高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章　第三節(jié)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（導(dǎo)學(xué)案）

第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程:會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式:(1)經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數(shù),a≠0).2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).點(diǎn)睛二次函數(shù)的零點(diǎn)為對應(yīng)方程的根,是一個(gè)實(shí)數(shù),不是點(diǎn)的坐標(biāo).3.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系(其中a>0)判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1,或x>x2}xR

ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}??點(diǎn)睛1.解一元二次不等式一定要結(jié)合二次函數(shù)開口方向和不等號的方向下結(jié)論,防止取反.2.若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(m,n),則x=m與x=n為方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根.4.分式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)?f(2)f(x)g(x)≥0(≤0)?f(x)·g(5.簡單的絕對值不等式(1)|x|>a(a>0)的解為(-∞,-a)∪(a,+∞);(2)|x|<a(a>0)的解為(-a,a).1.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足a>02.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為?,則一定滿足a<03.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足a<04.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為?,則一定滿足a>0教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,24,53,61.(教材變式)函數(shù)y=1-x2+1A.-∞,1 B.-1C.-1,0∪0,1解析：選C.由題意知,函數(shù)定義域滿足1-x2≥0x3≠02.(教材提升)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2-3x+6>4的解集為x|x<1或x>b,則a+bA.4 B.3 C.6 D.5解析：選B.依題意關(guān)于x的一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集為x|x<1所以a>01+b=3a1×b=23.(忽略二次項(xiàng)的符號)不等式-x2+3x+18<0的解集為 ()A.{xx>6或x<-3}B.xC.{xx>3或x<-6}D.x解析：選A.-x2+3x+18<0可化為x2-3x-18>0,即x-6x+3>0,即x所以不等式的解集為{xx>6或x<-3}.4.(結(jié)論1)“關(guān)于x的不等式x2-2ax+a>0對?x∈R恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是 ()A.0<a<1 B.0<a<2C.0<a<12 D.a解析：選B.由“關(guān)于x的不等式x2-2ax+a>0對?x∈R恒成立”,可得-2a2-4a<0,解得:0<5.(結(jié)論3)不等式a-2x2+2a-2x-4≥0的解集為?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.{a|a<-2或a≥2} B.aC.a-2<a≤2 解析：選C.因?yàn)椴坏仁絘-2x2+2a-2x-4≥0的解集為?,所以不等式a-2x當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),-4<0,符合題意.當(dāng)a-2<0,即a<2時(shí),Δ=2a-22+4×4×a綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a-6.(遺漏k=0的情況)已知對于任意實(shí)數(shù)x,kx2-2x+k>0恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.k>1 B.-1<k<1C.k<-1 D.k>-1解析：選A.當(dāng)k=0時(shí),-2x>0不恒成立;當(dāng)k≠0時(shí),k>0Δ=4綜上,k>1.題型一解不等式角度1不含參數(shù)的一元二次不等式和分式不等式的解法[典例1](1)不等式x2x+7≥-3的解集為 (A.-∞,-3∪B.-C.-∞,-2∪D.-解析：選A.x2x+7≥-3可變形為2x2+7x+3≥0,令2x2+7x+3=0,得x1=-3,x2=-所以x≤-3或x≥-12,即不等式的解集為-∞,-3∪(2)(2023·邯鄲模擬)“0<x<1”是“x+1x+1>1”的 (A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件解析：選A.因?yàn)閤+1x+1>1?x-1+1x+1>0?x2x所以“0<x<1”是“x+1x+1 ——自主歸納,老師指導(dǎo)1.解一元二次不等式的步驟(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);(2)計(jì)算判別式;(3)求出對應(yīng)的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說明方程沒有根;(4)根據(jù)解的情況,結(jié)合不等號的方向畫圖;(5)寫出不等式的解集.2.分式不等式的解題步驟(1)移項(xiàng):化為一邊為0的不等式;(2)通分化成f(x)(3)把上述分式化成f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0的形式;(4)利用解一元二次不等式的方法求解.角度2含參數(shù)的一元二次不等式的解法[典例2](1)(2022·營口模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R).①若ax2+3x+2>0的解集為xb<x<1,求實(shí)數(shù)②求關(guān)于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集.解析：①因?yàn)閍x2+3x+2>0的解集為xb<x<1,所以方程ax2+3x+2=0的兩個(gè)根分別為b+1=-3②ax2-3x+2>ax-1?ax2-(a+3)x+3>0?(ax-3)(x-1)>0,當(dāng)a=0時(shí),不等式為x-1<0,不等式的解集為xx當(dāng)a<0時(shí),不等式化為(x-3a)(x-1)<0,不等式的解集為x當(dāng)a>0時(shí),方程ax2-3x+2=ax-1的兩個(gè)根分別為3a,1當(dāng)a=3時(shí),兩根相等,故不等式的解集為{x|x≠1};當(dāng)a>3時(shí),3ax|當(dāng)0<a<3時(shí),3ax|綜上,當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為x3當(dāng)a=0,不等式的解集為xx當(dāng)0<a<3時(shí),不等式的解集為x|當(dāng)a=3時(shí),不等式的解集為{x|x≠1};當(dāng)a>3時(shí),不等式的解集為x|(2)(2023·福州模擬)已知a∈R,函數(shù)f(x)=2x2+ax-a,解關(guān)于x的不等式f(x)≥x2.解析：不等式f(x)≥x2即x2+ax-a≥0,則Δ=a2+4a.①當(dāng)Δ≤0即a∈[-4,0]時(shí),x2+ax-a≥0在R上恒成立.故不等式x2+ax-a≥0的解集為R.②當(dāng)Δ>0即a>0或a<-4時(shí),x2+ax-a=0的兩根分別為x1=-a-a2+4a故不等式x2+ax-a≥0的解集為xx<綜上,①當(dāng)a∈[-4,0]時(shí),不等式f(x)≥x2的解集為R;②當(dāng)a>0或a<-4時(shí),不等式f(x)≥x2的解集為xx求解含有參數(shù)的不等式的解題策略1.若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),則需先將系數(shù)化為正數(shù),再考慮分解因式,對兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論;若不易分解因式,可考慮對判別式進(jìn)行討論.2.若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù),則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況,再考慮系數(shù)不為0的情況.若能分解因式,需對兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論;若不易分解因式,可考慮對判別式進(jìn)行討論.角度3一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系[典例3](1)(2022·哈爾濱模擬)已知不等式ax2+bx-2<0的解集為x-1<x<2,則不等式ax2+b-1A.R B.? C.x-1<x<3 解析：選D.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx-2<0的解集為x-1<x<2,故a>0,且x=-1與x=2為方程ax2+bx-2=0的兩根.故-ba=-1+2-2a=-1×2,解得b=-1a(2)(多選題)(2023·華中師大附中模擬)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為xm<x<n,其中n>mA.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集為xD.cx2+bx+a>0的解集為xx<解析：選ABC.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集為xm<x因?yàn)閚>m>0,令fx=ax2+bx+c,所以-b2a>0,即由上所述,易知f0<0,c<0,由題意可得m,n為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根,則m+n=-ba,mn=c則1n·1m=ac,1n+1m即1n,1m為方程cx2+bx+則不等式cx2+bx+a>0的解集為x1n ——自主完善,老師指導(dǎo)一元二次不等式與方程的關(guān)系解題策略1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.1.不等式x+10(x解析：由x+10(x-2)2>1,得x+10>(x-2)2=x2-4x+4,且x≠2,整理得,x2-5x-6<0,x-6·x答案:-1,2.(2023·廣州模擬)已知a,b,c∈R,關(guān)于x的不等式bx2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>c}.(1)求b,c的值;(2)解關(guān)于x的不等式ax2-ac+bx+bc解析：(1)因?yàn)椴坏仁絙x2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>c},所以x1=1與x2=c是方程bx2-3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得1+c=3b,(2)由(1)知不等式ax2-ac+bx+ax2-2a+1x+2<0,即ax①當(dāng)a=0時(shí),易得不等式的解集為xx②當(dāng)a<0時(shí),不等式可化為x-1a③當(dāng)a>0時(shí),不等式可化為x-當(dāng)1a>2,即0<a<1x2<當(dāng)1a=2,即a=12時(shí),不等式的解集為當(dāng)1a<2,即a>1x1【加練備選】解下列不等式:(1)x4-x2-2≥0;(2)x2+10>-6x;(3)-12x2+3x-5>0解析：(1)原不等式因式分解得(x2+1)(x2-2)≥0,因?yàn)閤2+1>0,所以x2-2≥0,解得x≤-2或x≥2,因此,原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥2};(2)因?yàn)閤2+6x+10=(x+3)2+1>0恒成立,故解集為R;(3)由-12x2+3x-5>0,整理得:x2-6x+10<0,Δ=(-6)2故不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,不等式解集為?.題型二一元二次不等式恒成立問題角度1在R上的恒成立問題[典例4](1)(2022·宣城模擬)關(guān)于x的一元二次不等式mx2-2mx-1≤0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.-∞,0 B.C.-1,0 解析：選C.因?yàn)椴坏仁綖橐辉尾坏仁?所以m≠0,若一元二次不等式mx2-2mx-1≤0恒成立,則m<0Δ=4m(2)(2023·常州模擬)已知不等式kx2+kx+6x2+解析：因?yàn)閤2+x+2=x+12所以原不等式等價(jià)于kx2+kx+6>2x2+2x+4,即k-2x2+k-當(dāng)k=2時(shí),2>0,顯然成立;當(dāng)k≠2時(shí),k滿足不等式組k解得2<k<10.綜上所述,實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,答案:[2,10)一元二次不等式在R上恒成立的條件1.ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c>0或(2)a>02.ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0角度2在給定區(qū)間上的恒成立問題[典例5]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x+2,且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,-6).(1)求f(x)的解析式;(2)若x∈[-2,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c.因?yàn)閒(x+1)-f(x)=2x+2,所以2ax+a+b=2x+2,得a=1,b=1.因?yàn)閒x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A1,-所以f1=1+1+c=-6,即c=-8.故f(x)=x2+x-8.(2)設(shè)g(x)=f(x)-mx=x2+(1-m)x-8.因?yàn)楫?dāng)x∈-2,2時(shí),不等式fx所以g(-2)-1≤m≤3.故m的取值范圍是-1 ——自主歸納,老師指導(dǎo)一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法(1)最值轉(zhuǎn)化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值大于0;若f(x)<0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最大值小于0.(2)分離參數(shù)法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)max或a<f(x)min.(3)數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)圖象列出約束條件求解.1.若函數(shù)y=ax2+2ax+1的圖象恒在直線y=-2上方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.0,3 C.3,+∞ D.解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+2ax+1的圖象恒在直線y=-2上方,則?x∈R,ax2+2ax+1>-2成立,即ax2+2ax+3>0恒成立,當(dāng)a=0時(shí),3>0恒成立,則a=0,當(dāng)a≠0時(shí),必有a>0且Δ=(2a)2-4a·3<0,解得0<a<3,綜上得0≤a<3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,2.(2023·泉州模擬)若不等式x2+a(x-1)+1≥0對一切x∈(1,2]都成立,則a的最小值為 ()A.0 B.-22 C.-22-2 D.-5解析：選D.記f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+ax-1+1≥0對一切x則-a2或-a2≥2f(2)=a+5≥03.已知對任意m∈1,3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 (A.6B.-∞,1-C.-∞,D.1解析：選D.對任意m∈1,3,不等式mx2-mx-1<-即對任意m∈1,3,m所以對任意m∈1,3,x2-x+1<所以對任意m∈1,3,x2-x+1<所以x2-x+1<2,解得1-52<x故實(shí)數(shù)x的取值范圍是1-【加練備選】已知fx=x2+2-ax+3a+b,若存在常數(shù)a,使f(x)≥0恒成立,則b的取值范圍是解析：使f(x)≥0恒成立,則Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,化簡整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,由于存在常數(shù)a,使f(x)≥0恒成立,可知4b≥(a因此4b≥-60,解得b≥-15.答案:[-15,+∞)題型三一元二次不等式有解問題[典例6](2023·合肥模擬)若關(guān)于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是 (A.-∞,8 B.-∞,8 C.-∞,27解析：選A.方法一:(分離參數(shù)法)不等式x2-ax+7>0在2,等價(jià)于不等式a<x+7x在2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+7x在(2,7)上單調(diào)遞減,在(7又由f(2)=2+72=112,f7=7+所以fxmax<f7=8,所以a<8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,方法二:(最值轉(zhuǎn)化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上無解,則4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a ——自主完善,老師指導(dǎo)一元二次不等式在給定區(qū)間上的有解問題解題策略(1)分離參數(shù)法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max(注意不等號方向是否改變).(2)最值轉(zhuǎn)化法;若f(x)>0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)圖象列出約束條件求解.(4)最后一定要注意檢驗(yàn)區(qū)間的開閉.1.已知命題“?x∈R,4x2+a-2x+14≤0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 A.-∞,0 B.C.[4,+∞) D.-∞,0∪解析：選D.由題意,命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是真命題,故Δ=(a-2)2-4×4×14=a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,02.若關(guān)于x的不等式x2-6x+11-a<0在區(qū)間2,5內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (A.-2,+∞C.6,+∞ 解析：選D.設(shè)f(x)=x2-6x+11,開口向上,對稱軸為直線x=3,所以要使不等式x2-6x+11-a<0在區(qū)間(2,5)內(nèi)有解,只要a>f(x)min即可,即a>f(3)=2,得a>2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).【加練備選】已知關(guān)于x的不等式mx2-6x+3m<0在0,2上有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.-∞,3 B.(-∞,12C.3,+∞ D.(解析：選A.由題意得,mx2-6x+3m<0,x∈0,2,即m<故問題轉(zhuǎn)化為m<6xx2設(shè)g(x)=6xx2+3,則g(x)=6xx2+3=6x+3x,x∈0,2,x+3x≥23,當(dāng)且僅當(dāng)x=3題型四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用[典例7]汽車在行駛中,由于慣性的作用,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,這段距離稱為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要指標(biāo).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對,同時(shí)剎車,但還是相碰