的坐標(biāo)為，又由過，可得切線，，因為，所以的方程為，的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，再聯(lián)立方程組，解得，即，則，且，所以，所以三點共線..19.已知函數(shù)，（，）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）