第二章《圓與方程》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)第二章《圓與方程》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點(diǎn).若，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，進(jìn)而得，設(shè)，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以的方程為．

由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．故選：B．2．若直線把圓分成長(zhǎng)度為1：2的兩段圓弧，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為得到,利用點(diǎn)與直線的距離建立條件關(guān)系即可．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線和圓相交于，若較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，則，則圓心到直線的距離，即，即，故選:D

3．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)兩圓相交求出公共弦所在直線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線方程為.又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得.故選：B.4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上的點(diǎn)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可判斷AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，從而，然后用坐標(biāo)表示出所求，利用點(diǎn)B在圓上化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)?，所以AC為單位圓的直徑，O為AC的中點(diǎn).設(shè)，則，所以所以因?yàn)椋怨蔬x：B5．（已知圓C：，若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到四點(diǎn)共圓，設(shè)，得到的圓的方程，與相減后得到直線的方程，求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】圓C：①的圓心為，半徑為2，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，故四點(diǎn)共圓，其中的中點(diǎn)為該圓心，為直徑，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，故過(guò)的圓的方程為，變形得到②，由①②相減可得直線的方程，即，整理得，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).故選：D6．漢代初年成書的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國(guó)古代入民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對(duì)稱性可知反射光線過(guò)且又在該圓上，即可得為切點(diǎn)，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過(guò)且與該圓相切，將圓化簡(jiǎn)后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點(diǎn)，因此圓心與切點(diǎn)連線與反射光線垂直，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．7．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】將已知表示成一個(gè)以為圓心，1為半徑的圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到直線距離最小值問(wèn)題，從而找到解題關(guān)鍵.【詳解】依題意可知曲線表示一個(gè)以為圓心，1為半徑的圓，求的最小值相當(dāng)于先求的最小值，即求圓上一點(diǎn)到直線的距離d的最小值，所以，即的最小值為1．故選：A．8．已知圓的方程為，直線：恒過(guò)定點(diǎn)A.若一條光線從點(diǎn)A射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)M反射后到達(dá)圓C上的一點(diǎn)N，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先求得定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再去求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再去求點(diǎn)到圓上一點(diǎn)N距離的最小值即為的最小值.【詳解】圓的圓心，半徑直線可化為，令，解得，所以定點(diǎn)A的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由，解得，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)B，M，N，C四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為6.故選：A多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且被y軸分成兩段，弧長(zhǎng)之比為2∶1，則圓C的方程為（

）A．x2＋2＝ B．x2＋2＝C．2＋y2＝ D．2＋y2＝【答案】CD【分析】由題意，設(shè)C(a,0)，結(jié)合被y軸分成兩段的弧長(zhǎng)比有|a|＝，根據(jù)弦長(zhǎng)、半徑、弦心距的幾何關(guān)系求參數(shù)a，即可寫出圓的方程.【詳解】由圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)圓心C(a,0)，又圓C被y軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為2∶1，∴|a|＝，則()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，∴圓C的方程為2＋y2＝.故選：CD．10．設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（

）A．可能將的周長(zhǎng)平分B．若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為C．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)圓心在直線上判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)三角形面積公式判斷C，根據(jù)幾何法求出點(diǎn)M的軌跡方程即可判斷D.【詳解】對(duì)于，若直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值2，C正確；對(duì)于，易知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由，解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知圓O：和圓M：相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓M的圓心為，半徑為1B．直線AB的方程為C．線段AB的長(zhǎng)為D．的最大值為6【答案】BCD【分析】化圓M的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑即可判斷選項(xiàng)A的正誤；聯(lián)立兩圓的方程求得的方程可判斷選項(xiàng)B的正誤；由點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理求得的長(zhǎng)判斷選項(xiàng)C的正誤，利用圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心距離和半徑和，可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)閳AM的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為圓心為，半徑為1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)閳AO：和圓M：相交于A，B兩點(diǎn)，兩圓相減得到，即，故選B正確；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，圓心到直線的距離為，所以，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，又圓的半徑為1，故的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選項(xiàng)：BCD.12．已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)和兩點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線為切點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為B．線段長(zhǎng)度的最小值為C．的最小值為D．存在點(diǎn)，使得的面積為【答案】CD【分析】設(shè)點(diǎn)，由，求得，由圓的性質(zhì)，取得點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為，可判定A不正確；由，求得的最小值為，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)，在直角三角形中，求得，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判定C正確.結(jié)合C選項(xiàng)求出面積的最小值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋O(shè)，則，可得曲線的軌跡為圓.方程為直線：，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知，在直角三角形中，，要使得線段的長(zhǎng)度最小，則取最小值，由選項(xiàng)A可知，長(zhǎng)度的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為3，故C正確；對(duì)于D，由切線長(zhǎng)定理知，直線垂直平分線段，得，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)取等號(hào)，即弦長(zhǎng)度的最小值為.此時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以的面積的最小值為，又，，的面積所以存在點(diǎn)，使得的面積為3，故D正確.故選：CD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的圓的方程為．【答案】【分析】直線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)是圓心，圓心到A點(diǎn)的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，AB中點(diǎn)為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯(lián)立方程組，解得．所以，圓心坐標(biāo)為，半徑，所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：14．已知圓，直線，當(dāng)圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為.【答案】【分析】直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于時(shí)，圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短，可求直線的方程.【詳解】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，代入到直線的方程并化簡(jiǎn)得.故答案為：.15．已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是A，B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】先設(shè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)P、A、O、B四點(diǎn)共圓，求出P、A、O、B四點(diǎn)確定的圓的方程，聯(lián)立后得到AB所在直線方程，再求直線AB恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】設(shè)點(diǎn)，則∵過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是A，B，∴，∴P、A、O、B四點(diǎn)共圓，其中OP為直徑所以圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為∴P、A、O、B四點(diǎn)確定的圓的方程為：化為一般方程為：即與聯(lián)立，求得AB所在直線方程為：①其中，代入①中，得：所以解得：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：16．已知圓，若圓上存在兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則的取值范圍為.【答案】【分析】作圖分析，討論和，設(shè)D為的中點(diǎn)，推出三點(diǎn)共線，從而可得；利用點(diǎn)到直線的距離公式得到等量關(guān)系，結(jié)合方程知識(shí)，利用判別式可得不等式即可求得答案.【詳解】由題意知為等邊三角形，設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)樵趫A上，故，故三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，，滿足圓上存在兩點(diǎn)使得為等邊三角形；時(shí)，直線OA的斜率為，則斜率為，設(shè)方程為，A到的距離為，，而，故，即，令，則，即，由于，故，解得，即，則或，綜合可得，故的取值范圍為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．求a為何值時(shí)，兩圓和．(1)外切；(2)內(nèi)切．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)兩圓方程寫出圓心、半徑，由外切得圓心距，列方程求參數(shù)；（2）由內(nèi)切得圓心距，列方程求參數(shù)；【詳解】（1）由，即圓心為，半徑為3；由，即圓心為，半徑為2；所以圓心距，若兩圓外切，則，即，所以或.

（2）若兩圓內(nèi)切，則，即，所以或.18．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線：上.(1)求圓心為的圓的一般方程；(2)已知，為圓上的點(diǎn)，求的最大值和最小值.【詳解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴弦的垂直平分線的方程為，即，與直線：聯(lián)立，解得：，圓心坐標(biāo)為，∴圓的半徑，則圓的方程為.∴圓的一般方程為；

（2）由（1）知圓的方程為，所以,∴在圓外，的最大值為，最小值為.19．已知：關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在y軸上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在直線上，過(guò)點(diǎn)M引的兩條切線?，切點(diǎn)分別為A，B.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由圓心在直線上，且圓心在y軸上得出關(guān)系式求出即可；（2）設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，得出M，A，C，B四點(diǎn)共圓，此圓以為直徑，化簡(jiǎn)得出圓的方程為，由是圓C和圓的公共弦，兩圓方程相減求出的直線方程得出結(jié)論即可.【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因?yàn)閳A心C在y軸上，所以，由以上兩式得，，∴，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∵，∴M，A，C，B四點(diǎn)共圓，且，其圓心為線段MC的中點(diǎn)，，設(shè)M，A，C，B四點(diǎn)所在的圓為圓，∴圓的方程為，化簡(jiǎn)得.∵是圓C和圓的公共弦，∴，兩式相減得，故的方程為，當(dāng)時(shí)，，∴直線恒過(guò)定點(diǎn).20．已知圓與圓恰好有三條公切線，點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：軸平分．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意判斷兩圓的位置關(guān)系，列式即可求得答案；（2）聯(lián)立直線和圓的方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）化圓為，則圓心坐標(biāo)為，半徑為2．由題意圓與圓恰好有三條公切線，則兩圓外切，則，解得；（2）證明：聯(lián)立，得，解得或．不妨設(shè)，，∴，∴直線，的傾斜角互補(bǔ)，從而，

故軸平分．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為：，直線的方程為.（1）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線的方程；（3）在（2）的前提下，若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】(1).（2）.（3）．【詳解】試題分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得圓心，半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理可得直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)，取最大值，圓心到直線的距離，令，，利用配方法可得時(shí)取最大值，弦長(zhǎng)取最小值，直線上方程為，（）設(shè)，當(dāng)以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)圓與圓剛好相切時(shí)，，解得或，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．試題解析：（）圓的方程為，圓心，半徑．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)．（）∵圓心到直線的距離，設(shè)弦長(zhǎng)為，則，當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)，取最大值，∴，令，．令，當(dāng)時(shí)，取到最小值．此時(shí)，取最大值，弦長(zhǎng)取最小值，直線上方程為．（）設(shè)，當(dāng)以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)圓與圓剛好相切時(shí)，，解得或，由題意，圓與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)符合題意，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．2