平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(一)教案

FSθ●（一）、新課引入——FSθ在物理學(xué)中學(xué)過功的概念，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所作的功W=FScosθ。思考：W是什么量？F和S是什么量？和向量有什么關(guān)系？W是標(biāo)量（實(shí)數(shù)），F(xiàn)和S是矢量（向量）這個(gè)式子建立了實(shí)數(shù)和向量之間的關(guān)系，是實(shí)數(shù)和向量互相轉(zhuǎn)化的橋梁。我們學(xué)過的向量運(yùn)算結(jié)果都是向量。因此定義一個(gè)新的運(yùn)算，不僅是物理學(xué)的需要，也是數(shù)學(xué)建立起實(shí)數(shù)和向量兩個(gè)不同領(lǐng)域關(guān)系的需要。●（二）、新課學(xué)習(xí)★新課學(xué)習(xí)階梯一——怎么定義平面向量數(shù)量積思考：模仿物理學(xué)功的定義：思考：由數(shù)學(xué)中對(duì)稱的思想，有余弦出沒的地方就少不了正弦的陪伴，可否定義，有什么幾何意義？ABABOθ1．兩個(gè)非零向量夾角的概念A(yù)BOθ已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角（右圖的夾角分別是什么）ABOθ2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0思考：功怎么用數(shù)量積表示：數(shù)學(xué)的定義從實(shí)踐中來，又回到實(shí)踐指導(dǎo)實(shí)踐?！镄抡n學(xué)習(xí)階梯二——怎么全方位認(rèn)識(shí)這個(gè)定義學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)兩手都要硬，一手抓代數(shù)、一手抓幾何，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究幾何問題的最佳工具。1幾何意義：“投影”的概念：作圖定義：||cos叫做向量在方向上的投影思考：投影是否是長度？投影是否是向量？投影是否是實(shí)數(shù)？投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為||；當(dāng)=180時(shí)投影為||幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||cos的乘積2．代數(shù)性質(zhì)（兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)）：（1）兩個(gè)非零向量與，=0（此性質(zhì)可以解決幾何中的垂直問題）；（2）兩個(gè)非零向量與，當(dāng)與同向時(shí)，=||||；當(dāng)與反向時(shí)，=||||（此性質(zhì)可以解決直線的平行、點(diǎn)共線、向量的共線問題）；（3）cos=（此性質(zhì)可以解決向量的夾角問題）；（4）=||2，，（此性質(zhì)可以解決長度問題即向量的模的問題）；（5）||≤||||（此性質(zhì)要注意和絕對(duì)值的性質(zhì)區(qū)別，可以解決不等式的有關(guān)問題）；3．任何一種運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律，以方便運(yùn)算，數(shù)量積滿足哪些算律？實(shí)數(shù)的運(yùn)算律向量數(shù)量積運(yùn)算律（交換律）ab=ba√（結(jié)合律）(ab)c=a(bc)×（分配律）a(b+c)=ab+ac√√思考：運(yùn)用對(duì)比聯(lián)想的思想方法猜測向量數(shù)量積保留了實(shí)數(shù)哪些運(yùn)算律，變異了哪些運(yùn)算律？課下對(duì)成立的運(yùn)算律給出證明，對(duì)不成立的運(yùn)算律舉出反例。從性質(zhì)的分析知道，數(shù)量積是應(yīng)用非常廣泛和靈活的，涉及代數(shù)和幾何甚至跨學(xué)科的知識(shí)，因此學(xué)習(xí)數(shù)量積是為了能夠應(yīng)用它解決問題?！镄抡n學(xué)習(xí)階梯三——怎樣用定義、性質(zhì)解決問題（范例講解）例1．（鞏固概念）判斷下列各題正確與否：（1）若=，則對(duì)任一向量，有=0(√)（2）若，則對(duì)任一非零向量，有0(×)（3）若，=0，則=(×)（4）若=0，則、至少有一個(gè)為零(×)（5）若，=，則=(×)（6）若=，則=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(×)（7）對(duì)任意向量、、，有()()(×)（8）對(duì)任意向量，有2=||2(√)例2．（課本P118）已知=5，=4，向量與夾角是1200，求（課本資源升華）學(xué)生回答：=－10（以下變形向量與均為非零向量）變形1：已知=5，=4，向量與夾角是1200，求思考：求長度，怎樣將長度和數(shù)量積建立起關(guān)系？2==25+16－10=21，所以=。變形2：已知三角形ABC的邊AB=5，BC=4，∠ABC=1200，求邊AC。啟發(fā)：這個(gè)問題看似和向量無關(guān)，要想運(yùn)用向量的知識(shí)，必須構(gòu)造向量，突破點(diǎn)是如何構(gòu)造向量。提問學(xué)生或老師講解：，=25+16+2×5×4×cos600=61,AC=思考：已知三角形兩邊一夾角一定可求第三邊嗎？變形3：已知三角形ABC的邊AB=5，BC=4，sin∠ABC=,求邊AC。思考：已知正弦值，如何求余弦值，幾解？變形4：已知=5，=4，=，求向量與的夾角。思考：建立長度和角度的關(guān)系是數(shù)量積的一個(gè)重要功能，先求。變形5：已知=5，=4，在上的投影是－2，求及與的夾角。變形6：已知=5，=4，求。思考：求數(shù)量積，怎樣將長度和數(shù)量積建立起關(guān)系？2==25，2==16，兩式相減得：4=9，=點(diǎn)評(píng)：解決該問題，不僅局限于長度和數(shù)量積的關(guān)系，還運(yùn)用了方程這一代數(shù)味很濃的思想。變形7：已知==4，求；能求向量與的夾角嗎？能求嗎？若不能求，你能補(bǔ)充一個(gè)合適的條件求出嗎？啟發(fā)：除了用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出，你還能從向量加減法運(yùn)算的幾何意義給出解釋嗎？變形8：已知=5，=4，向量與夾角是1200，求使向量與的夾角是銳角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍。思考：夾角是銳角如何用數(shù)量積體現(xiàn)？（）（）>0變形9：向量與都是非零向量，且與垂直，與垂直，求向量與的夾角解：由(+3)(75)=072+16152=0①(4)(72)=07230+82=0②兩式相減：2=2代入①或②得：2=2設(shè)、的夾角為，則cos=∴=60通過以上問題的變式探究：問題涉及無非是向量的模（長度）、向量的夾角（三角形或多邊形的內(nèi)角或其補(bǔ)角）、數(shù)量積三個(gè)量的關(guān)系。這是向量數(shù)量積定義的靈魂，同時(shí)，數(shù)量積運(yùn)算也是溝通實(shí)數(shù)和向量的橋梁?！镄抡n學(xué)習(xí)階梯四——課堂練習(xí)1||=3,||=4,向量+與-的位置關(guān)系為（）A平行B垂直C夾角為D不平行也不垂直2已知||=2,||=5,·=-3,則|+|=______,|-|=3設(shè)||=3,||=5,且+λ與－λ垂直，則λ＝★新課學(xué)習(xí)階梯五——學(xué)會(huì)小結(jié)學(xué)生自我歸納?！镄抡n學(xué)習(xí)階梯六——?jiǎng)?chuàng)造性學(xué)習(xí)（備用）如圖P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PFAE是矩形，猜猜：不論P(yáng)點(diǎn)位置如何，PC和EF是否總相等且垂直？提示：這是一個(gè)平幾問題，沒有向量的蹤跡，怎樣構(gòu)造向量、創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算解決？思考：如何建立基向量；將PC和EF看成向量，用基向量表示；計(jì)算是否相等；計(jì)算是否為零。解析：設(shè)=，=，則=+，設(shè)=λ（+），=－+λ（+）=λ+（λ－1），顯然=λ=λ，，則=++=（λ－1）－λ（+）+λ=（λ－1）－λ則2=（λ+（λ－1））2=λ22+（λ－1）22，2=（（λ－1）－λ）2=（λ－1）22+λ22，又ABCD是正方形，2=2，所以2=2，=（（λ－1）－λ）（λ+（λ－1））=（λ－1）λ2－λ（λ－1）2=0，所以PC和EF總是相等且垂直?！袅?、課后反思和鞏固（assignment）對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律的證明思考和閱讀（課本P119~P120）優(yōu)化設(shè)計(jì)第一課時(shí)、課本P121習(xí)題5.6第1.2.3.4.5《平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律》一課設(shè)計(jì)思路平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律共兩個(gè)課時(shí)，本課時(shí)為第一課時(shí)。圍繞數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運(yùn)輸律及簡單應(yīng)用，展開設(shè)計(jì)，為下節(jié)課靈活應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律解決問題奠定基礎(chǔ)。例題的選取緊緊扣住課本P118的例1，并通過例1展開變式研究和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，并將課本其余幾個(gè)例題都整和到例1的變式研究中。變式研究不僅是本節(jié)課的一大特點(diǎn)，同時(shí)也是本人多年堅(jiān)持探究的問題——怎樣用好課本，將課本的例題資源最大化，將課本的習(xí)題資源最大化，將課本的閱讀材料充分利用。一句話，把課本作為第一課程資源用足、用到位。本節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，定義是基礎(chǔ)，性質(zhì)是工具，運(yùn)算律及應(yīng)用是難點(diǎn)。因此本節(jié)課分層次將教學(xué)過程分解為兩個(gè)步驟：為什么定義平面向量的數(shù)量積；怎樣認(rèn)識(shí)平面向量的數(shù)量積。新課學(xué)習(xí)分為六個(gè)階梯：怎么定義平面向量的數(shù)量積；怎么全方位認(rèn)識(shí)定義；怎樣用定義、性質(zhì)解決問題；課堂演練；怎樣小結(jié)；怎樣創(chuàng)造性地應(yīng)用平面向量的數(shù)量積。突出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般過程——為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么用。在新課引入上突出課改的理念，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用出發(fā)，請(qǐng)教了物理教師，功、磁通量均與向量運(yùn)算有關(guān)，但學(xué)生目前只學(xué)過功。所以采取課本的引入方法。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情景設(shè)計(jì)問題，體現(xiàn)開放教學(xué)和民主的課堂氛圍。學(xué)生在各個(gè)階梯過程中，滲透數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)策略：抓關(guān)鍵字、抓定義前題。滲透數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)：類比的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、對(duì)稱的思想、構(gòu)造法。