7.2 排列（十大題型）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)7．2排列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能通過(guò)實(shí)例，用自己的語(yǔ)言解釋排列的定義；能用定義判斷是不是排列問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（2）能從排列的定義出發(fā)推導(dǎo)排列數(shù)公式，并能用排列數(shù)公式解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題．（3）能綜合應(yīng)用排列的概念和公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．（1）理解并掌握排列的概念.（2）能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．（3）能用排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與證明．知識(shí)點(diǎn)01排列的概念1、排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．（3）如何判斷一個(gè)具體問(wèn)題是不是排列問(wèn)題，就要看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序還是無(wú)順序，有順序就是排列，無(wú)順序就不是排列．【即學(xué)即練1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的是（

）A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競(jìng)賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】選項(xiàng)A：從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競(jìng)賽，選出的2人并未排序，因而不是排列問(wèn)題，不合題意；選項(xiàng)B：10個(gè)人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，是排列問(wèn)題，適合題意；選項(xiàng)C：平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，從中任選2個(gè)點(diǎn)即可確定1條直線，這2個(gè)點(diǎn)不分順序.因而不是排列問(wèn)題，不合題意；選項(xiàng)D：從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)字相加即得1個(gè)結(jié)果，這2個(gè)數(shù)字不分順序，因而不是排列問(wèn)題，不合題意.故選：B．知識(shí)點(diǎn)02排列數(shù)1、排列數(shù)的定義從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從個(gè)不同的元素中，任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一個(gè)排列（也就是具體的一件事）；2、排列數(shù)公式，其中，且．知識(shí)點(diǎn)詮釋：公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)．【即學(xué)即練2】（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故選：B.知識(shí)點(diǎn)03階乘表示式1、階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．規(guī)定：．2、排列數(shù)公式的階乘式：所以．【即學(xué)即練3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】原不等式可化為，其中，，整理得，即，所以或．因?yàn)?，，所以，，所以原不等式的解集為．故答案為?知識(shí)點(diǎn)04排列的常見(jiàn)類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問(wèn)題插空法3、元素分析法4、位置分析法【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國(guó)，吸引了國(guó)內(nèi)眾多業(yè)余球隊(duì)參賽．現(xiàn)有六個(gè)參賽隊(duì)伍代表站成一排照相，如果貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)必須相鄰，同時(shí)南昌拌粉隊(duì)與溫江烤肉隊(duì)不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種．A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【解析】先將不相鄰的兩隊(duì)排除，將貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)看成一個(gè)整體，與余下兩隊(duì)先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊(duì)插入他們的空隙中，有種方法，最后落實(shí)貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)的具體排法有種方法，故不同的站法有種.故選：A.題型一：排列的概念【典例1-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）從集合中任取兩個(gè)元素，①相加可得多少個(gè)不同的和？②相除可得多少個(gè)不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程？上面四個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【解析】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問(wèn)題；∵除法不滿足交換律，∴②是排列問(wèn)題；若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問(wèn)題；在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問(wèn)題．故選：B．【典例1-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅危緽．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問(wèn)題．故選：D【變式1-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列問(wèn)題:①?gòu)募?、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng);③從a，b，c，d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母;④從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).其中是排列問(wèn)題的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】①中，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān)，所以是排列問(wèn)題；②中，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動(dòng)與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；③中，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；④中，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字還需要按順序排列，是排列問(wèn)題.故選：B.【變式1-2】（多選題）（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，屬于排列問(wèn)題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從，，，中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪D．從，，，中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)：從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法屬于排列問(wèn)題，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，可分為四組，三人一組無(wú)先后順序，不屬于排列問(wèn)題，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：從，，，中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪屬于排列問(wèn)題，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：從，，，中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)點(diǎn)屬于排列問(wèn)題，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【變式1-3】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題：(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．【解析】(1)票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(3)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題．(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題．(5)每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問(wèn)題，(1)(3)(4)不是排列問(wèn)題．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的思路題型二：畫樹形圖寫排列【典例2-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a、b、c、d四個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有排列．【解析】先畫出下面的樹形圖：于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．【典例2-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）寫出下列問(wèn)題的所有排列：(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.【解析】（1）所有兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù).（2）畫出樹狀圖，如圖：由樹狀圖知，所有的四位數(shù)為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).【變式2-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）從四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？（2）寫出從4個(gè)元素中任取3個(gè)元素的所有排列．【解析】（1）由題意作“樹形圖”，如下．故組成的所有兩位數(shù)為，共有12個(gè)．（2）由題意作“樹形圖”，如下．故所有的排列為：，.【變式2-2】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）求從A，B，C這3個(gè)對(duì)象中取出3個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，并寫出所有的排列.【解析】所求排列數(shù)為.所有的排列可用圖所示.由圖可知，所有排列為，，，，，.【變式2-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來(lái)．【解析】從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當(dāng)于從4個(gè)不同的元素中任意取出3個(gè)元素，按“甲、乙、丙”的順序進(jìn)行排列，每一個(gè)排列就對(duì)應(yīng)著一種分法，所以共有（種）不同的分法．不妨給“語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理”編號(hào)，依次1，2，3，4，畫出樹形圖如圖．由樹形圖可知，按甲、乙、丙的順序分的分法為：語(yǔ)數(shù)英

語(yǔ)數(shù)物

語(yǔ)英數(shù)

語(yǔ)英物

語(yǔ)物數(shù)

語(yǔ)物英數(shù)語(yǔ)英

數(shù)語(yǔ)物

數(shù)英語(yǔ)

數(shù)英物

數(shù)物語(yǔ)

數(shù)物英英語(yǔ)數(shù)

英語(yǔ)物

英數(shù)語(yǔ)

英數(shù)物

英物語(yǔ)

英物數(shù)物語(yǔ)數(shù)

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物數(shù)英

物英語(yǔ)

物英數(shù)【方法技巧與總結(jié)】樹形圖的畫法（1）確定首位，以哪個(gè)元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行確定首位．（2）確定第二位，在每一個(gè)分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．（3）重復(fù)以上步驟，直到寫完一個(gè)排列為止．題型三：簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題【典例3-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a、b、c、d、e這五個(gè)不同元素中任意取出兩個(gè)元素的所有排列．【解析】任意取出兩個(gè)元素的所有排列為：.【典例3-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）將A、B、C、D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一個(gè)，可分為三類：當(dāng)排在第一時(shí)：BADC，BCDA，BDAC；當(dāng)排在第一時(shí)：CADB，CDAB，CDBA，當(dāng)排在第一時(shí)：DABC，DCAB，DCBA，所以不同的排法為：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．【變式3-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，寫出得到的所有三位數(shù)，并求出排列數(shù)；（2）試寫出由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，并求出排列數(shù).【解析】（1）所有的三位數(shù)為123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24個(gè)三位數(shù).故排列數(shù)是.（2）所有的四位數(shù)為1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個(gè)四位數(shù).故排列數(shù)是.【變式3-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）從、、、這個(gè)數(shù)字中選出個(gè)不同的數(shù)字組成個(gè)三位數(shù)，試寫出所有滿足條件的三位數(shù)．【解析】所有滿足條件的三位數(shù)分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè).【變式3-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)列出下列排列：(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列；(2)從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列．【解析】（1）根據(jù)題意，從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列共有如下種：.（2）從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列共有如下種：.【變式3-4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號(hào)，不同的順序表示不同的信號(hào)，試寫出所有的信號(hào)．【解析】根據(jù)題意，所有的信號(hào)為：紅黃藍(lán)，紅藍(lán)黃，黃紅藍(lán)，黃藍(lán)紅，藍(lán)紅黃，藍(lán)黃紅．【變式3-5】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）解不等式：；【解析】因?yàn)?，，，所以不等式可化為，解得，又，，所以不等式的解集為．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題，其解題思路可借助分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，即采用元素分析法或位置分析法求解．題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）．【答案】40【解析】由題意得，，，故，故答案為：40【典例4-2】（2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模），則等于．【答案】10【解析】因?yàn)椋獾没?，且，所?故答案為：10.【變式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，且，解得或（舍去?故答案為：【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎?，則．【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，且，，，所以，解得或（舍去），所?故答案為：3.【變式4-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知，那么；（2）已知，那么；（3）已知，那么．【答案】【解析】（1）由，則，即，解得.（2）由，則，解得.（3）由，則且，解得或（舍）.故答案為：；；【變式4-4】（2024·高二課前預(yù)習(xí)），則.【答案】【解析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式，可得，即，解得或（舍去）.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的選擇（1）排列數(shù)公式的乘積形式適用于計(jì)算排列數(shù)．（2）排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問(wèn)題，具體應(yīng)用時(shí)注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算．題型五：階乘的概念及性質(zhì)【典例5-1】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求不等式的解集．【解析】由題設(shè)，則，所以，又且，則且，所以且，則解集為.【典例5-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）解不等式：【解析】由原不等式得且，所以，即，解得且，所以.【變式5-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．【解析】由排列數(shù)的定義，有由此解得．此外，原方程可化為，再化簡(jiǎn)，可得，即，即．舍去非整數(shù)的根，故．【變式5-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)若，求x.【解析】（1）；（2）；（3）由題設(shè)，則，所以，則，又，故.【變式5-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程或不等式．(1)(2)【解析】（1）由于，所以，整理得，解得或（舍去）.（2）由于，所以，整理得，由于，所以，所以不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問(wèn)題，具體應(yīng)用時(shí)注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算．題型六：與排列數(shù)公式有關(guān)的證明問(wèn)題【典例6-1】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）求證：．【解析】．【典例6-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求證：【解析】，，，綜上，.【變式6-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）證明，并利用這一結(jié)果化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【解析】（1）證明：由可得，則.所以（2）因?yàn)?，所?【變式6-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求證：．【解析】左邊，右邊，所以，即證.【變式6-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）證明，并用它來(lái)化簡(jiǎn)．【解析】證明，即證.【變式6-4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求證：(1)；(2)．【解析】（1）證明：.（2）證明：.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形式有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式．題型七：相鄰問(wèn)題【典例7-1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、西湖和京杭大運(yùn)河．某同學(xué)買了6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個(gè)吉祥物相鄰，則排法種數(shù)共為（

）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】A【解析】由題意，因名稱相同的兩個(gè)吉祥物相鄰，分別看成一個(gè)元素共有種排法，相鄰元素內(nèi)部再排共有種排法，故共有種排法，故選：A．【典例7-2】（2024·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末），，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數(shù)共有（

）A．24 B．120 C．48 D．60【答案】C【解析】將，看成一體，，的排列方法有種方法，然后將和當(dāng)成一個(gè)整體與其他三個(gè)人一共個(gè)元素進(jìn)行全排列，即不同的排列方式有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：.【變式7-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）停車站劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法有（）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】將個(gè)空車位視為一個(gè)元素，與輛車共個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種．故選：D【變式7-2】（2024·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）市內(nèi)某公共汽車站有6個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是（

）A．48 B．54 C．72 D．84【答案】C【解析】根據(jù)題意，現(xiàn)將3個(gè)乘客全排列，將有4個(gè)空隙，再將兩個(gè)空座位捆綁在一起和另一個(gè)空座位，放入4個(gè)空隙中的兩個(gè)，共有種.故選：C.【變式7-3】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【解析】當(dāng)丙站在左端時(shí)，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C【方法技巧與總結(jié)】相鄰問(wèn)題捆綁法題型八：不相鄰問(wèn)題【典例8-1】（2024·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）某班聯(lián)歡會(huì)原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插人節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．20 D．72【答案】B【解析】這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個(gè)空位中，選2個(gè)位置安排2個(gè)新節(jié)目，且兩個(gè)新節(jié)目順序可變，此時(shí)有種插法.故選：B【典例8-2】（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來(lái)了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入，若保持原來(lái)5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（

）A．360種 B．144種 C．180種 D．192種【答案】D【解析】分兩種情況：當(dāng)丙不在甲?乙中間時(shí)，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時(shí)不同的加入方法共有種；當(dāng)丙在甲?乙中間時(shí)，共有種方法.故不同的加入方法共有種.故選：D【變式8-1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f，假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【答案】C【解析】先安排甲乙以外的個(gè)人，然后插空安排甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C【變式8-2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【解析】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的1人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：B.【變式8-3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實(shí)外教育集團(tuán)的5位學(xué)生相約一起爬山觀景.其中位女生，位男生，在到達(dá)零公里時(shí)，為了安全起見(jiàn)，他們排隊(duì)前進(jìn)，為了照顧大家安全，位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個(gè)，則不同的排法種數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】種類一：一位男生在最后，此時(shí)有種情況，位女生全排列有種情況，最后將剩余一位男生插入女生所形成的個(gè)空中，且不在女生最后，共種情況，所以共種情況；種類二：男生不相鄰，可先排女生，又女生甲不在最后，所以女生甲有種排法，其他為女生有種排法，最后男生插入女生所形成的個(gè)空中，且不在女生最后，共種情況，共種情況；綜上所述，共種情況，故選：A.【變式8-4】（2024·山東德州·高二校考期末）6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（

）A．14 B．120 C．72 D．24【答案】D【解析】根據(jù)題意，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙，從4個(gè)空隙中選出3個(gè)空隙，讓3人就坐，共有種不同的坐法.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】不相鄰問(wèn)題插空法題型九：定序問(wèn)題【典例9-1】（2024·上海市金山中學(xué)高二期末）某次演出有6個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．【答案】【解析】演出中的6個(gè)節(jié)目全排列有,甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目全排列有,所以演出中的6個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有，故答案為：.【典例9-2】（2024·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末）在8所高水平的高校代表隊(duì)中，選擇5所高校進(jìn)行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過(guò)程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.【答案】1200.【解析】從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，選法是種，當(dāng)、兩高校不相鄰時(shí)，不同的表演順序有，當(dāng)、兩高校相鄰時(shí)，不同的表演順序有，因此可選擇的不同航模表演順序有種.故答案為：1200.【變式9-1】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）期中安排考試科目9門，語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)三門課的前后順序已經(jīng)確定，則期中考試不同的安排順序有______種．【答案】60480【解析】解法一：空位法．語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)的前后順序已經(jīng)確定，先排除了語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)之外的6科，總共有種排法，剩下三個(gè)位置給語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，因?yàn)樗鼈兊捻樞虼_定，只有一種方法，故共有60480種排法．解法二：插空法．語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)的前后順序已經(jīng)確定，先排語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，只有一種排法，然后再讓剩下6科逐個(gè)插空，總共有種排法．解法三：除法．9門課程任意排，總共有種排法．語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)有種排法．因?yàn)檎Z(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)的前后順序已經(jīng)確定，所以總共有種排法．故答案為：60480【變式9-2】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將A，B，C，D，E這5個(gè)字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序?yàn)锳，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】5個(gè)元素?zé)o約束條件的全排列有種排法，由于字母A，B，C的排列順序?yàn)锳，B，C或C，B，A，因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有（種）.故答案為：40【變式9-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，某貨場(chǎng)有三堆集裝箱，每堆2個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】因?yàn)橛辛鶄€(gè)集裝箱，需要全部裝運(yùn)，共有種取法，又因?yàn)槊看沃荒軓钠渲幸欢讶∽钌厦娴囊粋€(gè)集裝箱，由排列中的定序問(wèn)題，可知不同的取法有種.故答案為：90.題型十：間接法【典例10-1】（2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識(shí)展板，分別放置在五個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放置方式的種數(shù)有（

）A．66 B．64 C．48 D．30【答案】B【解析】由題意，五張知識(shí)展板并排放在文化櫥窗里共有種排法，小雪站在首位或大雪站在末位有種排法，小雪站在首位且大雪站在末位有種排法，則小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有種，而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間的情況分兩類，小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪不站末位，有，小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪站末位，有，故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中間的站法共有：種.故選：B.【典例10-2】（2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂(lè)”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】B【解析】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時(shí)，“禮”和“樂(lè)”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B【變式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【答案】B【解析】語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育4門學(xué)科的全排列數(shù)為種，其中體育排在第一節(jié)的有種，所以該班周一上午不同的排課方案共有（種）.故選：B【變式10-2】（2024·全國(guó)·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）某人根據(jù)自己愛(ài)好，希望從中選2個(gè)不同字母，從中選3個(gè)不同數(shù)字編擬車牌號(hào)，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號(hào)有（

）A．198個(gè) B．180個(gè) C．216個(gè) D．234個(gè)【答案】A【解析】當(dāng)2在首位時(shí)，在任選兩個(gè)數(shù)在余下兩個(gè)數(shù)字位上全排有，從任選兩個(gè)字母在字母位上全排有；當(dāng)2與Z相鄰時(shí)，即2在數(shù)字位的最后，Z在字母位的最前面，再?gòu)娜芜x兩個(gè)數(shù)在余下兩個(gè)數(shù)字位上全排有，從任選一個(gè)字母放在字母位的最后有；所以當(dāng)2在首位和2與Z相鄰的情況共有種，而任選3個(gè)數(shù)字在數(shù)字位全排，任選2個(gè)字母在字母位全排共有種，所以滿足要求的車牌號(hào)有種.故選：A【方法技巧與總結(jié)】正難則反一、單選題1．（2024·河南·高二校聯(lián)考專題練習(xí)）四名護(hù)士和一名醫(yī)生站成一排照相，則醫(yī)生站在正中間的不同站法有（

）A．64種 B．12種 C．120種 D．24種【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將四名護(hù)士全排列，有種排法；②、醫(yī)生站在正中間，有1種情況.則5人不同的站法有種.故選：D.2．（2024·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）用1，2，3，4，5，6寫出沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有（

）個(gè)A．18 B．36 C．72 D．86【答案】C【解析】由題意，可先對(duì)計(jì)數(shù)進(jìn)行全排列，共有種排法；再對(duì)構(gòu)成的4個(gè)空隙中，連續(xù)前三個(gè)空隙或后相鄰的三個(gè)空隙，放入偶數(shù)，共有種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的排法.故選：C.3．（2024·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）用可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．20 C．16 D．15【答案】C【解析】從中任選兩個(gè)數(shù)字，組成兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)，其中數(shù)字0排首位的有4個(gè)，所以滿足條件的兩位數(shù)有個(gè).故選：C4．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)?？计谀皵?shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）4A．70 B．120 C．140 D．144【答案】B【解析】比小的有，共個(gè)，從中選出個(gè)排在的左邊和上方，方法數(shù)有種，比大的有，共個(gè)，從中選出個(gè)排在的右邊和下方，方法數(shù)有種，所以不同的填法種數(shù)為種.故選：B5．（2024·吉林·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）4個(gè)人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【答案】C【解析】甲不站兩邊的有種方法，故選：C6．（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故選：B.7．（2024·江西·高二校聯(lián)考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A．108種 B．96種 C．84種 D．72種【答案】B【解析】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或中間四位或尾四位，當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩最后2位，甲不在兩端，第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)中間四位，此時(shí)兩端還剩2位，甲不在兩端，第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩前2位，甲不在兩端，第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法.故選：B.8．（2024·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）南陽(yáng)市博物院為國(guó)家二級(jí)博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽(yáng)悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽(yáng)市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計(jì)劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級(jí)的同學(xué)去南陽(yáng)市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個(gè)年級(jí)參觀，其中高一年級(jí)需要連續(xù)兩天，高二、高三年級(jí)各需要一天，則不同的方案有（

）A．20種 B．50種 C．60種 D．100種【答案】C【解析】因?yàn)椴┪镌好恐芤婚]館，所以高一年級(jí)可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，再?gòu)氖Ｏ碌乃奶炖锇才鸥叨?、高三年?jí)，有種安排方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，知不同的方案有種，故選：C.二、多選題9．（2024·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價(jià)值．它具有紅黑兩種陣營(yíng)，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現(xiàn)將3個(gè)紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個(gè)黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．共有種排列方式． B．若兩個(gè)“將”相鄰，則有種排列方式．C．若兩個(gè)“將”不相鄰，則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰，則有種排列方式．【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，由排列知識(shí)可得共有種排列方式，A正確；B選項(xiàng)，兩個(gè)“將”捆綁，有種情況，再和剩余的4個(gè)棋子進(jìn)行全排列，故共有種情況，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，兩個(gè)“將”不相鄰，先將剩余3個(gè)棋子進(jìn)行全排列，共有4個(gè)空，再將兩個(gè)“將”插空，故共有種情況，C正確；D選項(xiàng)，將2個(gè)黑色的棋子進(jìn)行全排列，共有3個(gè)空，再將3個(gè)紅色的棋子進(jìn)行插空，則有種排列方式，D正確.故選：ACD10．（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故A正確；由上述可知，因此，故B錯(cuò)誤；，故C正確；由上述可知，故D錯(cuò)誤.故選:AC.11．（2024·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谀?023年國(guó)外某智庫(kù)發(fā)布《尖端技術(shù)研究國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力排名》的報(bào)告，涵蓋了超音速、水下無(wú)人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無(wú)人機(jī)等二十多個(gè)領(lǐng)域.報(bào)告顯示，中國(guó)在其中19個(gè)領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學(xué)生是科技愛(ài)好者，打算從這19個(gè)領(lǐng)域中選取這5個(gè)領(lǐng)域給班級(jí)同學(xué)進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在，之前介紹的方法種數(shù)為40【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，先把進(jìn)行全排列，再?gòu)倪x擇1個(gè)放在之間，有種方法，再將這三個(gè)領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，若A在最后一天進(jìn)行介紹，則將剩余4個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，有種方法，若A不在最后一天進(jìn)行介紹，從3天中選擇1天安排A，再?gòu)某俗詈笠惶斓氖Ｓ?天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個(gè)領(lǐng)域和3天進(jìn)行全排列，有種選擇，則此時(shí)有種選擇，綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，進(jìn)行全排列，共有種方法，將進(jìn)行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.故選：ABD三、填空題12．（2024·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）寧德北路戲是珍貴的國(guó)家非物質(zhì)文化邀產(chǎn)．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟(jì)公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個(gè)北路戲傳統(tǒng)劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節(jié)目安排種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】先將《濟(jì)公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》三個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，然后將《宏碧緣》與《旗王哭將》兩個(gè)節(jié)目插入《濟(jì)公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》這三個(gè)節(jié)目中形成的四個(gè)空位中的兩個(gè)空位，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.故答案為：.13．（2024·遼寧·高二期末）一種汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，且2個(gè)英文字母不能相同，不