安徽省安慶示范高中2024屆高三年級下冊4月聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)及其詳細(xì)解析

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題2024.4

考生注意：

1.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

uumuuu

1.已知線段A5是圓。的一條長為4的弦，則AO-AB=()

A.4B.6C.8D.16

2.復(fù)數(shù)z滿足(4+3i+z)i=2—i,則目=()

A.B.426C.V34D.572

3.已知圓錐PO的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（)

A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1

一_/_

4.已知一組數(shù)據(jù)七,％2,…,乙的平均數(shù)為G，另一組數(shù)據(jù)%,%，，%的平均數(shù)為7GH7）?若數(shù)據(jù)

一一一1一

國,々，，七“,％,丁2，一，%的平均數(shù)為2=。兀+（1—。）丁，其中5<。<1，則機(jī),〃的大小關(guān)系為（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.以”的大小關(guān)系不確

定

5.已知拋物線C:犬=2py（p>0）的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2,點(diǎn)加（冷弘）,'（々,％）是拋物線。上

33

6.己知函數(shù)/。;）=卻才的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,8）,則關(guān)于％的不等式9/（%）+7（4—/）<0的解集為（）

A.（-w,-4）J（l,+w）B.（T,l）

C.（-oo,-l）（4收）D.（-1,4）

7.在正方體ABC。-AB?，中，點(diǎn)E尸分別為棱AB,AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)及￡和三點(diǎn)作該正方體的截

面，貝I」（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱8區(qū)的交點(diǎn)是棱8月的一個三等分點(diǎn)

c.ACJ_平面和石尸

D.平面A耳2〃平面GE產(chǎn)

8.若項(xiàng)數(shù)均為心2,〃eN*）的兩個數(shù)列{4},也}滿足以—。*=左（左=1,2,…川，且集合

{%,%,4,優(yōu)也，…也}={1,2,3,…,2"},則稱數(shù)列{4},{>“}是一對“〃項(xiàng)緊密數(shù)列”.設(shè)數(shù)列

{見},{2}是一對“4項(xiàng)緊密數(shù)列”，則這樣的“4項(xiàng)緊密數(shù)列”有（）對.

A.5B.6C.7D.8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知集合A={;ceZ|x2—2%—8<0卜集合3={$9'>3'",meR,xeR},若A8有且僅有3個不

同元素，則實(shí)數(shù)機(jī)的值可以為（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知函數(shù)/（X）=binx|+cos|2x],則（）

A.函數(shù)4月的最小正周期為萬

TT

B.函數(shù)/（%）在0,（上單調(diào)遞增

C.函數(shù)“力的最大值為三

8

9

D.若方程〃x）=a（a￡R）在[f上有且僅有8個不同的實(shí)根，則—

8

11.直線/與雙曲線E:x?-匕=1的左、右兩支分別交于A、3兩點(diǎn)，與E的兩條漸近線分別交于。、D

9

兩點(diǎn)，AC、D、5從左到右依次排列，則（）

A.線段與線段CD的中點(diǎn)必重合B.“1=1即

C.線段AC,CD,的長度不可能成等差數(shù)列D.線段AC,CD,￡右的長度可能成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在3盯2+_的展開式中，不含字母y的項(xiàng)為.

Iy）

13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一

個球記下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再從中隨機(jī)摸出一個球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若

所標(biāo)數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

14.由函數(shù)/（力=1m?圖象上一點(diǎn)2向圓。：爐+（3；—2）2=4引兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)4瓦連接,

當(dāng)直線的橫截距最大時，直線的方程為,此時cosNAPB=.（第1空2分，

第2空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題滿分13分）

隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認(rèn)識到“肥胖是禍不是福”.某校生物學(xué)

社團(tuán)在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關(guān)關(guān)系研究中，利用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)

（x,.，X）0=1,2,3,.,40,20<x;.<60）,其中超表示年齡，、表示脂肪含量，并計算得到￡=48；=27,

作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到其線性回歸方程為y=0.591x+b.

（1）請求出6的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？

（2）小趙將自己實(shí)際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴(yán)重超標(biāo),

于是他打算進(jìn)行科學(xué)健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材,

并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)10403020100

乙款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)30402010100

如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應(yīng)選擇購買哪一款健身器材，才能使用

更長久？

16.（本題滿分15分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,AB±AD,AP±DP,CD=3AB=3,AD=2AP=4,PB=45,

AD=4AE,連接BE,CE,PE.

（1）求證：平面？平面PCE；

（2）求直線CE與平面PCD所成角正弦值的大小.

17.（本題滿分15分）

已知函數(shù)/'（X）=xlwc-ax^aeR）在點(diǎn)（e,/（e））處的切線平行于直線x-y=O.

（1）若/'（x）之e?對任意的xw（0,+oo）恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑵若》是函數(shù)人（%）=/（%）+%2的極值點(diǎn)，求證：/（%0）+3Ao>0.

18.（本題滿分17分）

已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)等于3,從第二項(xiàng)起是一個公差為2的等差數(shù)列，且出,%，％成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的和口

(2)設(shè)數(shù)列｛b｝滿足tan/?,,=」-且2c

n，若數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)的和為I,求tan].

S?

19.（本題滿分17分）

已知橢圓Ci：亍+/=1,圓。2：/+/=1.

（1）點(diǎn)3是橢圓G的下頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓G上，點(diǎn)0在圓。2上（點(diǎn)P，Q異于點(diǎn)8），連BP,BQ,直線

5P與直線8。的斜率分別記作加白，若左2=4左，試判斷直線尸。是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)

坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

（2）橢圓G的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，4,點(diǎn)E（異于頂點(diǎn)）在橢圓G上且位于X軸上方，連

分別交y軸于點(diǎn)M,N,點(diǎn)E在圓。2上，求證：M0?印=0的充要條件為防〃兀軸.

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題參考答案

題號1234567891011

選項(xiàng)CDABACBBABACDABD

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

nunum1UU121

1.C【解析】由條件知=—A3=-X42=8,故選C.

22

2.D【解析】由條件知z=『—4—3i=——"3i=—5—5i,所以忖=50,故選D.

3.A【解析】根據(jù)條件可知其外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2:1,所以其表面積之比為4:1,故選A.

4.B【解析】由題意可知%+%+?+/=加工，%+%=〃y，%i+%+?+（+%+

%++%=（m+〃）z,于是mx+ny=（jn+n）z,又z=ax+（l-a^y,所以

mx+=+=++—,所以相=+=,兩式相減得

m—n=（m+n）（2<2—1）>0,所以相>〃，故選B.

5.A【解析】由已知得爐=4y,所以X；==4%，根據(jù)（匹+6*2）（西—瓜）=8得x；—3x；=8

NF1

即4%—12y2=8,于是％+1=3（%+1），BP|MF|=3|7VF|,所以成下=屋故選A.

6.C【解析】由題意知/（2）=4a=8,解得a=2,所以/（%）=2x|x|,其在R上單調(diào)遞增，且函數(shù)

為奇函數(shù)，9/（x）=/（3%）,所以不等式9/（x）+/（4-x2）<0可化為

f（3x）<-/（4-x2）=/（x2-4）,于是3x<%2—4,即/一3工—4>0,解得x>4或x<-L,故選C.

7.B【解析】將線段EE向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱CD的延長線交于C,H,連GCG”

分別與棱BB「DD［交于P,Q,則可得到截面多邊形C］PEFQ是五邊形,A錯誤；因BG==gAG，

,,BPBC1

所cr以一=—L=-，于是截面與棱8月的交點(diǎn)尸是棱8月的一個三等分點(diǎn)，B正確，因A。與G。不垂

PBlBG2

直，GPu平面QEF，所以A。與平面JEF不垂直,選項(xiàng)C錯誤；因4C，平面AB.D,,所以平面QEF

與平面AB［。］不平行，選項(xiàng)D錯誤，故選B.

8.B【解析】由條件知。1一4二1,。2一02=2,。3一63=3,。4一d=4,

于是+。2+。3+。4)—("1+4+&+")=10,

又(％+%+%+〃4)+(4+4+&+4)=--------=36,

所以％+2+/+“4=23,4+a+&+%=13,

于是“4項(xiàng)緊密數(shù)列”有{an}:8,5,4,6,也}:7,3,1,2;{%}:8,4,6,5,{bn}:7,2,3/；

{%}:7,3,5,8,{bn}:6,1,2,4;{??}:3,8,7,5,也}:2,6,4,1;{??}:2,7,6,8,{/??}:1,5,3,4;{%}：2,6,

8,7,{2}:1,4,5,3共有6對，故選B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AB【解析】由條件知4=卜€(wěn)胃白一2x_8<0}={—1,0,1,2,3},B={x|9x>3m,rneR,xeR}=

IT]vn

\xx>-\,要使A3有且僅有3個不同元素，則0W—<1,解得0<相<2,結(jié)合備選答案，AB符

[2J2

合，故選AB.

10.ACD【解析】由條件可知/(%)=|sinx|+cos12%|=|sint|+cos2%,因

+=卜in(尤++cos2(尤+")=卜inx|+cos2x=/(x),又函數(shù)y=|sinx|與y=cos2x的最小正

周期均為"，所以函數(shù)4》)的最小正周期為萬，A正確；X/(-%)=|sin(-x)|+cos(-2x)=/(%)，所

TT

以函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，考慮當(dāng)xe0,萬時，

/（0）=1,/|=0,作出函數(shù)的大致圖象，即可判斷D正確，故選ACD.

y=kx+m

11.ABD【解析】設(shè)直線/:y=直+肛4（芭,％）,鞏%,％），°（%3，，3），。（%4，p4），聯(lián)立＜

x=

y=kx+m

2c72c八十口2kmm+9陋__/口

x-2kmx-m-9=0,于是毛+斗=---r，MM=-------r，聯(lián)立《。v2得

9一429-222-2_o

Ix9=

2

22kmm

（9_r）/_2kmx-m=0，于是x+x，所以玉+%=%3+%4，因此線段AB

349-k2…一。

與線段CD的中點(diǎn)必重合，A正確；設(shè)中點(diǎn)為P,貝”/科=|/科,歸。|=1加1所以依。|=忸。］，B正確;

假設(shè)線段AC,CD,08的長度成等差數(shù)列，貝/4。|+|功1=2|6|，所以|人卻=3|8|,于是

歸1_9|=3,3—耳，兩邊同時平方并整理得(M+%)2_4%1々=9［(/+xj_4七%］,于是

屈勺］-4x~m~~9=9(用彳］—4x二^,展開整理得8//?+42=9,該方程有解，所以存

9-k2)9-k2\y9-k2)9-k2

在直線/,使得線段AC,CD,的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當(dāng)線段AC,CD,￡歸的長度相等

時，線段AC,CD,的長度成等比數(shù)列，D正確，故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.135%2

【解析】由條件可知不含字母y的項(xiàng)為(3孫2)2=135/.

y）

]_

13.

3

l+2+C^-Cj_9

【解析】設(shè)事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件B,貝UP(A)=

Cj-C^=25

=-,故填L

33

e2-7

14.ex-y-2-0,----

-e2+l

【解析】設(shè)點(diǎn)P&lnf),則以線段PC為直徑的圓的方程為MxT)+(y—2)(y—1皿)=0,整理得

x2+y2-tx—(2+In/)y+21nr=0,與圓C:x?+(y-2)2=4相交，得直線

AB:ZX+(ln/—2)y-21n，=0,令y=0,則％=—,構(gòu)造函數(shù)g(z)=—,對其求導(dǎo)得

g，(z)=2(Jn/),令且,⑺=0,則％=已，于是函數(shù)g⑺在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

9

其最大值為g(e)=—,此時直線AB的方程為

e

--------AC2

2

ex-y-2=0,P（e,1）,|PC|=Ve+1,sinZAPC=~=2，于是cosZAP5=cos2ZAPC=

,e2-7

l-2sin2ZAPC=^—.

e2+l

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.解：（1）因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心（輸,工），

所以將1=48,7=27代人y=0.591x+6,

得到b=Tl-0.591x48=-1.368.

于是y=0.591x—1.368,

當(dāng)x=35時，y=0.591x35—1.368=19.317.

所以匕的值為-L368,估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317.

（2）以頻率估計概率，設(shè)甲款健身器材使用年限為X（單位：年），則X的分布列為

X5678

p0.10.40.30.2

于是E（X）=5x0.1+6x0.4+7x0.3+8x0.2=6.6.

設(shè)乙款健身器材使用年限為y（單位：年），則y的分布列為

Y5678

P0.30.40.20.1

于是石（F）=5xO.3+6xO.4+7xO.2+8xO.l=6.L

因石（x）＞E（y）,所以小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久.

71

16.解：（1）因AP，￡）P,A￡）=2AP=4,所以/出O=—,

3

又AD=4AE,所以AE=1,

根據(jù)余弦定理知

PE~=AE2+AP2-2xAExAPxcosZPAD=l+4-2xlx2x-=3,

2

又C￡）=3AB=3,AD=4,AB，AD,所以BE=6,CE=3^,BC=2小,

于是BE?+PE2=PB2,所以PELBE,

BE-+CE~=BC2,于是

因PECE=E,所以5EJ_平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面？平面PCE.

(2)如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以ED,EP所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則尸倒,0,若）,C（3,3,0）,°（0,3,0）,3（1,-1,0）

于是EC=（3,3,0）,

設(shè)平面PCD的法向量為加=（羽y,z）,

又PC=（3,3,-73）,DC=（3,0,0）,

m-PC=3x+3y-A/3Z=0/\

于是1,所以不妨取"?=0,1,6r,

mDC=3x^0''

設(shè)直線CE與平面PCD所成角為e,

EC-m342

則sin6=cos（EC,m

\EC\-\m\-372x2-4

所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為也.

4

17.解：對函數(shù)/(%)求導(dǎo)得/'(x)=lnx+l—a,

所以/'(e)=1+1—a=2—a=1,

解得a=l.

nx

(1)由題意可知X1—>m對任意的無e(o,+8)恒成立，

2(c2>(

BPInx-1+—e2加對任意的x￡(0,+oo)恒成立，只需lnx-l+—>m,

e

令乳%)=Inx-lH---,x>0,

對其求導(dǎo)得g'(x)=g_§=WU，

所以當(dāng)xe(0,e2)時，g'(無)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(e2,+co)時，gf(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以8。濡=8付)=2-1+1=2,

于是租<2,因此實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-8,2].

(2)由條件知人(%)=xlnx—%+%2,對其求導(dǎo)得"(％)=lnx+2x,

2

函數(shù)/z'(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，且加-l+-<0,h,(l)=2>0,

:e

所以存在使〃(％)=0,即1叫)+24=0,

當(dāng)xw(O,Xo)時，/z,(%)<0,函數(shù)人(無)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xo，+s)時，〃(x)>0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞增，

于是％是函數(shù)/i(x)的極值點(diǎn)，

所以/(%o)+3x0=xolnxo+2x0=-2x1+2x0=2x0(l-x0)>0,即得證.

18.解：(1)因〃2，。4，。8成等比數(shù)列，所以。：=。2。8，即(％+4)2=〃2(〃2+12)，

解得“2=4,

所以當(dāng)〃22,〃wN”時，an=2nf

又％=3不符合上式,

3,〃二1

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為為=<

2n,n>2

因此S]=%=3,

(〃—1)(4+2〃)

當(dāng)〃22,〃wN*時，=3+4+6++2〃=3+=〃2+〃+1,

2

又$=3符合上式,

所以當(dāng)V〃wN*時，5?=n2+n+l.

1(n+l)-n

(2)由(1)知tan%=

n2+n+ll+(n+l)n

4tanc?=n,c?el0,1L

粵ytas-K=

所以tan。”=

l++1+tan%+』anc〃

又bne[0,,c〃+i-％e?所以bn=c,

因此7；=4+么+&++勿=（。2—弓）+（。3_。2）+（。4一。3）++（c〃+i_c〃）=c,+i_Ci，

tanc〃+1-tanqH+1-1n

所以tan?；=tan(c“+]_cj=

1+tanc〃+Janq1+n+l〃+2

n

于是tan[=

〃+2

19.解：⑴設(shè)尸（七,必）,。（々,％），則?+才=Lx；+y；=1,

十目4（%+1）玉%+1_%

J7E----------------------,--------=----------，

王%-1%y2T

因點(diǎn)B（O,-1）,^=4匕，所以%+1=4（必+1），于是=^―-

%再切一，%—1

整理得再%—=%一9，

又直線P。的方程為y—%=義二h（x—再），

x2-xr

即y=AZA尤—AzAxi+%=AzAx+=AzAx+1,

—

X?—XjX2%]X?—XjXy—X?X2—

所以直線PQ過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.

（2）設(shè)石（%3，%），尸（%”），則?■+￥=1,就+y：=1，設(shè)M（O，M，N（O,〃）,

因A（—2,0）,所以直線AE:y=^^（x+2）,所以m=」匚，

1^3+21^3+2

因4（2,0）,所以直線—2