2023-2024學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．9 C．11 D．2．直線x-2y+2=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是（）A．x+2y-4=0 B．2x+y-1=0 C．2x+y-3=0 D．2x+y-4=03．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．純角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．若，，則的值是（）A． B． C． D．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α∥β,mα,nβ，則m∥n B．若α⊥β，mα,則m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D．若α∥β，mα，則m∥β6．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．7．已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．9．圓，那么與圓有相同的圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（）．A． B．C． D．10．如圖，隨機(jī)地在圖中撒一把豆子，則豆子落到陰影部分的概率是（）A．12 B．34 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，，則{an}的首項(xiàng)的所有可能值為_(kāi)_____12．_________.13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________14．_________________．15．已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則______.16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若,則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某地合作農(nóng)場(chǎng)的果園進(jìn)入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價(jià)不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場(chǎng)果園的蘋果樹(shù)上隨機(jī)摘下了50個(gè)蘋果測(cè)量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其單果直徑分布在區(qū)間內(nèi)（單位：)，統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機(jī)抽取6個(gè)，則從，的蘋果中各抽取幾個(gè)？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)蘋果單果直徑均在內(nèi)的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場(chǎng)的果園有20萬(wàn)個(gè)蘋果約5萬(wàn)千克待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購(gòu)；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購(gòu)，每箱裝25個(gè)蘋果，定價(jià)收購(gòu)方式為：?jiǎn)喂睆皆趦?nèi)按35元/箱收購(gòu)，在內(nèi)按45元/箱收購(gòu)，在內(nèi)按55元/箱收購(gòu).包裝箱與分揀裝箱費(fèi)用為5元/箱（該費(fèi)用由合作農(nóng)場(chǎng)承擔(dān)).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該合作農(nóng)場(chǎng)推薦收益最好的方案.18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）已知數(shù)列滿足，若對(duì)任意，存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知，且與的夾角.（1）求的值；（2）記與的夾角為，求的值.20．在中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．21．已知,.(1)求的值;(2)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】作出約束條件表示的可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，聯(lián)立，解得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值11，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.2、A【解析】

所求直線的斜率與直線x-2y+2=0的斜率互為相反數(shù)，且在x=1處有公共點(diǎn)，求解即可。【詳解】直線x-2y+2=0與直線x=1的交點(diǎn)為P1，3因?yàn)橹本€x-2y+2=0的斜率為12，所以所求直線的斜率為-故所求直線方程為y-32=-故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率，直線的方程，直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。3、B【解析】

利用正弦定理結(jié)合條件，得到，再由，結(jié)合余弦定理，得到，從而得到答案.【詳解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，為的內(nèi)角，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理?為的內(nèi)角，所以，所以，為等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】，，，故選B.5、D【解析】

在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質(zhì)定理得．【詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，故正確．故選．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．6、A【解析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】根據(jù)圖像求解析式問(wèn)題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的一個(gè)特殊點(diǎn)確定φ值．7、D【解析】

取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長(zhǎng)為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，進(jìn)而利用同角三角基本關(guān)系，使其除以，轉(zhuǎn)化成正切，然后把的值代入即可．詳解：由題意得.∵∴故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦函數(shù)的公式．解題的關(guān)鍵是利用同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系，完成了弦切的互化．9、B【解析】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，故排除、，代入點(diǎn)，只有項(xiàng)經(jīng)過(guò)此點(diǎn)，也可以設(shè)出要求的圓的方程：，再代入點(diǎn)，可以求得圓的半徑為．故選．點(diǎn)睛：這個(gè)題目主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)檫@是一道選擇題，故根據(jù)與條件中的圓的方程可以得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可以排除幾個(gè)選項(xiàng)，如果正規(guī)方法，就可以按照已知圓心，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知點(diǎn)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可．10、D【解析】

求出陰影部分的面積，然后與圓面積作比值即得．【詳解】圓被8等分，其中陰影部分有3分，因此所求概率為P=3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，利用式相加，得到，進(jìn)而得到，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，將以上各式相加，得，又，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式應(yīng)用，其中解答中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)的方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.12、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題意可得，原式.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1-2點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.14、3【解析】

分式上下為的二次多項(xiàng)式,故上下同除以進(jìn)行分析.【詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了分式型多項(xiàng)式的極限問(wèn)題，注意：當(dāng)時(shí),15、【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)之和與中間項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，故．【點(diǎn)睛】（1）在等差數(shù)列中，若，則有；（2）在等差數(shù)列.16、【解析】

根據(jù)大角對(duì)大邊，利用余弦定理直接計(jì)算得到答案.【詳解】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若不妨設(shè)三邊分別為：3,5,7根據(jù)大角對(duì)大邊：角C最大故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ)4個(gè)；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個(gè)數(shù)分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機(jī)抽取6個(gè)，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個(gè)和4個(gè)；（Ⅱ）從這6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件總數(shù)，這兩個(gè)蘋果單果直徑均在，內(nèi)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)蘋果單果直徑均在，內(nèi)的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農(nóng)場(chǎng)收益，比較大小得結(jié)論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個(gè)，12個(gè)，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個(gè)數(shù)為個(gè)，單果直徑落在的蘋果抽取個(gè)數(shù)為個(gè)（Ⅱ）記單果直徑落在的蘋果為，，記單果直徑落在的蘋果為，若從這6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，則所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的總數(shù)為15個(gè).這兩個(gè)蘋果單果直徑均落在內(nèi)包含的基本事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，所以這兩個(gè)蘋果單果直徑均落在內(nèi)的概率為.（Ⅲ）按方案：該合作農(nóng)場(chǎng)收益為：（萬(wàn)元）；按方案：依題意可知合作農(nóng)場(chǎng)的果園共有萬(wàn)箱，即8000箱蘋果，則該合作農(nóng)場(chǎng)收益為：元，即為31.36萬(wàn)元因?yàn)?，所以為該合作農(nóng)場(chǎng)推薦收益最好的方案是.【點(diǎn)睛】本題考查概率、最佳方案的確定，考查莖葉圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）利用分組求和法與裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，由題意得出，判斷出數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)，得出數(shù)列的最大值為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到.當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，由得，上述兩式相減得，得，即.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令為的前項(xiàng)和，則.因?yàn)?，，，，?dāng)時(shí)，，令，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，則，即，那么當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)，則.因此，數(shù)列的最大值為.又，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)的最大值為．因?yàn)閷?duì)任意的，存在，.所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要充分利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夾角公式可以求得.【詳解】（1）根據(jù)題意可得：故（2），則故.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，求向量的模和夾角，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，由，可求，結(jié)合范圍，可求．（2）利用三角形的面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，即可計(jì)算得解