廣東省2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題（〖解析〗版）一?選擇題1.以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競賽10人的成績：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個成績的第75百分位數(shù)是（）A.90 B.89 C.88 D.88.5〖答案〗A〖解析〗從小到大排序這10個數(shù)據(jù)為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因?yàn)?，所以這10個成績的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)90.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，若，則對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，可得，所以對?yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的首項(xiàng)（）A.3 B.2 C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，即，所以，又因?yàn)?，可得，即，?lián)立解得，.故選：B.4.已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由選項(xiàng)可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為，對于選項(xiàng)D：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；對于選項(xiàng)C：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除C；對于選項(xiàng)B：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除B.故選：A.5.若正數(shù)，滿足：，則的最大值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，為正?shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號.故選：B.6.在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可得，由題意可知：關(guān)于A的方程：在有兩解，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線，和水平直線，因?yàn)樗鼈冇袃蓚€不同的交點(diǎn)，所以，所以.故選：C.7.在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得，，顯然，而，即，又，因此，，有，，顯然點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故選：B8.在半徑為的半球內(nèi)放入一個正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四個頂點(diǎn)位于半球面上，下底面與半球的大圓面重合，則正四棱柱體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗顯然正四棱柱上底面正方形為與半球底面平行的截面圓的內(nèi)接正方形，設(shè)正四棱柱的高為，則正四棱柱上底面外接圓半徑，上底面邊長為，因此正四棱柱體積，顯然，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以正四棱柱體積的最大值為.故選：二?多選題9.已知集合，，集合滿足，則（）A.， B.集合可以為C.集合的個數(shù)為7 D.集合的個數(shù)為8〖答案〗AC〖解析〗由題意得，，又.所以，，故A正確；當(dāng)時(shí)，不滿足，B錯誤，集合的個數(shù)等價(jià)于集合的非空子集的個數(shù)，所以集合的個數(shù)為，故C正確，D錯誤，故選：AC.10.已知橢圓的長軸端點(diǎn)分別為?兩個焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（）A.的離心率為 B.的周長為C.面積的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率為，A正確；對于B，的周長為，B正確；對于C，，設(shè)，，則面積的最大值為，C錯誤；對于D，，，，因此，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為B.與所成的角為C.過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D.平面與平面夾角的正切值為〖答案〗ACD〖解析〗正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn)，對于A，三棱錐的體積，A正確；對于B，，則是與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此與所成的角為，B錯誤；對于C，連接，由，得，則，而，，因此平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形，C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，則，D正確.故選：ACD三?填空題12.函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，最小正周期，由于，，又，可得.故〖答案〗為：.13.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為________.〖答案〗30〖解析〗展開式的通項(xiàng)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，.故〖答案〗為:30.14.已知正方形的邊長為，兩個點(diǎn)，（兩點(diǎn)不重合）都在直線的同側(cè)（但，與在直線的異側(cè)），，關(guān)于直線對稱，若，則面積的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗以為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，所以，，因?yàn)椋?，即位于雙曲線的右支上，漸近線方程為或，直線與直線：的距離為，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，又，所以面積的取值范圍是.因?yàn)椴恢睾?，故不重合，故面積不為，故〖答案〗為：.四?解答題15.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時(shí)，.令，，，令得；令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，則，故的最小值為.16.某基層工會擬通過摸球的方式對會員發(fā)放節(jié)日紅包.現(xiàn)在一個不透明的袋子中裝有5個都標(biāo)有紅包金額的球，其中有2個球標(biāo)注的為40元，有2個球標(biāo)注的為50元，有1個球標(biāo)注的為60元，除標(biāo)注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續(xù)摸2次，摸出的球上所標(biāo)的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件“一個會員所獲得紅包總金額不低于90元”，因?yàn)槊看蚊龅那虿环呕卮?，所?（2）由已知得，，因?yàn)槊看蚊龅那蚍呕卮?，所以每次摸?0元、50元和60元紅包的概率分別為，，，所以，，，，，所以得分布列為8090100110120所以.17.如圖，，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，過的平面與交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，，圓錐的體積為.（1）求證：；（2）若圓上的點(diǎn)滿足，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)?，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，所以，底面圓，而底面圓，則，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：因?yàn)?，圓錐的體積為，所以，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，即平面的法向量為，顯然，又底面圓，底面圓，所以，所以，，兩兩垂直，以原點(diǎn)，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，由題意，點(diǎn)在圓上，則，如圖所示，在中，，則，過作軸的垂線，垂足為，有，，則，得，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，是上三個不同的點(diǎn)，直線，，分別與軸交于，，，其中的最小值為4.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的重心位于軸上，且，，的橫坐標(biāo)分別為，，，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）因?yàn)橹本€通過拋物線的焦點(diǎn)，所以線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，如圖，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由拋物線定義可得，由平面幾何的性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值為，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設(shè)直線的方程為.設(shè)，，，由，得，則，因?yàn)榈闹匦奈挥谳S上，所以，所以，，所以，，，因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以，所以，顯然，解得，，同理可得，又，則，所以定值1.19.數(shù)列滿足則稱數(shù)列為下凸數(shù)列.（1）證明：任意一個正項(xiàng)等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；（2）設(shè)，其中，分別是公比為，的兩個正項(xiàng)等比數(shù)列，且，證明：是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；（3）若正項(xiàng)下凸數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證：.證明：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，即，所以任意一個正項(xiàng)等比數(shù)列為下凸數(shù)列.（2）顯然，，所以正項(xiàng)數(shù)列為下凸數(shù)列.下面證明：正項(xiàng)數(shù)列不是等比數(shù)列.若是等比數(shù)列，則，所以，因?yàn)閿?shù)列，分別為兩個正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以?/p>