高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第3節(jié)　不等式的性質(zhì)、一元二次不等式（講義）

第3節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.梳理不等式的性質(zhì),理解不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì).2.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.3.經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義,能借助一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式相應(yīng)的函數(shù)、方程的聯(lián)系.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)a-b>0?a>b(a,b∈R),a-b=0?a=b(a,b∈R),a-b<0?a<b(a,b∈R).2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒性質(zhì)1(對(duì)稱性)a>b?b<a?性質(zhì)2(傳遞性)a>b,b>c?a>c?性質(zhì)3(可加性)a>b?a+c>b+c?性質(zhì)4(可乘性)a>bc>0?注意c的符號(hào)a>bc<0?續(xù)表性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒性質(zhì)5(同向可加性)a>bc>d??性質(zhì)6(同向同正可乘性)a>b>0c>d>0??性質(zhì)7(可乘方性)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)a,b同為正數(shù)3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表所示判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1=x2=-b沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}1.若ab>0,且a>b?1a<12.若a>b>0,m>0?ba<b若b>a>0,m>0?ba>b1.(必修第一冊(cè)P53練習(xí)T1改編)不等式-x2-5x+6≥0的解集為(A)A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}解析:不等式-x2-5x+6≥0可化為x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集為{x|-6≤x≤1}.2.(必修第一冊(cè)P43習(xí)題T8改編)已知非零實(shí)數(shù)a,b滿足a<b,則下列不等式中一定成立的是(D)A.lna<lnb B.1a>C.a2<b2 D.a3<b3解析:對(duì)于A,當(dāng)a<b<0時(shí),不等式無(wú)意義,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,當(dāng)a<0<b時(shí),1a<1b,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,當(dāng)a<b<0時(shí),a2>b2,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,當(dāng)a<b時(shí),a3<b3.(多選題)設(shè)b>a>0,c∈R,則下列不等式正確的是(ABC)A.a12<b12 C.a+2b+2>ab 解析:因?yàn)閥=x1所以a12<因?yàn)閥=1x所以1a>1因?yàn)閍+2b+2-a所以a+2b+2當(dāng)c=0時(shí),ac3=bc3,所以D不正確.4.已知-1<x<4,2<y<3,則x-2y的取值范圍是,3x+4y的取值范圍是.

解析:因?yàn)?1<x<4,2<y<3,所以-6<-2y<-4,所以-7<x-2y<0.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,8<4y<12,所以5<3x+4y<24.答案:(-7,0)(5,24)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1.(2022·江西上饒聯(lián)考)若a,b,c∈R,則下列命題正確的是(D)A.若a>b,則a2>b2B.若a>b,則1a<C.若a>b>c>0,則ab<D.若a>b>c>0,則ba-解析:對(duì)于A,若a=1,b=-2,則a2=1<b2=4,所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B,若a=1,b=-2,則1a=1>1b=-12,所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C,若a=3,b=2,c=1,則ab=32>a+cb+c=2.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2=4x+z-y-4,且x+y2+2=0,則下列關(guān)系成立的是(D)A.y>x≥z B.z≥x>yC.y>z≥x D.z≥y>x解析:由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y;由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),則y-x=y2+2+y=(y+12)2+7綜上所述,z≥y>x.3.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),則ba的取值范圍是解析:因?yàn)閍∈(-3,-2),所以1a∈(-12,-13),故-1a∈(13,1所以ba∈(-2,-2答案:(-2,-234.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,則3x-2y的取值范圍是.

解析:設(shè)3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,所以m-n3x-2y=12(x+y)+5因?yàn)?1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以3x-2y=12(x+y)+5答案:[2,8](1)根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性質(zhì)或特殊值法,而對(duì)于待比較的不等式的兩端可以化為相同的函數(shù)的形式,可以利用構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.(2)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)的正負(fù)未知且為多項(xiàng)式時(shí),用作差法,作差時(shí)要注意變形技巧.(3)已知x,y的范圍,求由ax,by(ab≠0)通過(guò)加、減、乘、除構(gòu)成的運(yùn)算式子的范圍時(shí),可利用不等式的性質(zhì)直接求解.(4)已知由ax,by(ab≠0)通過(guò)加、減、乘、除構(gòu)成的運(yùn)算式子的范圍,求解形如cx±dy(cd≠0)的范圍問(wèn)題時(shí),要利用待定系數(shù)法,將cx±dy用已知條件的關(guān)系式整體代換.此種類(lèi)型中不要直接求出x,y的范圍后求cx±dy的范圍,由于a>b,c>d?a+c>b+d不是可逆的,因此容易出現(xiàn)錯(cuò)解.一元二次不等式的解法及應(yīng)用一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系[例1]已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12},求不等式ax2解:由條件知-2,-12是方程ax2所以-2-12=-ba,(-2)×(-12所以b=52從而不等式ax2-bx+c>0,即為a(x2-52因?yàn)閍<0,所以原不等式等價(jià)于2x2-5x+2<0,即(x-2)(2x-1)<0,解得12所以不等式的解集為{x|12(1)一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.(2)給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).含參數(shù)一元二次不等式的解法[例2]解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).解:原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)<0,因?yàn)閍>0,所以(x-1a所以當(dāng)a>1時(shí),解得1a當(dāng)a=1時(shí),解集為;當(dāng)0<a<1時(shí),解得1<x<1a綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為{x|1<x<1a當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為;當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為{x|1a對(duì)含參的不等式,應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,常見(jiàn)的分類(lèi)有:(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi).(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.[針對(duì)訓(xùn)練]1.不等式-3<4x-4x2≤0的解集為()A.{x|-12<x<3B.{x|-12<x≤0或1≤x≤3C.{x|1≤x<32D.{x|-12<x≤0或1≤x<3解析:原不等式可化為4解4x-4x2>-3,得-12<x<3解4x-4x2≤0,得x≤0或x≥1.所以原不等式的解集為{x|-12<x≤0或1≤x<32.(多選題)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1,3),則下列說(shuō)法正確的是()A.a>0B.bx-c>0的解集是{x|x>32C.cx2+ax-b>0的解集是{x|x<-23D.a+b<c解析:不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1,3),則a即abx-c>0,即-2ax+3a>0,所以x>32cx2+ax-b>0,即-3ax2+ax+2a>0,即3x2-x-2>0,解集是{x|x<-23因?yàn)閤=-1∈{x|x<-23所以c-a-b>0,即a+b<c.故選BCD.一元二次不等式恒成立問(wèn)題一元二次不等式在R上的恒成立問(wèn)題[例3]若不等式2kx2+kx-38A.(-3,0) B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0]解析:當(dāng)k=0時(shí),顯然成立;當(dāng)k≠0時(shí),即一元二次不等式2kx2+kx-38則k解得-3<k<0.綜上,滿足不等式2kx2+kx-38一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是a(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是a一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題[例4]若對(duì)任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a為常數(shù)),則a的取值范圍是()A.(-∞,-3] B.(-∞,0]C.[1,+∞) D.(-∞,1]解析:法一令f(x)=x2-2x+a,則由題意,得f(-法二當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),不等式x2-2x+a≤0恒成立等價(jià)于a≤-x2+2x恒成立,則由題意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,則當(dāng)x=-1時(shí),(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3.故選A.一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)最值轉(zhuǎn)化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.一元二次不等式在給定參數(shù)范圍上的恒成立問(wèn)題[例5](2023·江蘇宿遷模擬)若不等式x2+px>4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立,則x的取值范圍是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析:不等式x2+px>4x+p-3可化為(x-1)p+x2-4x+3>0,由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),可得f所以x<-1或x>3.故選D.給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題,一般采用變換主元法,即求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2023·北京模擬)已知不等式x2+ax+4≥0的解集為R,則a的取值范圍是()A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析:不等式x2+ax+4≥0的解集為R,所以Δ=a2-4×1×4≤0,解得-4≤a≤4.所以a的取值范圍是[-4,4].故選A.2.已知a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為()A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)解析:把不等式的左端看成關(guān)于a的函數(shù),記f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則由f(a)>0對(duì)于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式組x2故選C.3.(2023·浙江寧波模擬)若對(duì)任意的t∈[1,2],函數(shù)f(x)=t2x2-(t+1)x+a總有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:函數(shù)f(x)=t2x2-(t+1)x+a總有零點(diǎn)等價(jià)于方程t2x2-(t+1)x+a=0的根的判別式Δ=[-(t+1)]2-4at2≥0對(duì)任意的t∈[1,2]恒成立,所以a≤(t令g(t)=(t+1)24t2因?yàn)閠∈[1,2],所以1t∈[1所以g(t)∈[916,1],即(t+1故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,916答案:(-∞,916[例1]若a<0,b<0,則p=b2a+A.p<q B.p≤qC.p>q D.p≥q解析:p-q=b2a+a2b-a-b=b2-a2a+a2-b2b=(b[例2]若命題“?a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”為假命題,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A.[-1,4] B.[0,53C.[-1,0]∪[53,4] D.[-1,0)∪(5解析:命題“?a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”為假命題,其否定為真命題,即“?a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”為真命題.令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0,則