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太原市重點(diǎn)中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,若,,則的值為()A.15 B.16 C.17 D.182.已知集合A={x∈N|0≤x≤3},B={x∈R|-2<x<2}則A∩B()A.{0,1} B.{1} C.[0,1] D.[0,2)3.設(shè)向量,滿足,,則()A.1 B.2 C.3 D.54.已知菱形的邊長為,則()A. B. C. D.5.如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,給出以下四個(gè)結(jié)論:①D1C∥平面A1ABB1②A1D1與平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.46.某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分成6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級共有學(xué)生600名,據(jù)此估計(jì),該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()A.588 B.480 C.450 D.1207.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小周期后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為()A. B.C. D.8.已知在等差數(shù)列中,的等差中項(xiàng)為,的等差中項(xiàng)為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A. B.-1 C.+1 D.-39.已知函數(shù),若,,則()A. B.2 C. D.10.三邊,滿足,則三角形是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.直角三角形二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知是等比數(shù)列,且,,那么________________.12.在數(shù)列中,,,則________.13.已知球?yàn)檎拿骟w的外接球,,過點(diǎn)作球的截面,則截面面積的取值范圍為____________________.14.已知等比數(shù)列、、、滿足,,,則的取值范圍為__________.15.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,,,則________.16.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查,則月收入在(元)內(nèi)的應(yīng)抽出___人.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.18.已知函數(shù),,(1)求的最小正周期;(2)若,求的最大值和最小值,并寫出相應(yīng)的x的值.19.設(shè)全集為,集合,集合.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上(1)若,求點(diǎn)P的坐標(biāo):(2)若的面積為10,求點(diǎn)P的坐標(biāo).21.如圖,已知平面平行于三棱錐的底面,等邊所在的平面與底面垂直,且,設(shè)(1)求證:且;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】
推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列,由解得,由此利用能求出的值.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為,且數(shù)列是等差數(shù)列解得解得故選:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的判定和基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
可解出集合A,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】A={0,1,2,3},B={x∈R|﹣2<x<2};∴A∩B={0,1}.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題,注意A中x∈N3、A【解析】
將等式進(jìn)行平方,相加即可得到結(jié)論.【詳解】∵||,||,∴分別平方得2?10,2?6,兩式相減得4?10﹣6=4,即?1,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本運(yùn)算,利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).4、D【解析】
由菱形可直接得出所求兩向量的模長及夾角,直接利用向量數(shù)量積公式即可.【詳解】由菱形的性質(zhì)可以得出:所以選擇D【點(diǎn)睛】直接考查向量數(shù)量積公式,屬于簡單題5、B【解析】
在①中,由,得到平面;在②中,由,得到平面;在③中,由,得到與平面相交但不垂直;在④中,由平面,得到平面平面,即可求解.【詳解】由正方體中,可得:在①中,因?yàn)?,平面,平面,∴平面,故①正確;在②中,∵,平面,平面,∴平面,故②錯(cuò)誤;在③中,∵,∴與平面相交但不垂直,故③錯(cuò)誤;在④中,∵平面,平面,∴平面平面,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.6、B【解析】試題分析:根據(jù)頻率分布直方圖,得;該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn):頻率分布直方圖7、B【解析】
首先判斷函數(shù)的周期,再利用“左加右減自變量,上加下減常數(shù)項(xiàng)”解題.【詳解】函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小正周期即平移個(gè)單位后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,根據(jù)“左加右減”進(jìn)行平移變換即可,對橫坐標(biāo)進(jìn)行平移變換注意系數(shù)ω即可,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】試題分析:由于數(shù)列是等差數(shù)列,所以的等差中項(xiàng)是,故有,又有的等差中項(xiàng)是,所以,從而等差數(shù)列的公差,因此其通項(xiàng)公式為,故選D.考點(diǎn):等差數(shù)列.9、C【解析】
由函數(shù)的解析式,求得,,進(jìn)而得到,,結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),令,即,即,所以,令,即,即,所以,又因?yàn)椋?,即,,所以,,即,,平方可得,,兩式相加可得,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式,三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,以及函數(shù)的解析式的應(yīng)用,其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換的公式進(jìn)行運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.10、C【解析】
由基本不等式得出,將三個(gè)不等式相加得出,由等號(hào)成立的條件可判斷出的形狀.【詳解】為三邊,,由基本不等式可得,將上述三個(gè)不等式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,是等邊三角形,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”條件的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
先根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)化簡方程,再根據(jù)平方性質(zhì)得結(jié)果.【詳解】∵是等比數(shù)列,且,,∴,即,則.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì),考查基本求解能力.12、【解析】
由遞推公式可以求出,可以歸納出數(shù)列的周期,從而可得到答案.【詳解】由,,.,可推測數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.所以。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量的遞推公式同時(shí)考查數(shù)列的周期性,屬于中檔題.13、【解析】
在平面中,過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦長何時(shí)最長,何時(shí)最短,類比在空間中,過球內(nèi)一點(diǎn)的球的大圓面積最大,與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質(zhì)及球的性質(zhì)求正四面體外接球的半徑、小圓半徑,確定答案.【詳解】因?yàn)檎拿骟w棱長為AB=3,所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質(zhì),當(dāng)過E及球心O時(shí)的截面為球的大圓,面積最大,最大面積為;當(dāng)過E的截面與EO垂直時(shí)面積最小,取△BCD的中心,因?yàn)闉檎拿骟w,所以平面BCD,O在上,,所以,在三角形中,由,,,,由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為,截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力,邏輯推理能力,空間組合體的關(guān)系,正四面體、球的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于難題.14、【解析】
設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為,由和計(jì)算出的取值范圍,再由可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為,,,,所以,,,.所以,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其性質(zhì),解題的關(guān)鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.15、18【解析】
利用,化簡得到數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列即所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.16、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應(yīng)抽出人.故答案為25.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)和的關(guān)系式,利用,整理化簡得到,從而證明是等差數(shù)列;(2)利用由(1)寫出的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)相消法求出,從而證明【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),兩式相減,得到,整理得,又因?yàn)椋?,所以?shù)列是等差數(shù)列,公差為3;(2)當(dāng)時(shí),,解得或,因?yàn)?,所以,由?)可知,即公差,所以,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)與的關(guān)系證明等差數(shù)列,裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,屬于中檔題.18、(1)(2)時(shí)最大值為2,時(shí)最小值【解析】
(1)由二倍角公式和輔助角公式可得,再由周期公式,可得所求值(2)由的范圍,可得的范圍,由于余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得所求最值.【詳解】(1)函數(shù),可得的最小正周期為;(2),,可得,,可得當(dāng)即時(shí),可得取得最大值2;當(dāng),即時(shí),可得取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式和兩角差的余弦函數(shù),考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)化簡集合,按并集的定義,即可求解;(2)得,結(jié)合數(shù)軸,確定集合端點(diǎn)位置,即可求解.【詳解】解:(Ⅰ)集合,集合,∴;(Ⅱ)由,且,∴,由題意知,∴,解得,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,考查集合的關(guān)系求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)或【解析】
(1)利用兩直線垂直,斜率之積為-1進(jìn)行求解(2)將三角形的面積問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解【詳解】(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意,直線AB的斜率;因?yàn)?,所以直線PB存在斜率且,即,解得;故點(diǎn)P的坐標(biāo)為;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,P到直線AB的距離為d;由已知,直線AB的方程為;的面積.得,即,解得或;所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】兩直線垂直的斜率關(guān)系為;已知兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),距離公式為;三角形面積問題,??赊D(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.21、(1)證明見解析;(1)【解析】
(1)由平面∥平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,可得,,再由,得到.由平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面,從而有.(2)過作于,根據(jù)題意有平面,過D作于H
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