福建省南平市浦城縣2022-2023學年高一下學期期末沖刺卷數(shù)學試題（四）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市浦城縣2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學沖刺卷試題（四）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以.故選：A.2.已知，，，則的形狀是（）．A直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形〖答案〗A〖解析〗根據(jù)已知，有，，，因為，所以，即，故為直角三角形．故選：A.3.如圖所示，在等腰梯形中，，對角線交于點，過點作，交于點，交BC于點N，則在以，，為起點和終點的向量中，相等向量有（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對〖答案〗B〖解析〗由題，故相等向量有兩對.故選：B.4.已知是銳角，，，且，則為（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵，，且，∴，求得，，由是銳角，所以.故選：B.5.在中，下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于選項A：由正弦定理有，故，故選項A錯誤；對于選項B：因為，故，故選項B錯誤；對于選項C：，由余弦定理，得，故選項C錯誤；對于選項D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導公式可得：，即，故選項D正確.故選：D.6.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連，相交于點，連、，因為為的中點，為的中點，有，可得或其補角為異面直線與所成的角，不妨設正方形中，，則，由平面，可得，則，，因為，為的中點，所以，．故選：C.8.如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱錐的體積為：.故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A.共線 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四邊形ABCD是矩形，，所以共線，模相等，故A、D正確；∵矩形的對角線相等，∴|AC|=|BD|，模相等，但的方向不同，故B不正確；|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.故選：ACD.10.下列關于復數(shù)的說法，其中正確的是（）A.復數(shù)是實數(shù)的充要條件是B.復數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C.若，互為共軛復數(shù)，則是實數(shù)D.若，互為共軛復數(shù)，則在復平面內(nèi)它們所對應的點關于虛軸對稱〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)復數(shù)的分類，時，才是純虛數(shù)．A正確，B錯誤；，則，所以是實數(shù)，C正確；當是實數(shù)時，其共軛復數(shù)是它本身，對應的點是同一點，不關于虛軸對稱，D錯．故選：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O為的中點，點P是上的動點，則下列說法正確的是（）A.當點P運動到中點時，直線與平面所成的角的正切值為B.無論點P在上怎么運動，都有⊥C.當點P運動到中點時，才有與相交于一點，記為Q，且D.無論點P在上怎么運動，直線與AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中，，選項A中，當點運動到中點時，有E為的中點，連接、，如下圖示：即有面，∴直線與平面所成的角的正切值：，∵，，∴，故A正確；選項B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示：由題意知，為正方形，即有，而且為直三棱柱，有面，面，∴，又，∴面，面，故，同理可證：，又，∴面，又面，即有，故B正確；選項C中，點運動到中點時，即在△中、均為中位線，∴Q為中位線的交點，∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯誤；選項D中，由于，直線與所成角即為與所成角：，結(jié)合下圖分析知：點在上運動時，當在或上時，最大為45°，當在中點上時，最小為，∴不可能是30°，故D正確.故選：ABD.12.拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個正面”、“三個反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由題意，拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個正面”、“三個反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，根據(jù)獨立重復試驗的概率計算公式，可得：，由，故A是錯誤的；由，故B是錯誤的；由，故C是正確的；由，故D是正確的.故選：CD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在△ABC中，其外接圓半徑R＝2，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)正弦定理可知，所以，，，所以是等腰三角形，且，.故〖答案〗為：.14.設為虛數(shù)單位，則的虛部為______．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗：.15.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．〖答案〗〖解析〗由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故〖答案〗為：.16.如圖，已知直四棱柱的所有棱長均相等，，E是棱的中點，設平面經(jīng)過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_______．〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱長均相等，，所以是菱形，連接，，且，，所以，，因為平面，平面，所以，且，所以平面，取的中點，連接，連接交與，所以，且是的中點，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點，連接交與點，即為的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因為，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設，則直四棱柱的所有棱長均為2，由，所以，，且，由余弦定理得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分.）17.已知、、且.（1）證明：是等腰直角三角形；（2）求．解：（1）證明：由題意得，，因為，所以，所以是直角三角形，又，，，是等腰直角三角形.（2）解：設點，則，，，且，解得，，，，，，，，．18.甲、乙二人獨立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.解：（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨立，由題意可知，所以.（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥，所以.19.成都七中為了解班級衛(wèi)生教育系列活動的成效，對全校40個班級進行了一次突擊班級衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評定為“優(yōu)”，獎勵3面小紅旗；得分在評定為“良”，獎勵2面小紅旗；得分在評定為“中”，獎勵1面小紅旗；得分在評定為“差”，不獎勵小紅旗.已知統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學校用分層抽樣的方法，從評定等級為“良”、“中”的班級中抽取6個班級，再從這6個班級中隨機抽取2個班級進行抽樣復核，求所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率.解：（1）得分的頻率為；得分的頻率為；得分的頻率為；所以得分的頻率為，設班級得分的中位數(shù)為分，于是，解得，所以班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為分.（2）由（1）知題意“良”、“中”的頻率分別為又班級總數(shù)為，于是“良”、“中”的班級個數(shù)分別為，分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級個數(shù)分別為，因為評定為“良”，獎勵2面小紅旗，評定為“中”，獎勵1面小紅旗，所以抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3為兩個評定為“良”的班級或一個評定為“良”與一個評定為“中”的班級.記這個事件為，則為兩個評定為“中”的班級，把4個評定為“良”的班級標記為2個評定為“中”的班級標記為，從這6個班級中隨機抽取2個班級用點表示，其中，這些點恰好為方格格點上半部分（不含對角線上的點），于是有種，事件僅有一個基本事件.所以，所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率為.20.在中，內(nèi)角的對邊分別為，設平面向量，且.（1）求；（2）若，求中邊上的高.解：（1）因為，所以，即，即，根據(jù)正弦定理得，所以，所以.（2）由余弦定理，又，所以，根據(jù)△的面積，即，解得，所以中邊上的高．21.將棱長為2的正方體沿平面截去一半（如圖1所示）得到如圖2所示的幾何體，點，分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.解：（1）如圖所示：連接，易知，因為平面，平面，所以，又，所以平面，在中，點，分別是，的中點，所以，所以平面.（2）∵平面，∴是三棱錐在平面上的高，且，∵點，分別是，的中點，∴，∴，∴.22.如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，F(xiàn)為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值．解：（1）取CE中點G