內(nèi)蒙古太仆寺旗寶昌第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

內(nèi)蒙古太仆寺旗寶昌第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知x,y滿足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．2．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個(gè)公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．3．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．4．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．07．已知集合，，則=()A． B． C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．10．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．11．已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．12．在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)，則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.14．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____15．已知，若，則________.16．已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。?9．（12分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長(zhǎng)度；（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最小？20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若，求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線，交于點(diǎn)，且的最大值為，求的值.21．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”；采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn)，通過分析上一年度的售價(jià)(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①：附②：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.22．（10分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組，其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.2、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時(shí)，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．3、D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖可知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，此時(shí)成立；取所有負(fù)值都成立；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取正值中的最小值，，此時(shí)；故的取值范圍為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題，解題時(shí)作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵．對(duì)于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．5、B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問題，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩A角為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

計(jì)算，，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.9、C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.10、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

由M是BC的中點(diǎn)，知AM是BC邊上的中線，又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，知AM是BC邊上的中線，又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點(diǎn)．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標(biāo)法：P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí)，，區(qū)間長(zhǎng)度是，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是，所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.14、80211【解析】

由，利用二項(xiàng)式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15、1【解析】

由題意先求得的值，可得，再令，可得結(jié)論．【詳解】已知，，，，令，可得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即．當(dāng)且，即，或，時(shí)取等號(hào)；因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點(diǎn)：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性．18、（1）當(dāng)時(shí)，直線l方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【解析】

（1）對(duì)直線l的傾斜角分類討論，消去參數(shù)即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)條件Δ＝0，即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，直線l的普通方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，消去參數(shù)得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查直線與曲線的關(guān)系，屬于中檔題.19、（1）；（2）當(dāng)BP為cm時(shí)，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，根據(jù)得到，解得答案.（2）設(shè)BP＝t，則，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，則，化簡(jiǎn)得，解之得，或（舍），（2）設(shè)BP＝t，則，，設(shè)，，令f'（t）＝0，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，f'（t）＜0，f（t）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'（t）＞0，f（t）是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因?yàn)楹愠闪?，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因?yàn)閥＝tanx在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，α+β取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、（1），；（2）或【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí)，的最大值為所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以.綜上所述，或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，和點(diǎn)到直線距離公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）列