湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，先將自己的班級、姓名、準考證號寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上相應題目的〖答案〗標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結束后，將答題卡上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出得四個選項中，只有一項是符合題目要求得．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，所以有．故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗為純虛數(shù)，故，所以．故選：B3.根據(jù)與之間的一組數(shù)據(jù)求得兩個變量之間的經(jīng)驗回歸方程為，已知數(shù)據(jù)的平均值為1.2，則數(shù)據(jù)的平均值為（）A.2.6 B.2.3 C.1.8 D.1.5〖答案〗A〖解析〗將代入回歸直線方程，可得．故選：A.4.已知為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C.8 D.6〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，當且僅當，即時，等號成立．故選：C5.是圓上的動點，則點到直線的距離最大值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圓，可知圓心的坐標為，半徑為，由，可得，所以直線恒過定點．故圓心到直線的最大距離為，圓上的動點到直線的最大距離為．故選：D.6.井字棋起源于古希臘，是一種在格子上進行的連珠游戲，其玩法與五子棋類似．兩名玩家分別持不同棋子輪流在九個格子中落子，直到某位玩家的三顆棋子在同一條直線上后游戲結束，該玩家獲勝．小明與小紅進行井字棋游戲，小明執(zhí)黑棋先下，小紅執(zhí)白棋．若當棋盤上剛好下滿5個棋子時游戲結束，則棋盤上的棋子的分布情況共有幾種（）A.144 B.120 C.96 D.90〖答案〗B〖解析〗當棋盤中恰好有5顆棋子時游戲結束，則說明贏方的三顆棋子連成了一條直線，共有8種情況．（橫三種，縱三種，斜兩種），棋盤上剩余6個空格，其中兩個空格要放輸方的白棋，共有種．故此時棋子的分布情況共有種.故選：7.雙曲線的左、右焦點分別為為坐標原點，為雙曲線右支上的一點，連接交左支于點．若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，由雙曲線的定義可知：，所以，又有，因為，即手，所以則為等邊三角形，，由余弦定理可得：，解得．故選：B8.已知，過點可作曲線的兩條切線，切點為，．求的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，設切點坐標為，則曲線在該點處的切線方程為：，又在切線上，即，則方程有兩不同解，令，易知時，單調遞增不合理，故．當時，，當時，單調遞減，時，單調遞增，故為極小值；要使有兩解，則，即，令在上單調遞增，又因為，所以易知，又因為為方程的解，故有，代入可得，故所求取值范圍為．故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列前項和為，下列說法正確的有（）A.等差數(shù)列，若，則，其中B.等比數(shù)列，若，則，其中C.若等差數(shù)列，則成等差數(shù)列D.若等比數(shù)列，則成等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗選項A為等差數(shù)列下標和的性質，故選項A正確；當時，成立，當為常數(shù)列時，反之不成立，故選項B錯誤；選項C中，設d為公差，為等差數(shù)列，故選項C正確；當時，，此時選項D的表述錯誤，故選項D錯誤.故選：AC.10.已知，則下列描述正確的是（）A. B.除以5所得的余數(shù)是1C.中最小為 D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，當時，，當時，可得，故，故A不正確；對于B，，除最后一項外，其余項都可以被5整除，故余數(shù)為1，故B正確；對于C，二項式系數(shù)，可知奇數(shù)項小于零，偶數(shù)項大于零，則最小必然在奇數(shù)項中產(chǎn)生，，所以最小的為，故C正確；對于D，，則有，故D錯誤．故選：BC.11.正方體，棱長為2，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，的最小值為B.當與面所成角為時，則點的軌跡長度為C.當時，的最小值為D.當時，過三點的平面與正方體的截面面積的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如圖1所示，當時，點在上運動，在等邊中，的最小值為邊上的高，故最小值為，故A正確；對于B，如圖2所示，當與平面所成角為時，易知，所以為與平面所成角，所以，故的軌跡為，故長度為，故B正確；對于C，如圖3，當時，在線段上運動，對于，將平面與平面展開并繞旋轉到同一平面，如圖4所示：此時在三點共線時取最小值，為與的交點，過點作的垂線，垂足為點，此時，故C錯誤；對于D，如圖5所示，點在正方形的邊與中點連線上運動，將截面補充完整，則截面為面，由對稱性可得四邊形為平行四邊形，故，其中為到的距離．當在或處時，此時到的距離最大為；當在中點或中點時，有最小距離，故截面面積的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，且，則_________．〖答案〗0.4〖解析〗由隨機變量服從得，故〖答案〗：0.413.長期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困擾教師們的職業(yè)?。畵?jù)調查，某校大約有的教師患有慢性咽喉炎，而該校大約有的教師平均每天沒有超過兩節(jié)課，這些人當中只有的教師患有慢性咽喉炎．現(xiàn)從平均每天超過了兩節(jié)課的教師中任意調查一名教師，則他患有慢性咽喉炎的概率為_________．〖答案〗0.6〖解析〗設所求的概率為，由全概率公式得，，得．故〖答案〗為：.14.已知是正項數(shù)列，其前項的和為，且滿足表示不超過的最大整數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為_________．〖答案〗〖解析〗當時，，解得當時，，變形得，所以是公差為等差數(shù)列，所以，所以，所以有；①當為正整數(shù)時，，此時；②當為正整數(shù)時，，此時恒成立；當時，有最大值，此時恒成立，為正整數(shù)，故，綜上的取值范圍是．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，為下圓周上的動點，為圓柱母線．（1）證明：平面平面；（2）若點到平面的距離為，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為為直徑，所以，因為為母線，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又且，所以為平行四邊形，所以，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）過點作，交于點，因為，平面，平面，所以平面，因為點到平面距離為，所以點到平面的距離為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，所以到的距離為，即，因為，，所以在中，，所以，在中，，所以，則，設圓柱的母線長為，則四棱錐體積，解得，在底面內以為原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標系．則，，，，則，設平面的法向量為，則，即，取，設平面的法向量為，則，即，取，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為．16.已知．且，函數(shù)的最小正周期為．（1）求函數(shù)的〖解析〗式與單調遞增區(qū)間；（2）在銳角中，內角的對邊分別是，點在上，且平分，求的周長．解：（1）由題可得，因為，所以，即，所以，因為的周期為，故，所以.由，故單調遞增區(qū)間為：；（2）因為且為三角形內角，即，故或，又因為三角形為銳角三角形，故，因為，如圖所示.所以，即，由余弦定理可得，即，代入，可得，解得或（舍去），故的周長為．17.如圖，點在圓上運動且滿足軸，垂足為點，點在線段上，且，動點的軌跡為．（1）求曲線的方程；（2）已知，過動直線交曲線于兩點（點在軸上方）分別為直線與軸的交點，是否存在實數(shù)使得？說明理由．解：（1）設點的坐標為，點，由題意可知，則由題可得，即，點在圓上運動，，即的軌跡方程為（2）易知直線的斜率不為0，設方程為，由，得，設，則，直線的方程，得，直線的方程，得，由此得，，又因為，即，所以，所以存在實數(shù)，使得．18.二項分布是離散型隨機變量重要的概率模型，在生活中被廣泛應用．現(xiàn)在我們來研究二項分布的簡單性質，若隨機變量．（1）證明：（?。ǎ遥?，其中為組合數(shù)；（ⅱ）隨機變量的數(shù)學期望；（2）一盒中有形狀大小相同的4個白球和3個黑球，每次從中摸出一個球且不放回，直到摸到黑球為止，記事件A表示第二次摸球時首次摸到黑球，若將上述試驗重復進行10次，記隨機變量表示事件A發(fā)生的次數(shù)，試探求的值與隨機變量最有可能發(fā)生次數(shù)的大小關系．解：（1）（?。┮驗椋?，所以；（ⅱ）因為，，可得，令，則.（2）由題意可知：，又因為隨機變量，所以，因為，假設時，其概率最大，則，解得，可知，所以其數(shù)學期望小于最有可能發(fā)生的次數(shù)．19.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，注：階導數(shù)指對