江西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期月考考試高三數(shù)學(xué)試題姓名：分?jǐn)?shù)：卷I（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法表示集合A，解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，，則．故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，所以，解得，所以，故，故選：D.3.已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的漸近線方程為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線方程再根據(jù)雙曲線漸近線的求法得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，漸近線方程為.故選：B4.已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，列出方程求解即可．【詳解】由得，，即，解得，故選：B．5.羽毛球比賽水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人舉行羽毛球比賽.規(guī)則為：每局兩人比賽，另一人擔(dān)任裁判.每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)方在下一局比賽中擔(dān)任裁判.如果第1局甲擔(dān)任裁判，則第3局甲還擔(dān)任裁判的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】由于甲、乙、丙三人的比賽水平相當(dāng)，所以第二局乙或丙擔(dān)任裁判的概率都是，第二局若是乙當(dāng)裁判，則第三局甲或丙擔(dān)任裁判的概率都是，第二局若是丙當(dāng)裁判，則第三局甲或乙擔(dān)任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲擔(dān)任裁判，則第3局甲還擔(dān)任裁判的概率為.故選：C.6.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公比是（）A.或1 B.或1 C. D.【答案】A【解析】【分析】分別利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，解方程組可得或.【詳解】設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，依題意得，解得或.故選：A.7.在中，，，，則點(diǎn)A到邊的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意，根據(jù)求出，根據(jù)余弦定理求出，設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，然后根據(jù)三角形面積公式，求出答案.【詳解】在中，由，所以，解得，.由余弦定理有，故.設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，由三角形面積公式得：，故，故選：A.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為的中點(diǎn)，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出球心到平面的距離，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面圓半徑即可.【詳解】正方體的外接球球心是的中點(diǎn)，而，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，又平面過(guò)線段的中點(diǎn)P，因此點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，由平面，，得平面，在平面內(nèi)過(guò)作于，而平面，于是，又，從而，又球的半徑，則正方體的外接球被平面截得的截面圓半徑，有，所以正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.未全對(duì)給3分，全對(duì)6分.）9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的有（）A.若，，，則B.，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，，，不能推出或，則不能推出，故A錯(cuò)誤；B.若，，則，又，所以，故B正確；C.若，，則，又，所以，故C正確；D.若，，，說(shuō)明與和垂直的法向量互相垂直，則，故D正確.故選：BCD10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，則（）A.的準(zhǔn)線方程為 B.的值為2C. D.的面積與的面積之比為9【答案】BD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而判定各選項(xiàng).【詳解】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，所以，，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，由拋物線定義可得，，，則，解得或，因?yàn)?，所以，則的準(zhǔn)線方程為，故B正確，A錯(cuò)誤；又的方程為，，，把代入可得，，不妨設(shè)，則，故C錯(cuò)誤；設(shè)到直線的距離為，的面積，的面積，則的面積與的面積之比，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且，則（）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換及其對(duì)稱性，可得判定A正確；結(jié)合和，化簡(jiǎn)得到，可判定B不正確；令，得到，得到函數(shù)和是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合，可判定C正確；結(jié)合，，，得到，結(jié)合是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，解得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以A正確；對(duì)于B中，由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得，因?yàn)椋傻?，則，兩式相減得，即，所以B不正確；對(duì)于C中，令，可得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是以4為周期周期函數(shù)，由，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，且函?shù)關(guān)于對(duì)稱，可得，又因?yàn)?，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】知識(shí)結(jié)論拓展：有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論（1）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于直線對(duì)稱（時(shí)，為偶函數(shù)），則①；②；③.（2）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（時(shí)，為奇函數(shù)），則①；②；③.（3）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則①；②；③.卷II（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.設(shè)，，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用基本不等式求出的范圍，再對(duì)的分子運(yùn)用基本不等式，放縮為，再根據(jù)等號(hào)成立條件，運(yùn)用不等式的傳遞性求解即可.【詳解】由，，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，兩個(gè)不等式等號(hào)成立條件相同，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.13.抽樣統(tǒng)計(jì)得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是______.【答案】159【解析】【分析】利用百分位數(shù)的估計(jì)公式計(jì)算可得.【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列為：，由，得第75百分位數(shù)是.故答案為：15914.已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，又，則，即．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.袋子中有大小相同的2個(gè)白球?3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；（2）若對(duì)摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次數(shù)的分布列和均值.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式的定義或者公式，即可求解；（2）首先寫(xiě)出隨機(jī)變量的取值，再根據(jù)取值的意義，寫(xiě)出概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】角度一：第一次摸到白球，第二次摸球時(shí)袋子中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，所求概率.角度二：設(shè)“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，則，,所求概率；【小問(wèn)2詳解】的所有可能取值為.，，，，的分布列為：0123,均值.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)為的重心，．（1）若平面，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)定理得，再利用G為重心得到，求出AD，再利用勾股定理求出BD長(zhǎng)即可.(2)以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，求出PD的方向向量與平面PAB的法向量，再利用線面角與這兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，所以平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)闉榈闹匦?，所以．所以．所以，即．所以在中，，則．【小問(wèn)2詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫嫫矫嬗忠驗(yàn)樗裕移矫嫫矫?，所以平面，如圖所示，分別以為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，所以．所以，又因?yàn)椋环猎O(shè)平面的法向量，所以所以，可取設(shè)直線與平面所成的角為，所以．即直線與平面所成的角的正弦值為.17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可求得，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，兩式聯(lián)立可得，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，所以，即，，故，，即，又，則．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，則，所以.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，化簡(jiǎn)可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，故，即19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域即可證明；（2）求導(dǎo)，令，再求導(dǎo)，利用放縮可知，得到在單調(diào)遞增，，分類討論和時(shí)的正負(fù)，從而確定是否有極值點(diǎn)以及極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.要證，只需證：當(dāng)時(shí)，.令，則，則在單調(diào)遞增，所以，即.【小問(wèn)2詳解】，令，則.所以在單調(diào)遞增，，①時(shí)，，.則在為增函數(shù)，在上無(wú)極