四川省成都市新津區(qū)外國語實驗學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年八年級（下）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題4分，本大題共8個小題，共32分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；B、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，不符合題意；C、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：C．2.如果，那么下列各項中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：A、如果，則，故A錯誤；B、如果，則，故B正確；C、如果，則，故C錯誤；D、如果，則，故D錯誤；故選：B.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3.下列各式中，從左到右的變形是分解因式的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A．不是幾個整式的積的形式，從左到右的變形不是分解因式，選項A不符合題意；B．不是幾個整式的積的形式，從左到右的變形不是分解因式，選項B不符合題意；C．，從左到右的變形是分解因式，選項C符合題意；D．是運用平方差公式計算，從左到右的變形不是分解因式，選項D不符合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了因式分解的意義和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．4.在平面直角坐標(biāo)系中，若點P(x-3，x)在第二象限，則x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)點的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)列出不等式組，然后求解即可．【詳解】∵點P（x-3，x）在第二象限，∴，解得：0＜x＜3．故選A.【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征以及解不等式組，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）；熟記各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，5.等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則其周長為（）A.16 B.20 C.24 D.20或16【答案】B【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊的關(guān)系，運用好分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．分腰長為4或8，兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切窝L為4時，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時，，能構(gòu)成三角形，其周長為：，故選：B．6.如圖，函數(shù)和的圖象相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用待定系數(shù)法求出點坐標(biāo)，再以交點為分界，結(jié)合圖象寫出不等式的解集即可．【詳解】解：函數(shù)過點，，解得：，，不等式的解集為．故選：D．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是求出點坐標(biāo)．7.小茗要從天府七中到興隆湖，兩地相距5.7千米，已知他步行的平均速度為90米/分鐘，跑步的平均速度為210米/分鐘，若他要在不超過52分鐘的時間內(nèi)到達(dá)，那么他至少需要跑步多少分鐘？設(shè)他跑步的時間為x分鐘，則列出的不等式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)“步行時間步行速度跑步時間跑步速度”列不等式即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定其中蘊含的不等關(guān)系．【詳解】解：設(shè)他跑步的時間為分鐘，則他步行時間為分鐘，根據(jù)題意，得：，故選：A．8.如圖，一副三角板的直角邊靠在一起，直角頂點重合，現(xiàn)將等腰沿方向平移一段距離，使頂點E恰好落在的邊上，若，，則平移的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及平移的性質(zhì)，知道平移的距離為是解決問題的關(guān)鍵．由題意得，平移的距離為，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可設(shè)，則，則，解方程即可．【詳解】解：過作交于，，由題意得，平移的距離為，在中，中，，，，，，，，設(shè)，則，則由勾股定理得：，解得：，平移的距離為，故選：C．二、填空題（每題4分，本大題共5個小題，共20分）9.多項式的公因式是________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了公因式，掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵．直接利用公因式的確定方法：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，則多項式的公因式是．故答案為：．10.若有一個因式，則_____．【答案】8【解析】【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)有一個因式，設(shè)，再展開合并同類項，得出解出，即可作答．【詳解】解：∵有一個因式，∴設(shè)，∴∴，∴．故答案為：8．11.如圖，，平分，，，若，則_____________．【答案】3【解析】【分析】由，平分，可得，即可得到，根據(jù)可得的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得結(jié)果．詳解】解：∵，平分，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，負(fù)值舍去，∵平分，，，∴．故答案為：3．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握運用這相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12.如圖，在中，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到．若點剛好落在邊上，則_______________．【答案】##110度【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)算出，即可得．【詳解】解：∵將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，∴，在中∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，判斷得出是解決此題的關(guān)鍵．13.如圖，在等腰中，，按以下步驟作圖：①分別以點B和點C為圓心，以大于的長為半徑作圓，相交于點M和點N；②作直線MN交AB于點D．若，則______．【答案】【解析】【分析】由作法得垂直平分，交于點，如圖，則，，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，得，為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出．【詳解】解：由作法得垂直平分，交于點，如圖，，，為等腰直角三角形，，，，為等腰直角三角形，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的作圖和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5個題，共48分）14.分解因式：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）直接利用十字相乘法進(jìn)行因式分解；（3）先提取公因式，再用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式；【小問3詳解】解：原式．15.解不等式組，并求出所有整數(shù)解的和．【答案】不等式組的解集為，所有整數(shù)解的和為【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．分別解每一個不等式，再取解集的公共部分，求出不等式組的解集，找出所有的整數(shù)解即可．【詳解】解：由①得：，解得：，由②得：，∴原不等式組的解集為：，∴整數(shù)解為：，∴整數(shù)解的和為：．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點分別是．（1）與關(guān)于點O成中心對稱，畫出對應(yīng)的；（2）將以點為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的；（3）若將看作由旋轉(zhuǎn)得到的，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為．【答案】（1）見解析（2）見解析（3），【解析】【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點即可．（2）分別作出A，B，C的對應(yīng)點即可．（3）對應(yīng)點連線段垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．【小問1詳解】解：如圖，即為所求作．【小問2詳解】解：即為所求作．【小問3詳解】解：如圖，連接分別作的垂直平分線，交點即為旋轉(zhuǎn)中心，所以將看作由旋轉(zhuǎn)得到的，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為．故答案為：，．【點睛】本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點B，且與正比例函數(shù)的圖象交于點（1）求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在點M，使得是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）,（2）6（3），，，【解析】【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)過，可得m，設(shè)一次函數(shù)解析式為代入求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出B點坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式直接求解；（3）根據(jù)A、B坐標(biāo)，求出，然后分三種情況：分別是，，為底時求解即可．【小問1詳解】解：∵正比例函數(shù)過，，解得：，，設(shè)一次函數(shù)解析式為，且過A、C，得：解得∴一次函數(shù)解析式為：．小問2詳解】解：由（1）可知，，的面積為：．【小問3詳解】解：由（1），，，，，情況一：當(dāng)?shù)资菚r，如圖：，；情況二：當(dāng)?shù)资菚r，如圖：M在A右側(cè)，，，，M在A左側(cè)，，，，情況三、當(dāng)?shù)资菚r，如圖：，，，，解得：，，綜上所述：，，，．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，并利用數(shù)形結(jié)合和分論討論思想思想解答是解題的關(guān)鍵．18.如圖①，在中，延長到D，使，E是上方一點，且（1）求證：是等腰三角形；（2）如圖①，若，將沿直線翻折得到，連接和，與交于F，若，求證：F是的中點；（3）在如圖②，若，，連接交于F，交于G．若，（），求線段的長度．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合條件中角的關(guān)系，由三角形外角的性質(zhì)，得，證出，得，即可證明結(jié)論；（2）同（1）證出，由翻折得，結(jié)合易得，即，由三線合一得F是的中點；（3）先利用折疊的性質(zhì)，證明，易得，利用三角形內(nèi)角和可得，由角的轉(zhuǎn)化得到，最后證明，進(jìn)而求得．【小問1詳解】證明：∵，，，∴，在與中，，∴，∴，∴是等腰三角形；【小問2詳解】證明：由（1）可得，∴，，如圖，連接，∵將沿直線翻折得到，∴，∵，∴，即．由三線合一，得：F是的中點；【小問3詳解】解：如圖，連接，并延長交于點M，根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，∵，，∴，∵，∴，在與中，∴，∴，由（2）知，，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，在與中，，∴，，，．【點睛】本題是三角形翻折變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，其中能夠利用全等三角形的性質(zhì)與翻折性質(zhì)得到的邊、角相等進(jìn)行等量代換是解題關(guān)鍵．B卷（50分）一、填空題（每小題4分，共20分）19.已知關(guān)于x，y的方程組，的解滿足x﹣y＞0，則k的最大整數(shù)值是______________．【答案】0【解析】【分析】方程組兩方程相減表示出，代入已知不等式即可求出的范圍，進(jìn)而確定出最大整數(shù)值即可．詳解】解：，②①得：，∵x﹣y＞0，∴，解得：，∴的最大整數(shù)值為0．故答案為：0．【點睛】此題考查了解一元一次不等式以及解二元一次方程組，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．20.如圖，和重疊在一起，將沿點B到點C方向平移到如圖位置，已知．圖中陰影部分的面積為84，，則平移距離為_____．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可知：，由此可求出的長．由，結(jié)合梯形的面積公式即可求出．【詳解】解：根據(jù)平移可得，，，，，，，，即平移的距離為7，故答案為：7．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，對應(yīng)點連線的長度等于平移距離，平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀，熟記各性質(zhì)并判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積是解題的關(guān)鍵．21.若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解有且僅有6個，則m的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解問題，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．先解不等式組，再根據(jù)僅有6個整數(shù)解，得出關(guān)于m的不等式，求解即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，關(guān)于的不等式組的整數(shù)解僅有6個，，解得：，故答案為：．22.定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是________；第23個智慧優(yōu)數(shù)是________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，當(dāng)，，則第1個一個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第2個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為，當(dāng)，，則第4個智慧優(yōu)數(shù)為，當(dāng)，，則第5個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第6個智慧優(yōu)數(shù)為當(dāng)，，則第7個智慧優(yōu)數(shù)為……時有4個智慧優(yōu)數(shù)，同理時有個，時有6個，列表如下，

觀察表格可知當(dāng)時，時，智慧數(shù)為，時，智慧數(shù)為，，時，智慧數(shù)為，，時，智慧數(shù)為，第1至第10個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，第11至第20個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，第21個智慧優(yōu)數(shù)，第22個智慧優(yōu)數(shù)為，第23個智慧優(yōu)數(shù)為故答案為：，．【點睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在△ABC中，，∠BAC＝120°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AEF，連接BE，F(xiàn)C并分別延長交于點M，則BM的長為______．【答案】【解析】【分析】連接FB，EC，證明△BFM是等邊三角形，△EMC是等邊三角形，過點E作ED⊥AC，垂足為D，根據(jù)30°角的函數(shù)值，求得ED，AD，DC，再用勾股定理計算EC即EM的長，結(jié)合BM=BE+EM計算即可．【詳解】如圖，連接FB，EC，∵∠BAC=120°，∠BAE=∠CAF=90°，AB=AE=AC=AF=，∴∠EAC=30°，∠BAF=150°，∠ABE=∠AEB=∠AFC=∠ACF=45°，BE=FC=4，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB=15°，∴∠FBE=∠BFC=60°，∴△BFM是等邊三角形，∴△EMC是等邊三角形，過點E作ED⊥AC，垂足為D，則ED=AEsin30°=，AD=AEcos30°=，∴DC=AC-AD=，根據(jù)勾股定理，得EC=，∴BM=BE+EM==．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、解答題24.某市正式出臺了住房限購政策：本市戶籍居民家庭在主城區(qū)已擁有1套住房的，可以再購買第二套住房，暫停購買第三套住房，有業(yè)界人士據(jù)此分析認(rèn)為，郊區(qū)房價將會上漲，特種開發(fā)公司立即計劃在近郊建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本（萬/套）2528售價（萬/套）3034（1）該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案?（2）該公司如何建房獲得利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）共有三種建房方案，方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套，方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套；（2）建造型的住房48套，建造型住房32套，可以獲得利潤最大，最大利潤是432萬元【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和表格中的數(shù)據(jù)可以得到利潤與建造型住房的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【小問1詳解】解：（1）設(shè)建造型的住房套，則建造型住房套，，解得：，為整數(shù)，，49，50，共有三種建房方案，方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套，方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套；【小問2詳解】解：設(shè)利潤為元，，，當(dāng)時，取得最大值，此時，，答：采用建房方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，可以獲得利潤最大，最大利潤是432萬元．25.已知長為a、b、c、d的四條線段．，以a、b為邊構(gòu)造，其中；以c、d為邊構(gòu)造，其中．（1）判斷和的形狀并證明；（2）將和按照圖1方式放置，當(dāng)B、C、E共線時，取的中點M，連接．若，請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，當(dāng)B、C、E不共線時，連接并取其中點M，連接、若，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由．【答案】（1）都是等腰三角形，證明見解析（2），證明見解析（3）成立，證明見解析【解析】【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明，，可得結(jié)論；（2）猜想：．延長到T，使得，連接，延長交的延長線于點K．證明，推出，，推出，推出，再證明，推出，再利用四邊形內(nèi)角和為可得結(jié)論；（3）猜想仍然成立，延長到Q，使得，連接，延長交于點J．證明，則，得到，則，再證明，則，再利用四邊形內(nèi)角和為可得結(jié)論．【小問1詳解】解：結(jié)論：，都是等腰三角形；理由：∵，∴，∴，，∴，都是等腰三角形；【小問2詳解】猜想：．理由：延長到T，使得，連接，延長交的延長線于點K．∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【小問3詳解】猜想仍然成立．理由：延長到Q，使得，連接，延長交于點J．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．26.【模型建立】（1）如圖1，等腰RtABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：BEC≌CDA．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l1則直線l2的函數(shù)表達(dá)式為．（3）如圖3，將圖1四邊形放