福建省泉州市2024年數(shù)學高一下期末考試模擬試題含解析

福建省泉州市2024年數(shù)學高一下期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．2．若則一定有（）A． B． C． D．3．設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是（）A． B．C． D．4．某大學數(shù)學系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應抽取三年級的學生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．205．設集合,則（）A． B． C． D．6．對數(shù)列，若區(qū)間滿足下列條件：①；②，則稱為區(qū)間套．下列選項中，可以構成區(qū)間套的數(shù)列是（）A．；B．C．D．7．設、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．C． D．8．中，角的對邊分別為，且，則角（）A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．10．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調遞減的是A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計算：______.12．數(shù)列中，若，，則______；13．已知三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側棱長都等于，則其外接球的體積為______.14．已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，且a1+b1=515．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調查后發(fā)現(xiàn)，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)弧）一片的風景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現(xiàn)決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）16．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.18．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．19．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示：表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖．(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，y=a+bx與(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數(shù)據(jù)：其中υ參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,υ1,20．已知向量，，．（1）求函數(shù)的解析式及在區(qū)間上的值域；（2）求滿足不等式的x的集合．21．的內角所對的邊分別為，向量，若.（1）求角的大??；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

以所在直線為旋轉軸將整個圖形旋轉一周所得幾何體是一個半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉軸將整個圖形旋轉一周所得幾何體是一個半球，其中半球的半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【點睛】本題主要考查了旋轉體的概念，以及球的表面積的計算，其中解答中熟記旋轉體的定義，以及球的表面積公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、D【解析】本題主要考查不等關系．已知,所以，所以，故．故選3、A【解析】

∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.4、B【解析】試題分析：方法一:由條件可知三年級的同學的人數(shù)為,所以應抽人數(shù)為,方法二:由條件可知樣本中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,因此應抽取三年級的學生人數(shù)為,答案選B.考點：分層抽樣5、B【解析】試題分析：由已知得，，故，選B．考點：集合的運算．6、C【解析】由題意，得為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且當時，；而與與均為遞減數(shù)列，所以排除A,B,D，故選C.考點：新定義題目.7、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數(shù)可得出結果.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分區(qū)域表示：聯(lián)立，得，可得點的坐標為.平移直線，當該直線經(jīng)過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即，故選：C.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，一般作出可行域，利用平移直線結合在坐標軸上的截距取最值來取得，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.8、B【解析】

根據(jù)題意結合正弦定理，由題，可得三角形為等邊三角形，即可得解.【詳解】由題：即，中，由正弦定理可得：，即，兩邊同時平方：，由題，所以，即，所以，即為等邊三角形，所以.故選：B【點睛】此題考查利用正弦定理進行邊角互化，根據(jù)邊的關系判斷三角形的形狀，求出三角形的內角.9、B【解析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質求出的解析式，然后分類討論求出不等式的解集.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以有，顯然是不等式的解集；當時，；當時，，綜上所述：不等式的解集是，故本題選B.【點睛】本題考查了利用奇函數(shù)性質求解不等式解集問題，考查了分類思想，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵.10、B【解析】

可先確定奇偶性，再確定單調性．【詳解】由題意A、B、C三個函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除D，A中在上不單調，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性，解題時可分別確定函數(shù)的這兩個性質．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用反三角函數(shù)運算法則寫出結果即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查反三角函數(shù)的運算法則的應用，屬于基礎題．12、【解析】

先分組求和得，再根據(jù)極限定義得結果.【詳解】因為，，……，，所以則.【點睛】本題考查分組求和法、等比數(shù)列求和、以及數(shù)列極限，考查基本求解能力.13、【解析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計算體積.【詳解】三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側棱長都等于為中點，為外心，連接，平面球心在上設半徑為故答案為【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.14、1【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式把abn轉化到a1+(bn-1)【詳解】S=[=[=na1=4n+n(n-1)故答案為：12【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式和前n項和的應用，利用分組求和法是解決本題的關鍵．15、【解析】

根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．16、9【解析】

平分圓的直線過圓心，由此求得的等量關系式，進而利用基本不等式求得最小值.【詳解】由于直線始終平分圓的周長，故直線過圓的圓心，即，所以.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據(jù)正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結果.【詳解】解：（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，如圖，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所成角的平面角是關鍵，本題難度不大.18、（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】

(1)先將函數(shù)化簡為，根據(jù)公式求最小正周期.

(2)由，則，可求出函數(shù)的最值.【詳解】(1)所以的最小正周期為：.（2）由（1）有，則則當，即時，有最小值.當即，時，有最大值2.所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡、求最小正周期和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.19、（1）y=c?dx【解析】

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜；（2）y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關于活動推出天數(shù)（2）∵y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：1gy=1g(c?d設1gy=v,∴v=1gc+1gd?x∵x=4,v∴l(xiāng)gd=把樣本中心點(4,1.54)代入v=1gc+1gd?x,得:∴v=0.54+0.25x，∴y關于x的回歸方程式：y=把x=8代入上式，y=3.47×活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；【點睛】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．線性回歸方程適用于具有相關關系的兩個變量，對于具有確定關系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預測值是預測變量的估計值，不是準確值.20、（1）值域為．（2）【解析】

（1）由向量，，利用數(shù)量積運算得到；由，得到，利用整體思想轉化為正弦函數(shù)求值域.（2）不等式，轉化為，利用整體思想，轉化為三角不等式，利用單位圓或正弦函數(shù)的圖象求解.【詳解】（