小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算方法遷移的“現(xiàn)實(shí)化”過程

摘要感悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，不是簡(jiǎn)單地要求學(xué)生在運(yùn)算中進(jìn)行計(jì)算方法的直接遷移、計(jì)算方式的機(jī)械模仿或者計(jì)算過程的自由嘗試，而是需要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過程、“裸視圖”的思維過程和“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程等“現(xiàn)實(shí)化”的兒童認(rèn)知過程，從而真正感悟數(shù)與運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵，建立計(jì)算算理的本真聯(lián)系，形成計(jì)算方法的本能遷移。關(guān)鍵詞運(yùn)算方法遷移；現(xiàn)實(shí)化；算式書寫；算理理解；算法建構(gòu)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）要求，在“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域教學(xué)中，為了使學(xué)生形成相對(duì)系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在探索算理、形成算法的過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生自主感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性[1]。筆者以為，感悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，不是簡(jiǎn)單地要求學(xué)生在運(yùn)算中進(jìn)行計(jì)算方法的直接遷移、計(jì)算方式的機(jī)械模仿或者計(jì)算過程的自由嘗試，而需要從兒童學(xué)習(xí)的認(rèn)知特點(diǎn)、數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)特征以及教材編排的結(jié)構(gòu)安排等“現(xiàn)實(shí)化”角度，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷基于兒童認(rèn)知的算式書寫、算理探索、方法形成的思維遷移過程，從而真正感悟各類運(yùn)算之間的關(guān)系及其運(yùn)算本質(zhì)。因而，教學(xué)中運(yùn)算方法的遷移需要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過程、“裸視圖”的思維過程以及“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程，才能促進(jìn)學(xué)生在運(yùn)算知識(shí)的形成過程中以兒童的認(rèn)知方式主動(dòng)參與、自主探索，繼而真正感悟數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵，建立計(jì)算算理的本真聯(lián)系，形成計(jì)算方法的本能遷移，進(jìn)而體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知和計(jì)算思維的同步生長(zhǎng)、核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的同步發(fā)展。筆者以蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級(jí)下冊(cè)第57頁(yè)例6“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”教學(xué)內(nèi)容為例，探索數(shù)學(xué)運(yùn)算方式遷移的“現(xiàn)實(shí)化”過程，以饗讀者。如圖1，在教學(xué)45+31時(shí)，教材引出小棒圖和計(jì)數(shù)器圖，力求通過直觀觀察或動(dòng)手操作幫助學(xué)生理解算理，形成算法。而教學(xué)67-34時(shí)，教材直接通過“試一試”的方式讓學(xué)生嘗試獨(dú)立計(jì)算。課堂上如果照搬教材編排的內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行機(jī)械教學(xué)，不但不能促進(jìn)學(xué)生體會(huì)加、減法運(yùn)算之間的關(guān)系及其運(yùn)算本質(zhì)的一致性，反而會(huì)影響學(xué)生對(duì)減法算理的積極探索，抑制學(xué)生對(duì)減法算法的自主建構(gòu)，阻礙學(xué)生計(jì)算思維的積極形成和運(yùn)算方法的自然遷移。因?yàn)樵趦和恼J(rèn)知里，減法運(yùn)算與加法運(yùn)算完全不同，其算理思維的抽象程度明顯高于加法運(yùn)算，僅憑主題圖中加法運(yùn)算算理情境的直觀啟迪無法實(shí)現(xiàn)加法運(yùn)算方法向減法運(yùn)算方法的思維遷移。學(xué)生對(duì)減法算理、算法的自主探索與建構(gòu)，需要小棒圖、計(jì)數(shù)器圖的動(dòng)態(tài)啟迪或動(dòng)手操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)。所以，加、減法運(yùn)算方法的思維遷移，理應(yīng)從兒童的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和思維現(xiàn)實(shí)出發(fā)。教師在解讀教材編排的重心是什么、目標(biāo)是什么，以及教材編排的體系特征的基礎(chǔ)上，對(duì)加、減法運(yùn)算的書寫格式、算理探索及其算法應(yīng)用開展“現(xiàn)實(shí)化”的兒童實(shí)踐，讓運(yùn)算方法的遷移經(jīng)歷兒童認(rèn)知的思維過程，形成“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”算理探索和方法建構(gòu)的兒童認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)加、減法運(yùn)算本質(zhì)一致性的體會(huì)與感悟，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)加、減法筆算算理與算法的深度理解與應(yīng)用掌握。一、算式書寫“現(xiàn)實(shí)化”需要經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過程“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”的筆算教學(xué)，是學(xué)生第一次接觸“豎式計(jì)算”的運(yùn)算概念，對(duì)豎式計(jì)算的算式書寫應(yīng)然地表現(xiàn)為“零起點(diǎn)”的思維認(rèn)知狀態(tài)[2]。計(jì)算教學(xué)固然要以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但新知概念的自然生長(zhǎng)更需要兒童“零起點(diǎn)”的思維認(rèn)知，才能驅(qū)動(dòng)兒童不斷走向新的數(shù)學(xué)認(rèn)知，促進(jìn)運(yùn)算概念的“現(xiàn)實(shí)化”建構(gòu)，形成基于兒童認(rèn)知的概念理解。所以，“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過程需要教師從兒童的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知思維和認(rèn)知情感等“現(xiàn)實(shí)化”視角引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生從內(nèi)心深處真切感受算式書寫格式生長(zhǎng)的必要性和應(yīng)用性，體悟不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)算意義，進(jìn)而理解算理、建構(gòu)算法，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。課堂上，橫式計(jì)算向豎式計(jì)算的書寫格式轉(zhuǎn)化與方法遷移，需要基于“零起點(diǎn)”的兒童認(rèn)知，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)開展“現(xiàn)實(shí)化”知識(shí)概念的建構(gòu)，而不應(yīng)成為課堂上知識(shí)概念的直接“灌輸”。因?yàn)?，?dāng)教師在學(xué)生自由交流的基礎(chǔ)上機(jī)械引出“可以用豎式計(jì)算”的教學(xué)“指令”時(shí)，學(xué)生的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)還停留在“用口算的方式算出橫式的結(jié)果”的認(rèn)知層面，豎式計(jì)算的書寫格式和筆算方法在兒童的腦海里還處于“零起點(diǎn)”的認(rèn)知狀態(tài)。所以，課堂上對(duì)豎式計(jì)算書寫格式的教學(xué)內(nèi)容不應(yīng)簡(jiǎn)單地直接告知或強(qiáng)迫學(xué)生機(jī)械模仿，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在例題主題圖中小棒圖和計(jì)數(shù)器圖的直觀啟迪之下，對(duì)已有計(jì)算知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行算理轉(zhuǎn)化與方法遷移，促進(jìn)學(xué)生以兒童的認(rèn)知方式逐步實(shí)現(xiàn)算式書寫格式的“現(xiàn)實(shí)化”建構(gòu)。1.激活兒童經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)自主思維教師在學(xué)生自主交流“45+31怎樣算的”的基礎(chǔ)上激活兒童經(jīng)驗(yàn)，從而激發(fā)學(xué)生思維，創(chuàng)建以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的課堂實(shí)踐。如教師可以提問：“兩個(gè)數(shù)相加除了寫成橫的算式進(jìn)行計(jì)算，還可以寫成怎樣的算式進(jìn)行計(jì)算？你們認(rèn)為可以怎樣寫呢？”學(xué)生只有經(jīng)歷基于兒童認(rèn)知方式的豎式書寫過程，才能在豎式書寫過程中把意圖、想法及問題等完全露出來，為正確、規(guī)范的豎式書寫積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、奠定思維基礎(chǔ)，進(jìn)而以兒童的認(rèn)知方式促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)理解豎式計(jì)算及其書寫格式的意義、價(jià)值及效用。2.引發(fā)直觀思維，生發(fā)兒童經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生自主創(chuàng)造豎式的過程中，教師可以順勢(shì)引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較、分析，并基于“現(xiàn)實(shí)化”的兒童認(rèn)知方式啟發(fā)學(xué)生把橫式轉(zhuǎn)化成豎式。師：既然是豎式，一定是豎下來寫。45加31，應(yīng)該先寫誰？生：45。師：然后寫誰？生：31。師補(bǔ)充：加31，加號(hào)寫在哪里？生：31的前面。師：為什么？生：橫式里的加號(hào)在31前面，所以堅(jiān)式里的加號(hào)也要寫在31前面。兒童的理解與成人是不一樣的，如此解釋可以彰顯兒童認(rèn)知方式對(duì)豎式書寫格式的“現(xiàn)實(shí)化”意義建構(gòu)。因而，以兒童的認(rèn)知方式引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考會(huì)使教材中的數(shù)學(xué)規(guī)律、規(guī)定、法則等向“兒童化”認(rèn)知方式轉(zhuǎn)變[3]。3.啟發(fā)兒童認(rèn)知，啟迪數(shù)學(xué)感悟基于兒童認(rèn)知的豎式書寫格式的意義建構(gòu)，需要教師進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生理解、體會(huì)豎式計(jì)算的作用及其價(jià)值。教師可以提問：“你們覺得把相加的兩個(gè)數(shù)寫成豎的算式好還是寫成橫的算式好呢？”學(xué)生在課堂上集體交流時(shí)各抒己見，分別對(duì)橫式算式和豎式算式書寫格式的特征及其價(jià)值給出自己的表達(dá)。教師相機(jī)補(bǔ)充并以兒童的認(rèn)知方式啟迪學(xué)生感悟：橫式和豎式各有各的好處，不同書寫類型的算式之間是相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充的，它們既有相通的地方，也有各自的特點(diǎn)。如此引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過程，不僅使學(xué)生深度體驗(yàn)橫式和豎式計(jì)算的價(jià)值和必要性，初步感知兩種算式書寫格式所隱含的算理和算法的聯(lián)系與區(qū)別，而且使學(xué)生在學(xué)習(xí)加法豎式計(jì)算的過程中深切感悟到：無論是橫式書寫還是豎式書寫，其計(jì)算過程都表示小棒圖中整捆的和整捆的相加，單根和單根的相加，繼而進(jìn)一步感悟橫式計(jì)算與豎式計(jì)算的一致性，并使學(xué)生初步感受到不同的計(jì)算書寫類型在不同的計(jì)算場(chǎng)景或計(jì)算需求中彰顯著不同的計(jì)算功能和書寫價(jià)值。二、算理理解“現(xiàn)實(shí)化”需要經(jīng)歷“裸視圖”的思維過程“裸視圖”的思維過程，旨在促進(jìn)計(jì)算算理過程“可視化”和兒童認(rèn)知過程“現(xiàn)實(shí)化”，使計(jì)算算理在兒童的靜態(tài)思維里被自然感知，在動(dòng)態(tài)思維中被自主感悟，繼而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)加、減法計(jì)算算理的“現(xiàn)實(shí)化”理解與意義建構(gòu)[4]。所以，計(jì)算算理的探索過程，既需要引領(lǐng)學(xué)生在靜態(tài)的直觀觀察中開啟數(shù)學(xué)思考，更需要啟發(fā)學(xué)生在靜態(tài)感知的基礎(chǔ)上激發(fā)動(dòng)態(tài)思維的操作需求，使加、減法的計(jì)算算理經(jīng)歷靜態(tài)觀察到動(dòng)態(tài)操作的自主探索過程，助推對(duì)加、減法計(jì)算算理的主動(dòng)探索與應(yīng)然理解，從而實(shí)現(xiàn)加法運(yùn)算方法向減法運(yùn)算的自然遷移，初步感悟加、減法運(yùn)算本質(zhì)的一致性。減法雖然是加法的逆運(yùn)算，其運(yùn)算本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位的數(shù)量消減。但是兩位數(shù)加兩位數(shù)的算理意義，學(xué)生可以通過對(duì)小棒或計(jì)數(shù)器情境圖的靜態(tài)觀察與自主思考直觀探索，而在兩位數(shù)減兩位數(shù)算理探索的過程中，則需要小棒或計(jì)數(shù)器圖的動(dòng)態(tài)演示或直接動(dòng)手操作，才能啟迪學(xué)生思維、撬動(dòng)兒童認(rèn)知。如主題圖中小棒圖，教師借助圖形探索加法計(jì)算算理時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把4捆帶5根小棒和3捆帶1根小棒看做一個(gè)整體，繼而引導(dǎo)學(xué)生用整體的數(shù)學(xué)眼光觀察：現(xiàn)在一共有多少根小棒？你能直接看出是幾捆和幾根嗎？在觀察思考中，學(xué)生在腦海里自然地把整捆與整捆的合并，單根的與單根的合并，并直觀看出小棒的“捆數(shù)”和“單根數(shù)”，繼而初步感悟加法的算理和算法，即相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)量進(jìn)行累加。但是借助小棒圖表示減法算理時(shí)，無法像加法一樣直接從靜態(tài)圖中直觀感悟算理。因而，67-34的算理直觀圖需要在圖形中動(dòng)態(tài)表示出原有67根小棒、去掉34根小棒、還剩33根小棒等數(shù)量要素。這些數(shù)量要素有的是靜態(tài)呈現(xiàn)的，有的則需要?jiǎng)討B(tài)展現(xiàn)，既要有過程的演繹，又要有結(jié)果的表達(dá)。如此，數(shù)學(xué)探索方能滿足兒童的認(rèn)知需求和情感現(xiàn)實(shí)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷算理的探索過程。因此，教材中以“試一試”的教學(xué)方式直接要求學(xué)生獨(dú)立計(jì)算67-34的教學(xué)活動(dòng)不符合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，違背了知識(shí)遷移的規(guī)律。同時(shí)，加、減法的算式意義在兒童的認(rèn)知思維表達(dá)上也是不一樣的。加法的算式意義是表示把兩個(gè)分量合成一個(gè)總量，只要兩個(gè)分量直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，學(xué)生就能感知總量的客觀存在，因?yàn)榇藭r(shí)“整捆”和“單根”合并的算理思維視圖會(huì)直接呈現(xiàn)在學(xué)生的腦海中。而減法的算式意義表示從總量中去掉分量，求另一分量的過程，如果靜態(tài)地呈現(xiàn)總量，學(xué)生無法直接感知“去掉量”與“剩余量”兩個(gè)分量中“整捆”和“單根”的直觀存在，導(dǎo)致減法算理的思維視圖無法直接在學(xué)生腦海中直觀呈現(xiàn)，而需要?jiǎng)討B(tài)演示或動(dòng)手操作才能直接感知。因此，教師要從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和運(yùn)算方法遷移的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，對(duì)教材的編排內(nèi)容進(jìn)行“現(xiàn)實(shí)化”重組，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷加、減法算理的操作過程。學(xué)生只有在動(dòng)手操作小棒或數(shù)珠的“正向”與“反向”運(yùn)算過程中，才能直觀感知小棒“整捆”或“單根”數(shù)量的疊加或消減的運(yùn)算過程，體會(huì)加、減法算理的內(nèi)在思維聯(lián)系，初步感知加、減法運(yùn)算本質(zhì)的一致性。三、算法建構(gòu)“現(xiàn)實(shí)化”需要經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程學(xué)生在獨(dú)立計(jì)算過程中，對(duì)計(jì)算算理的理解和計(jì)算方法的運(yùn)用會(huì)因算式中數(shù)字的變化產(chǎn)生思維上的認(rèn)知“缺口”，對(duì)每一次認(rèn)知“缺口”的思維突破均表現(xiàn)為運(yùn)算方法的“現(xiàn)實(shí)化”思維遷移。因而，“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程是指向?qū)W生對(duì)計(jì)算算理和計(jì)算方法得以遷移的一種思維再加工和認(rèn)知再突破。學(xué)生只有經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程，對(duì)一種運(yùn)算的算理和算法才會(huì)形成“現(xiàn)實(shí)化”的意義建構(gòu)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)一致性的感悟才能內(nèi)化為兒童認(rèn)知，形成數(shù)學(xué)化理解[5]。“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容不僅是學(xué)生第一次接觸豎式計(jì)算這一計(jì)算類型，而且也涵蓋了“兩位數(shù)與一位數(shù)、整十?dāng)?shù)相加、減”的筆算內(nèi)容。在豎式計(jì)算的過程中，對(duì)豎式書寫格式、計(jì)算方法的理解與掌握需要在不同的算式中遷移內(nèi)化，學(xué)生才能真實(shí)掌握與深度理解，繼而形成計(jì)算技能。當(dāng)學(xué)生探索兩位數(shù)加兩位數(shù)計(jì)算方法后，教師在課堂上應(yīng)啟迪學(xué)生在45+31算式的基礎(chǔ)上衍生出如45+30、30+45及45+3、3+45等“兩位數(shù)與整十?dāng)?shù)、一位數(shù)相加”算式，繼而順勢(shì)啟發(fā)學(xué)生探索兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)的書寫方式和計(jì)算法則。特別是兩位數(shù)與一位數(shù)相加的豎式計(jì)算對(duì)學(xué)困生更是難點(diǎn)，僅靠課堂上教師的單向講解難以促進(jìn)學(xué)生完全理解算理、正確掌握算法，需要教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)運(yùn)算方法的遷移過程，才能促進(jìn)計(jì)算技能的自主形成。因?yàn)閷W(xué)生在計(jì)算過程中遇到如45+3、3+45等“兩位數(shù)與一位數(shù)相加”的算式時(shí)，會(huì)形成“數(shù)位怎么對(duì)齊？十位上4沒有數(shù)和它相加，怎么算、怎么寫？”的認(rèn)知“缺口”。這些在計(jì)算過程中自然生成的計(jì)算方法需要教師及時(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)化”的數(shù)學(xué)探索，形成兒童認(rèn)知的意義理解。因而，不同的計(jì)算類型對(duì)學(xué)生而言都是一次新的思維探索與認(rèn)知突破，唯有經(jīng)歷了學(xué)生自主探索、合作交流以及同伴引導(dǎo)的思維過程，才能實(shí)現(xiàn)新的運(yùn)算方法的自然遷移和內(nèi)化應(yīng)用。同樣，基于運(yùn)算方法遷移和運(yùn)算本質(zhì)一致性的“現(xiàn)實(shí)化”視角，更需要引領(lǐng)學(xué)生完成減法算式的意義建構(gòu)和方法探索。因?yàn)樵?7-34基礎(chǔ)上衍生出來的如67-60、67-7等“兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)”的算式中所隱含的運(yùn)算思維和計(jì)算方法更加凸顯了兒童的認(rèn)知“缺口”，需要學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算思維探索和計(jì)算方法改進(jìn)。因而，教師在引導(dǎo)學(xué)生感悟計(jì)算方法“現(xiàn)實(shí)化”一致性時(shí)需要開展兒童認(rèn)知的思維探索。如“計(jì)算67-7時(shí)，數(shù)位怎么對(duì)齊？個(gè)位上減下來的0需要不需要寫？計(jì)算67-60時(shí)，十位上減下來的0需要不需要寫？”這些算式中衍生出來的計(jì)算方法，既是學(xué)生一次新的計(jì)算方法的認(rèn)知突破，更是學(xué)生自主內(nèi)化運(yùn)算方法的又一次思維遷移。如此，“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程是學(xué)生在探索算理、建構(gòu)算法過程中的認(rèn)知難點(diǎn)，需要教師引領(lǐng)學(xué)生在課堂上自主探索、獨(dú)立體驗(yàn)，教師如果忽視兒童的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維現(xiàn)實(shí)，機(jī)械教教材，必然抑制學(xué)生在不同計(jì)算類型之間的算理、算法的自然遷移。故而，學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的內(nèi)化與應(yīng)用，需要經(jīng)歷不同計(jì)算類型的變化過程，方能應(yīng)對(duì)計(jì)算過程中生成的書寫格式、數(shù)位對(duì)齊、方法技能等運(yùn)算知識(shí)要素“現(xiàn)實(shí)化”的變化。學(xué)生在變化的算式計(jì)算中逐步探索算理、建構(gòu)算法以及抽象法則，才能逐步從單一的計(jì)算思維走向多元的運(yùn)算思維，不斷從一種類型的計(jì)算方法遷移到其他類型的計(jì)算方法中。所以，運(yùn)算方法的自然遷移需要教師引導(dǎo)學(xué)生從例題“原型”出發(fā)，積極創(chuàng)造不同的算式，實(shí)現(xiàn)已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的不斷積累與應(yīng)用、新的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的遷移與改造，理解不同運(yùn)算知識(shí)之間的必然聯(lián)系，促使他們?cè)诮?jīng)歷“應(yīng)變