3.函數(shù)的單調(diào)性判定定理

函數(shù)單調(diào)性的判斷經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在線開放課程授課教師：陳笑緣教授1引題2定理3例題1引題供應(yīng)曲線：商品的供應(yīng)量隨價格的上漲會增加。引題供應(yīng)曲線

需求曲線：商品的需求量隨價格的上漲會減少。引題需求曲線

單調(diào)增函數(shù)的曲線：如果曲線光滑，那么它的每一條切線的傾斜角都是銳角，即切線的斜率必大于零。引題結(jié)論：每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均大于零。單調(diào)減函數(shù)的曲線：如果曲線光滑，那么它的每一條切線的傾斜角都是鈍角，即切線的斜率必小于零。引題結(jié)論：每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均小于零。問題1：每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于零的光滑曲線是否一定是單調(diào)增函數(shù)的曲線？引題問題2：每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)小于零的光滑曲線是否一定是單調(diào)減函數(shù)的曲線？2定理定理結(jié)論條件序號（2）（1）在內(nèi)有函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加在內(nèi)有函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少開區(qū)間換成，等其它各種區(qū)間，定理3.3的結(jié)論仍然成立。

定理3.3設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則

說明：與換成與（等號只在個別點(diǎn)成立），定理3.3的結(jié)論仍然成立。3例題例題1.討論函數(shù)的單調(diào)性。

函數(shù)定義域；對于初等函數(shù)而言，需要考慮下面的問題：

求導(dǎo)函數(shù)；

通過導(dǎo)函數(shù)的符號得出單調(diào)區(qū)間；例題解：因?yàn)椋瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)增加；

當(dāng)

時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少。當(dāng)

時，，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?.討論函數(shù)的單調(diào)性。例題2.討論函數(shù)的單調(diào)性。解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。注：此題中，的定義域?yàn)椋瘮?shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少；時，，當(dāng)當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加。駐點(diǎn)一般地，求函數(shù)單調(diào)性的步驟為：我們把使的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步求出的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）用（2）中的點(diǎn)將定義域進(jìn)行劃分；（4）在每個開區(qū)間內(nèi)判定的符號，由定理3.3得出相應(yīng)的結(jié)果。例題解：3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的定義域?yàn)?，令得，用它將定義域分成兩個區(qū)間：與，

又

，例題解：所以是單調(diào)的減區(qū)間；是單調(diào)的增區(qū)間3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。列表討論如下：2—↘

+↗

0微訓(xùn)練1.求函數(shù)