高考數(shù)學第一輪復習復習第1節(jié)　立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積（講義）

第七章立體幾何與空間向量(必修第二冊+選擇性必修第一冊)第1節(jié)立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積[課程標準要求]1.利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形,認識柱體、錐體、臺體、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.了解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式.3.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點延長線交于一點—軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)—2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩相互垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r′+r)l4.空間幾何體的表面積與體積公式幾何體名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13S底·臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13h(S上+S下+S球S=4πR2V=43πR圓臺、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化:當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時,得到圓柱;當圓臺的上底面半徑為零時,得到圓錐.S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺側(cè)=π(r+r′)lS圓錐側(cè)=πrl.V圓柱=S底·hV圓臺=13h(S上+S下+S上S下)V圓錐=13S1.特殊的四棱柱四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體2.平面圖形的直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖=24S原圖形1.已知某圓柱的高為10,底面周長為8π,則該圓柱的體積為(C)A.640π B.250πC.160π D.120π解析:某圓柱的高為10,底面周長為8π,因為2πr=8π,所以r=4,故圓柱的體積為16π×10=160π.2.已知三個球的體積之比為1∶27∶64,則它們的表面積之比為(B)A.1∶3∶4 B.1∶9∶16C.2∶3∶4 D.1∶27∶64解析:由題意,設(shè)三個球的半徑分別為r1,r2,r3,則43πr13∶43πr23∶43πr故表面積之比4πr12∶4πr23.(必修第二冊P109例2改編)如圖所示,直觀圖所表示的平面圖形是(D)A.正三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形解析:由直觀圖中A′C′∥y′軸,B′C′∥x′軸,還原后AC∥y軸,BC∥x軸,所以△ABC是直角三角形.4.(2021·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為.

解析:設(shè)該圓錐的高為h,則由已知條件可得13×π×62×h=30π,解得h=52,則圓錐的母線長為?2+62=254+36答案:39π5.(2020·新高考Ⅱ卷改編)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別為BB1,AB的中點,則三棱錐A-NMD1的體積為.

解析:因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別為BB1,AB的中點,所以VA?NMD1=VD1?AMN=13答案:1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖1.(多選題)下列命題正確的是(CD)A.長方體是直四棱柱,直四棱柱是長方體B.有兩個面平行,其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形解析:直四棱柱底面可以為任意四邊形,所以直四棱柱不一定是長方體,故A錯誤;如圖所示,上下底面平行,各個面都是平行四邊形,此幾何體不是棱柱,故B錯誤;棱錐側(cè)面全為三角形,有一個面是平行四邊形,則此面為底面,所以該棱錐為四棱錐,故C正確;正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形,故D正確.2.給出下列四個命題:①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱;②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體;④底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正確的命題為(填序號).

解析:對于①,平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形,故①錯誤;對于②,對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖),故②錯誤;對于③,若底面不是矩形,則該四棱柱不是長方體,③錯誤;對于④,由線面垂直的判定定理,可知側(cè)棱垂直于底面,故④正確.綜上,命題①②③不正確.答案:①②③3.如圖,已知用斜二測畫法畫出的△ABC的直觀圖是邊長為a的正三角形,則原△ABC的面積為.

解析:因為直觀圖面積為12·a2·sin60°=34a所以原圖形面積為22×34a2=62a答案:62a(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu),辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念,善于通過舉反例對概念進行辨析,即要說明一個命題是錯誤的,只需舉一個反例.(2)圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上,解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.(3)既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的,所以在解決棱(圓)臺問題時,要注意“還臺為錐”的解題策略.(4)畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法,其規(guī)則可以用“斜”(x軸和y軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半,平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.柱、錐、臺體的表面積與體積簡單幾何體的表面積[例1](1)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.現(xiàn)將△ABC繞邊AC旋轉(zhuǎn)一周,則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是()A.2π B.22πC.32π D.42π(2)某幾何體的直觀圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.36+12π B.40+12πC.36+16π D.40+16π解析:(1)由題知該幾何體為兩個圓錐底對底組合在一起,其中圓錐母線長L=2,圓錐底面半徑R=2,所以S=2×π×2×2=42π.故選D.(2)由題意可知幾何體的表面積為4×2×4+2×2×2+4π+12×4π×(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用,并弄清底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.簡單幾何體的體積[例2](1)如圖,在棱長為2的正方體中,以其各面中心為頂點構(gòu)成的多面體為正八面體,則該正八面體的體積為()A.223 B.43 C.4(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3解析:(1)該正八面體是由兩個同底的正四棱錐組成,且正四棱錐的底面是邊長為2的正方形,棱錐的高為1,所以該正八面體的體積為2×13×2×2×1=4(2)由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺的體積V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3求規(guī)則幾何體的體積,主要是先找準關(guān)鍵的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入體積公式計算.不規(guī)則幾何體的體積[例3](1)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,則四面體A-BEF的體積為()A.13 B.C.1 D.4(2)在△ABC中,AB=2,BC=32,∠ABC=120°A.3π2 B.C.7π2 D.解析:(1)因為ED⊥平面ABCD,且AD?平面ABCD,所以ED⊥AD.因為在正方形ABCD中,AD⊥DC,而DC∩ED=D,DC?平面CDEF,ED?平面CDEF,所以AD⊥平面CDEF.連接EC,DF(圖略),由題意知FC=ED2V四面體A?BEF=V多面體ABCDEF-因為VE?ABCD=ED·S正方形ABCD·13=2×2×2×13=83,VB?EFC=BC·S△EFC·13=2×所以V多面體ABCDEF=83+23=103.又VF?ABCD=FC·S正方形ABCD·13=1×2×2×13=43,VA?DEF=AD·S△DEF·13=2×2×2×1(2)依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐,所以O(shè)A=3,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為π3·(3)2·(OC-OB)=3π求不規(guī)則幾何體的體積當一個幾何體的形狀不規(guī)則時,常通過分割或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體,然后再計算.(1)利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).(2)利用“補”的方法把棱錐補成棱柱,把臺體補成錐體,把三棱錐補成四棱錐,把三棱柱補成四棱柱,把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體,補一個同樣的幾何體等.[針對訓練]1.(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙,若S甲S乙A.5 B.22C.10 D.5解析:法一因為甲、乙兩個圓錐的母線長相等,所以結(jié)合S甲S乙=2可知,甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個圓錐的母線長為l=3,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則由題意知,兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓,所以2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,h1=l2-r12=所以V甲V乙=13π法二設(shè)兩圓錐的母線長為l,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,側(cè)面展開圖的圓心角分別為n1,n2,則由S甲S乙=πr1lπr2l=n1πl(wèi)22πn2πl(wèi)22π=2,得r1r2=n1n2=2.由題意知n1+n2=2π,所以n1=4π3,n2=2π3,所以2πr1=4π3l,2πr2=2.在正四棱錐P-ABCD中,AB=22,若正四棱錐P-ABCD的體積是8,則該四棱錐的側(cè)面積是()A.22 B.222 C.422 D.822解析:如圖,連接AC,BD,記AC∩BD=O,連接OP,則OP⊥平面ABCD.取BC的中點E,連接OE,PE.因為正四棱錐P-ABCD的體積是8,所以13AB2·OP=8因為OE=12AB=2,所以在直角三角形POE中,PE=OP2+O則△PBC的面積為12BC·PE=12×22×11=22,故該四棱錐的側(cè)面積是4故選C.3.如圖,一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi),容器與地面所成的角為30°,液面呈橢圓形,橢圓長軸上的頂點M,N到容器底部的距離分別是12和18,則容器內(nèi)液體的體積是()A.15π B.36π C.45π D.48π解析:如圖所示,過M作容器壁的垂線,垂足為F,因為MN平行于地面,所以∠MNF=30°,由于M,N到容器底部的距離分別是12和18,所以NF=6,在直角三角形MFN中,tan∠MNF=MFNF=3所以MF=33NF=33×6=2即該圓柱的底面圓的直徑為23,故半徑為3,所以容器內(nèi)液體的體積等于一個底面半徑為3,高為(12+18)的圓柱體體積的一半,所以液體體積V=12×π×(3)2×故選C.4.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為.

解析:如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.依題意,三棱錐E-ADG的高為EG,長度為12則AG=AE2-EG取AD的中點M,連接MG,則MG=22所以S△AGD=12×1×22=所以V多面體ABCDEF=VE?ADG+VF?BHC+V三棱柱AGD?BHC=2VE?ADG+V答案:2折疊與展開問題[例4]如圖所示,圓臺母線AB長為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和10cm,從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點,求這條繩子長度的最小值.解:如圖所示,作出圓臺的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐,連接MB′,在圓臺的軸截面中,因為Rt△OPA∽Rt△OQB,所以O(shè)AOA+AB所以O(shè)AOA+AB設(shè)∠BOB′=α,由扇形弧BB'的長與底面圓Q的周長相等,得2×10×π=OB·α,即20π=(20+20)·α,所以α=π2,所以在Rt△B′OM中,B′M=OM求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開,畫出其側(cè)面展開圖.(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題.(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果.[針對訓練]如圖所示,某圓錐的高為3,底面半徑為1,O為底面圓心,OA,OB為底面半徑,且∠AOB=2π3A.3 B.2-1 C.5 D.2+1解析:由題意,圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,如圖,A,B是底面圓周上的兩點,∠AOB=2π3,所以在展開圖中,∠APB=π3,母線長為3+1=2,M為母線PA的中點,所以PM=1,所以從M到B的最短路徑的長是BM=4-[例1]正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC的中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為()A.3 B.32 C.1 D.解析:如圖,由題意AD=3,VA?B1DC1=13·S△B1D[例2]已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為.

解析:如圖(1)和(2)的原圖形和直觀圖所示.作E′F′⊥O′B′于點F′,因為OE=(2)2-1=1,由斜二測畫法可知O′E′=12,E′F′=24答案:2[例3]現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱,其底面半徑、高均為2,將它重新制作成一個體積與高不變的圓錐,則該圓錐的側(cè)面積為.

解析:設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,因為圓錐的高為h=2,由題意13πr2·2=π×22×2,解得r=23所以圓錐的母線長l=r2+?所以圓錐側(cè)面積為S側(cè)=πrl=π×23×4=83π.答案:83π[例4]為了讓學生更直觀地認識棱錐的幾何特征,某教師計劃制作一個正四棱錐教學模型.現(xiàn)有一個無蓋的長方體硬紙盒,其底面是邊長為20cm的正方形,高為10cm,將其側(cè)棱剪開,得到展開圖,如圖1所示.P1,P2,P3,P4分別是所在邊的中點,剪去陰影部分,再沿虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四個點重合于點P,正好形成一個正四棱錐P-ABCD,如圖2所示,設(shè)AB=x(單位:cm).(1)若x=10,求正四棱錐P-ABCD的表面積;(2)當x取何值時,正四棱錐P-ABCD的體積最大?解:在正四棱錐P-ABCD中,連接AC,BD,交于點O,設(shè)BC的中點為E,連接PE,EO,PO.(1)因為AB=10,所以O(shè)E=5,PE=15,所以正四棱錐P-ABCD的表面積為S表=S四邊形ABCD+4S△PBC=10×10+4×12×10×所以正四棱錐P-ABCD的表面積為400cm2.(2)因為AB=x,所以O(shè)E=x2,PE=20-x所以PO=(20-x2所以正四棱錐P-ABCD的體積為V=13x22520-令t(x)=x4(20-x)(0<x<20),則t′(x)=5x3(16-x),當0<x<16時,t′(x)>0,t(x)單調(diào)遞增,當16<x<20時,t′(x)<0,t(x)單調(diào)遞減,所以t(x)max=t(16),所以當x=16時,正四棱錐P-ABCD的體積最大.[選題明細表]知識點、方法題號空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖1,2,10空間幾何體的表面積與體積3,4,5,7,8,9折疊與展開問題6,12綜合問題11,13,14,151.給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;④棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是(A)A.0 B.1 C.2 D.3解析:①不一定,只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線;②不一定,因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”,如圖所示;③不一定,當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,是由兩個同底圓錐組成的幾何體;④錯誤,棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等.2.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,則原圖形是(C)A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形解析:在原圖形OABC中,應有OACB,所以四邊形OABC為平行四邊形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2cm,所以O(shè)C=OD2+C3.《算術(shù)書》竹簡于二十世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的數(shù)學著作,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當于給出圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V=136l2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942lA.227 B.258 C.15750解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl(wèi)2h.由112π4.如圖所示的扇形是某個圓錐的側(cè)面展開圖,已知扇形所在圓的半徑R=5,扇形弧長l=4π,則該圓錐的表面積為(B)A.2πB.(4+25)πC.(3+5)πD.8π+5解析:圓錐的側(cè)面展開圖中,扇形所在圓的半徑R=5,扇形弧長l=4π,所以扇形的面積為S扇形=12×5×4π=25設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則2πr=4π,解得r=2,所以底面圓的面積為S底面圓=π×22=4π.所以該圓錐的表面積為S=25π+4π=(4+25)π.5.過球的一條半徑的中點,作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積是球的表面積的(A)A.316 B.916 C.38解析:如圖所示的是過球心的截面圖,r=R2-14R2=326.如圖,正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=4,AB=1.一只螞蟻從A點出發(fā),沿每個側(cè)面爬到A1,路線為A→M→N→A1,則螞蟻爬行的最短路程是.

解析:將三棱柱的側(cè)面展開得如圖,所以螞蟻爬行的最短路程是線段AA1=32答案:57.某公園設(shè)置了一些石凳供大家休息,每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的,如圖所示.如果一張石凳的體積是0.18m3,那么原正方體石料的體積是m3.

解析:設(shè)正方體的棱長為a,則正方體的體積為a3,每一個截去的四面體的體積為13×12·a2·a2·a2=a348,由題意可知a答案:0.2168.已知圓錐同時滿足條件:①側(cè)面展開圖為半圓;②底面半徑為正整數(shù),請寫出一個這樣的圓錐的體積V=.

解析:設(shè)底面半徑r=1,母線長為l,由展開圖為半圓,可知2π=l·π,所以l=2,所以圓錐的高h=l2-r2=3,則體積V=13πr答案:3π9.如圖,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解:法一如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.由題意知三棱柱ABCNDM的體積為V1=12×8×6×3=72.四棱錐DMNEF的體積為V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,則幾何體的體積為V=V1+V法二用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V幾何體=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×10.(多選題)如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖,D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點,且D′C′<D′B′,又A′D′∥y′軸,那么原△ABC的AB,AD,AC三條線段中(AD)A.最長的是AB B.最長的是ACC.最短的是AC D.最短的是AD解析:由題意得到原△ABC的平面圖如圖所示.其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以AB,AD,AC三條線段中最長的是AB,最短的是AD.11.(多選題)(2022·廣東廣州三模)某班級到一工廠參加社會實踐勞動,加工出如圖所示的圓臺O1O2,在軸截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,則下列說法正確的是(BCD)A.該圓臺的高為1cmB.該圓臺軸截面面積為33cm2C.該圓臺的體積為73πD.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點,所經(jīng)過的最短路程為5cm解析:如圖(1)所示,作BE⊥CD交CD于點E,易得CE=CD-AB2=1,則BE=22-圓臺的軸截面面積為12×(2+4)×3=33cm2,B正確;圓臺的體積為13×3×(π+4π+π·4π)=將圓臺一半側(cè)面展開,如圖(2)陰影部分所示,設(shè)P為AD的中點,由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,則OC=4,∠COD=4π24=π2,又OP=OA+AD即點C到AD的中點所經(jīng)過的最短路程為5cm,D正確.12.(2022·河南鄭州二模)在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,P是線段BC1上的一動點,則A1P+PC的最小值為.

解析:如圖,連接A1B,A1C1,將△BCC1沿BC1翻折到與△A1BC1在同一個平面,如圖所示.已知△A1BC1為等邊三角形,△BCC1為等腰三角形,兩個三角形有公共邊BC1,則當P是BC1的中點時,A1,P,C三點共線,