高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第4節(jié)　基本不等式（講義）

第4節(jié)基本不等式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.掌握基本不等式ab≤a+2.結(jié)合具體實例,能用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.1.基本不等式ab≤a(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b.2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為a+b2,幾何平均數(shù)為ab3.基本不等式與最值已知x,y都是正數(shù).(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時,積xy取得最大值S2(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時,和x+y取得最小值2P(簡記:積定和最小).a2+b2≥2ab成立的條件與a+b2≥ab成立的條件不同,a2+b2≥2ab成立的條件是a∈R,b∈R,而a1.ba+a2.ab≤a+3.a2+b224.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(2)a>0,b>0,c>0則a+b+5.a2+b22≥a6.若a>0,b>0,則a2+b2≥2ab可變形為a≥2b-b2a或b≥2a-1.當(dāng)x<0時,函數(shù)y=x+4xA.有最大值-4 B.有最小值-4C.有最大值4 D.有最小值4解析:y=x+4x=-[(-x)+(-4x)]≤-2當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時,等號成立.2.已知x,y為正實數(shù),且xy=4,則x+4y的最小值是(B)A.4 B.8 C.16 D.32解析:法一因為x,y為正實數(shù),且xy=4,則x+4y≥24xy法二由題意,由正實數(shù)x,y,且xy=4,可得y=4x,則x+4y=x+16x≥2x·3.(2022·山東濱州三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x+1xA.1+2 B.1+3C.3 D.4解析:當(dāng)x>2時,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(4.(必修第一冊P48習(xí)題T1(2)改編)函數(shù)y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

解析:因為0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(即x=34答案:9利用基本不等式求最值直接法[例1](3-a解析:因為-6<a<3,所以3-a>0,a+6>0,由基本不等式可得(3-a)(a+6)答案:9利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各項必須為正數(shù).(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值.配湊法[例2]若x<23,則f(x)=3x+1+9A.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3解析:因為x<23f(x)=3x-2+93=-[(2-3x)+92≤-2(2當(dāng)且僅當(dāng)2-3x=92即x=-13故選C.配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.常數(shù)代換法[例3](1)(2022·遼寧鞍山二模)已知正實數(shù)a,b滿足a+b=2,則4b+1A.72 B.92 C.5(2)已知正數(shù)a,b滿足4a+b=ab,則a+b的最小值為()A.3 B.9 C.16 D.25解析:(1)4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4ab+ba+5)≥即a=23,b=4(2)因為4a+b=ab,所以1a+4所以a+b=(a+b)(1a+4b)=5+ba因為a>0,b>0,所以ba+4ab(當(dāng)且僅當(dāng)ba=4[典例遷移1]本例中(1)的條件不變,求4b+1+解:因為a>0,b>0,且a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4.所以14所以4b+1+1a+1=14(4b+1+1a+1)[(a+1)+(b+1)]=14[4+1+4(a+1[典例遷移2]本例中(1)的條件不變,求(1+1a)(1+1解:因為a+b=2,所以ab≤(a+b2所以1ab所以(1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab[典例遷移3]本例(2)中條件變?yōu)檎龜?shù)a,b滿足a+b=ab-1,求a+b的最小值.解:因為a+b=ab-1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-1+b=1+常值代換法主要解決以下最值問題已知形如或可化為x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by型的最值以及形如或可化為ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解時要注意將已知條件變形為“1”的形式,將ax+by看作是(ax+by)·消元法[例4]已知x+y=1,y>0,x≠0,則12|xA.12 B.14 C.34解析:由x+y=1,y>0,得y=1-x>0,解得x<1且x≠0,當(dāng)0<x<1時,12|x|+|x|y+1=x+2-=14+(2-x4x+x2-x當(dāng)且僅當(dāng)2-x4x=當(dāng)x<0時,12|x|+|x|y+1=-(=2-x=-14+(2-x-4x+當(dāng)且僅當(dāng)2-x-即x=-2時,取“=”.綜上,最小值為34通過消元法利用基本不等式求最值的策略當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時,通常考慮利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”,最后利用基本不等式求最值.[針對訓(xùn)練]1.已知a>0,b>0,則2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6解析:因為a>0,b>0,所以2ab+1a+1b≥2ab+2.已知函數(shù)f(x)=-x2A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值-4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值-4解析:f(x)=-x2x=-(x-1+1x+1)=-(x+1+=-(x+1)+1-(因為x<-1,所以x+1<0,-(x+1)>0,所以f(x)≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)-(x+1)=1-(故f(x)有最小值4.故選A.3.已知a>0,b>0,a+2b=3,則1a+1b的最小值為解析:因為a+2b=3,所以13a+23b=1.所以1a+1b=(1a+1b)(13a+23b)=13+23+答案:1+24.已知正實數(shù)a,b滿足ab-b+1=0,則1a+4b的最小值是解析:由ab-b+1=0可得a=b-由a=b-所以1a+4b=bb-易知1b-1當(dāng)且僅當(dāng)1b-1=4(b-1),即b=32,a=答案:9基本不等式的綜合應(yīng)用[例5](1)對任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,則實數(shù)a的最大值為()A.2 B.22 C.4 D.9(2)已知正數(shù)x,y滿足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,則實數(shù)m的取值范圍是.

解析:(1)因為對任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn因為mn+2nm≥2m當(dāng)且僅當(dāng)mn=2nm所以a≤22,故實數(shù)a的最大值為22.故選B.(2)由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x當(dāng)且僅當(dāng)4xy=由題意得,(x+y)min<m2-24m,即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.答案:(1)B(2)(-∞,-1)∪(25,+∞)(1)當(dāng)基本不等式與其他知識相結(jié)合時,往往是提供一個應(yīng)用基本不等式的條件,然后利用常數(shù)代換法求最值.(2)求參數(shù)的值或取值范圍時,一般需要結(jié)合題目特征,分離參數(shù),利用基本不等式確定等號成立的條件,從而得到參數(shù)的值或取值范圍.[針對訓(xùn)練]1.若關(guān)于x的不等式4xa+A.4 B.3 C.2 D.1解析:因為x>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4對任意x>2恒成立?4(x-2)a+1x-2+8a≥4對任意x>2恒成立?[4(x-2)a+12.已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1a)x+1.若?a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是解析:由題意,?a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,可知x2+1≥x(a+1a)恒成立.當(dāng)x≤0時,顯然成立.當(dāng)x>0時,則有a+1a≤x+設(shè)g(a)=a+1a僅需g(a)max≤x+1x即可,而a∈[1,2]時,g(a)∈[2,52],所以x+1x解得x∈(0,12綜上,x∈(-∞,12答案:(-∞,12基本不等式的實際應(yīng)用[例6]如圖,某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一棟樓區(qū)內(nèi)建造一個矩形公園ABCD,公園由矩形的休閑區(qū)(陰影部分)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道組成,已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為1000m2,人行道的寬分別為5m和8m,設(shè)休閑區(qū)的長為xm.(1)求矩形ABCD所占面積S(單位:m2)關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)要使公園所占面積最小,問:休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應(yīng)分別為多少?解:(1)因為休閑區(qū)的長為xm,休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為1000m2,所以休閑區(qū)的寬為1000xm,從而矩形ABCD的長與寬分別為(x+16)m,(1(2)S=(x+16)(1000x+10)=10(x+1600當(dāng)x=1600x,即x=40時,取等號,則休閑區(qū)的寬為100040=25(m).因此要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B利用基本不等式求解實際問題時,要根據(jù)實際問題,設(shè)出變量,注意變量應(yīng)滿足實際意義,抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式,建立數(shù)學(xué)模型,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.[針對訓(xùn)練](2022·山東濟(jì)南模擬)單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”,與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)N滿足關(guān)系N=1000v0.A.135 B.149 C.165 D.195解析:由題意得,N=1000v0.7v[知識鏈接]若a>0,b>0,則21a+1b≤ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,其中21a+如圖,在半圓O中,設(shè)AC=a,BC=b,且CD⊥AB,CE⊥OD,OF⊥AB,則R=OD=OF=a+b2,OC=R-b=a-b2,CF=OC2+OF2=a2+b22,在Rt△ADB中,由射影定理得CD=ab,在Rt△OCD中,由射影定理得CD2[典例]1.(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1解析:對于選項A,B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,又xy=(x+y所以(x+y)2-3[(x+y即1=(x+y)2所以-2≤x+y≤2,所以A不正確,B正確;對于選項C,D,由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤x2當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,取等號,所以x2+y2≤2,所以C正確,D不正確.故選BC.2.(多選題)(2022·山東菏澤二模)設(shè)a,b為兩個正數(shù),定義a,b的算術(shù)平均數(shù)為A(a,b)=a+b2,幾何平均數(shù)為G(a,b)=ab.20世紀(jì)50年代,美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”,即LpA.L0.5(a,b)≤L1(a,b) B.L0(a,b)≤G(a,b)C.L2(a,b)≤A(a,b) D.Ln+1(a,b)≤Ln(a,b)解析:對于A,L0.5(a,b)=a+b1a+1b=ab≤L1(a,b)=a+b2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,故A正確;對于B,L0(a,b)=21a+1b=2aba+b≤2ab2可利用不等式鏈求最值,證明不等式等,其關(guān)鍵是要對其靈活變形.[拓展演練]1.已知x>0,y>0,且x+2y=3,則下列說法正確的是()A.1x+2B.x+2yC.xy的最大值為9D.2x+1+4y≥8解析:因為x>0,y>0,x+2y=3,1x+2y=13(x+2y)(1x+2y)=13(5+2xy+2yx)≥13(5+22xy·2yx)=3,當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx,即x=y=1時,等號成立,A正確;由22xy≤x+2y得(x+2y)2≤2(x+2y)=6,所以x+2y≤6,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2.(多選題)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,則()A.a2+b2≥1B.2a-b>1C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2解析:對于選項A,因為a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b2≥12,正確;對于選項B,易知0<a<1,0<b<1,所以-1<a-b<1,所以2a-b>2-1=12,正確;對于選項C,令a=14,b=34,則log214+log234=-2+log234<-2,錯誤;對于選項D,因為2=2(a+b),所以[2(a+b)]2-(a+b[例1]若對任意實數(shù)x>0,y>0,不等式x+xy≤a(x+y)恒成立,則實數(shù)a的最小值為()A.2-12 C.2+1 D.2解析:由題意可得a≥x+xyx+設(shè)yx=t(t>0),則1+yx再設(shè)1+t=m(m>1),則1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m-1)2=mm2-[例2]已知a>b>0,則2a+4a+bA.4×44 C.