山東省聊城第二中學2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測試題含解析

山東省聊城第二中學2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個結論：①，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則.其中正確結論的序號是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．在平行四邊形中，，若點滿足且，則A．10 B．25 C．12 D．154．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若當時，的圖象與直線恰有兩個公共點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．在直角梯形中，，為的中點，若，則A．1 B． C． D．6．在空間中，可以確定一個平面的條件是（）A．一條直線B．不共線的三個點C．任意的三個點D．兩條直線7．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．128．設的內角，，所對的邊分別為，，,且，，面積的最大值為（）A．6 B．8 C．7 D．99．一個鐘表的分針長為，經(jīng)過分鐘，分針掃過圖形的面積是()A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點為圓的弦的中點，則弦所在的直線的方程為___________.12．如圖，緝私艇在處發(fā)現(xiàn)走私船在方位角且距離為12海里的處正以每小時10海里的速度沿方位角的方向逃竄，緝私艇立即以每小時14海里的速度追擊，則緝私艇追上走私船所需要的時間是__________小時.13．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則_______.14．若復數(shù)z滿足z?2i=z2+1（其中i15．已知，則.16．若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為數(shù)列的前n項和，，求數(shù)列的前n項和．18．已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點且平面.求證:（1）；（2）.19．已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.20．已知函數(shù).（1）當時，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）當時，判斷并證明函數(shù)在上的單調性.21．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知（Ⅰ）求證：成等差數(shù)列；（Ⅱ）若求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

如圖,設拋物線方程為,交軸于點,則,即點縱坐標為,則點橫坐標為,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦點到準線的距離為4,故選B.【點睛】2、C【解析】

利用面面垂直的判定定理判斷①；根據(jù)面面平行的判定定理判斷②；利用線面垂直和線面平行的性質判斷③；利用線面垂直和面面平行的性質判斷④【詳解】①，，或，又，則成立，故正確②若，，或和相交，并不一定平行于，故錯誤③若，，則或，若，則并不一定平行于，故錯誤④若，，，又，成立，故正確綜上所述，正確的命題的序號是①④故選【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷和應用，解題的關鍵是理解線面，面面平行與垂直的判斷定理和性質定理，屬于基礎題．3、C【解析】

先由題意，用，表示出，再由題中條件，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，即可求出結果.【詳解】因為點滿足，所以，則故選C.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，熟記平面向量基本定理以及數(shù)量積的運算法則即可，屬于常考題型.4、C【解析】

根據(jù)二倍角和輔助角公式化簡可得，根據(jù)平移變換原則可得；當時，；利用正弦函數(shù)的圖象可知若的圖象與直線恰有兩個公共點可得，解不等式求得結果.【詳解】由題意得：由圖象平移可知：當時，，，，，又的圖象與直線恰有兩個公共點，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)交點個數(shù)求解角的范圍的問題，涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象平移變換原則的應用等知識；關鍵是能夠利用正弦函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結合的方式確定角所處的范圍.5、B【解析】

連接，因為為中點，得到，可求出，從而可得出結果.【詳解】連接，因為為中點，,.故選B【點睛】本題主要考查平面向量基本定理的應用，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.6、B【解析】試題分析：根據(jù)平面的基本性質及推論，即確定平面的幾何條件，即可知道答案．解：對于A．過一條直線可以有無數(shù)個平面，故錯；對于C．過共線的三個點可以有無數(shù)個平面，故錯；對于D．過異面的兩條直線不能確定平面，故錯；由平面的基本性質及推論知B正確．故選B．考點：平面的基本性質及推論．7、A【解析】

利用基本不等式可得，然后解出即可．【詳解】解：正數(shù)，滿足，∴，，，當且僅當時取等號，的最小值為9，故選：A．【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和一元二次不等式的解法，屬于基礎題．8、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，利用基本不等式可得，即，解得，當且僅當時等號成立，又因為，所以，當且僅當時等號成立，故三角形的面積的最大值為，故選D.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，以及三角形的面積公式的應用，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.9、B【解析】

分析題意可知分針掃過圖形是扇形，要求這個扇形的面積需要得到扇形的圓心角和半徑，再代入扇形的面積公式計算即可．【詳解】經(jīng)過35分鐘，分針走了7個大格，每個大格則分鐘走過的度數(shù)為鐘表的分針長為10分針掃過圖形的面積是故選【點睛】本題主要考查了求扇形面積，結合公式需要求出扇形的圓心角和半徑，較為基礎10、D【解析】

根據(jù)二倍角公式先化簡，再根據(jù)即可?！驹斀狻坑深}意得，所以周期為.所以選擇D【點睛】本題主要考查了二倍角公式;?？嫉亩督枪接姓摇⒂嘞?、正切。屬于基礎題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點連線垂直于弦．【詳解】圓標準方程為，圓心為，，∵是中點，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【點睛】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．12、【解析】

設緝私艇追上走私船所需要的時間為小時，根據(jù)各自的速度表示出與，由，利用余弦定理列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：設緝私艇上走私船所需要的時間為小時，則，，在中，，根據(jù)余弦定理知：，或（舍去），故緝私艇追上走私船所需要的時間為2小時．故答案為：．【點睛】本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．13、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么，故答案為.【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列【點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.14、1【解析】設z=a+bi,a,b∈R，則由z?2則-2b=a2+b2+12a=015、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結構特點，從整體去解決問題.考點：三角恒等變換.16、2【解析】試題分析：設圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點：圓柱的體積三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），n∈N+；（2）【解析】

（1）設公比為q，q>0，運用等比數(shù)列的通項公式，解方程即可得到所求；（2），再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和．【詳解】(1)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設公比為q，q>0，，.即,，解得,可得，n∈N+；(2)，前n項和，由(1)可得a1=2,，即有.【點睛】本題考查數(shù)列的通項和求和，數(shù)列求和的常用方法有:分組求和,錯位相減求和,倒序相加求和等，本題解題關鍵是裂項的形式，本題屬于中等題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用線面平行的性質定理可得線線平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線面垂直的判定定理可以證明線面垂直，利用線面垂直的性質可以證明線線垂直，利用平行線的性質，最后證明出.【詳解】證明（1）因為平面，平面平面,平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因為，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【點睛】本題考查了線面平行的性質定理，線面垂直的判定定理、以及平行公理的應用.19、(1)證明見解析；(2)，或，.【解析】

（1）設，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內部.20、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性定義來證明出函數(shù)的奇偶性；（2）將函數(shù)的解析式化為，然后利用函數(shù)單調性的定義證明出函數(shù)在上的單調性.【詳解】（1）當時，，函數(shù)為上的奇函數(shù).證明如下：，其定義域為，則，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）當時，函數(shù)在上單調遞減.證明如下：，任取，則，又由，則，則有，即.因此，函數(shù)為上的減函數(shù)．【點睛】本題考查函數(shù)單調性與奇偶性的判定與證明，在利用定義證明函數(shù)的單調性與奇偶性時，要熟悉定義法證明函數(shù)奇偶性與單調性的基本步驟，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題.21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【解析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關系時，一般全部轉化為角的關系，或全部轉化為邊的