甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，若，則()A．45 B．75 C．180 D．3203．已知空間中兩點(diǎn),則長(zhǎng)為()A． B． C． D．4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220185．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π6．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．8．化簡(jiǎn)：（）A． B． C． D．9．如圖是正方體的展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：①與平行；②與是異面直線(xiàn)；③與成60°角；④與垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10．已知各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上的正方體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列，，且，則________．12．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________．13．把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，則所得的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為_(kāi)_______14．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是______.15．某小區(qū)擬對(duì)如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀．已知,則面積最小值為_(kāi)___16．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時(shí)n的值為_(kāi)___________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:平面BDE;(2)若點(diǎn)F在線(xiàn)段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.18．如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)分別是的圖像與軸、軸的交點(diǎn)，分別是的圖像上橫坐標(biāo)為的兩點(diǎn),軸，共線(xiàn)．（1）求的值；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)，（，，）的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）已知且，求.20．函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.21．（1）若關(guān)于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）解關(guān)于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得最小值，即可求解.【詳解】由題意，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，，從而，所以，而，所以，故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).3、C【解析】

根據(jù)空間中的距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解，得到答案．【詳解】由空間中的距離公式，可得，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的距離公式，其中解答中熟記空間中的距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.5、A【解析】

根據(jù)正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦定理求三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題。6、D【解析】

對(duì)分兩種情況討論分析得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，所以滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，綜合得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題．【詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，，取得最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的使用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題.8、A【解析】

.故選A．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量加法的運(yùn)算．9、C【解析】

將正方體的展開(kāi)圖還原為正方體后，即可得到所求正確結(jié)論．【詳解】將正方體的展開(kāi)圖還原為正方體ABCD﹣EFMN后，可得AF，CN異面；BM，AN平行；連接AN，NF，可得∠FAN為AF，BM所成角，且為60°；BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，可得③④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查展開(kāi)圖與空間幾何體的關(guān)系，考查空間線(xiàn)線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【詳解】由題得正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體的外接球問(wèn)題和球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意可得{}是以+1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再由已知求得首項(xiàng)，進(jìn)一步求得即可．【詳解】在數(shù)列中，滿(mǎn)足得，則數(shù)列是以+1為首項(xiàng)，以公比為2的等比數(shù)列，得，由，則，得．由，得，故．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，利用構(gòu)造等比數(shù)列方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．12、【解析】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類(lèi)型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.13、，【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，可得，把函數(shù)縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、相交【解析】

由直線(xiàn)系方程可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可得到位置關(guān)系.【詳解】化直線(xiàn)方程為，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，而，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，故直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判斷，考查直線(xiàn)系方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于這類(lèi)型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.16、7【解析】

利用，得的值【詳解】因?yàn)椋?，所以?.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線(xiàn)EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，進(jìn)一步利用求得最后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線(xiàn)EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點(diǎn)O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，所以，則直角三角形△ABD的面積為，由FM∥PO得：考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積18、（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】試題分析：解：（Ⅰ）建立，.（Ⅱ），結(jié)合圖象可知或．試題解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因?yàn)闀r(shí)，，由方程恰有唯一實(shí)根，結(jié)合圖象可知或．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由最值和兩個(gè)零點(diǎn)計(jì)算出和的值，再由最值點(diǎn)以及的的范圍計(jì)算的值；（Ⅱ）先根據(jù)（Ⅰ）中解析式將表示出來(lái)，然后再利用兩角和的正弦公式計(jì)算的值.【詳解】解：（Ⅰ）由函數(shù)最大值為2，得由∴又，，∴，，又，∴∴（Ⅱ）∵，且，∴∴【點(diǎn)睛】根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式的步驟：（1）由最值確定的值；（2）由周期確定的值；（3）由最值點(diǎn)或者圖像上的點(diǎn)確定的取值.這里需要注意確定的值時(shí)，盡量不要選取平衡位置上的點(diǎn)，這樣容易造成多解的情況.20、（1）周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用二倍角降冪公式、兩角差的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的周期，解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計(jì)算出的取值范圍，可得出的范圍，進(jìn)而可得出函數(shù)的值域.【詳解】（1），所以，函數(shù)的周期為，由，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間以及值域的求解，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、(1)m；(2)見(jiàn)解析【解析】

（1）利用△＜0列不等式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）討論0＜a＜1、a＝0和a＜0，分別求出對(duì)應(yīng)不等式的解集．【詳解】（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化為（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化簡(jiǎn)得﹣4m﹣3＜0，解得m，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m；（2）0＜a＜1時(shí)，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x