吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題

吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題命題人：審題人：注意事項(xiàng)：本試卷共3頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若復(fù)數(shù)z滿足，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得，即可求解對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由可得，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為第一象限，故選：A2.已知向量，．若，則（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【詳解】由，知，解得.故選：C.3.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，可得，則且，所以.故選：C.4.如圖，一個(gè)用斜二測(cè)畫法畫出來(lái)的三角形是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原三角形的面積是（）A.a2 B.a2C.a2 D.a2【答案】C【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫法中邊長(zhǎng)的比例關(guān)系求出面積的比.【詳解】∵S△A′B′C′＝a2sin60°＝a2，∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.故選：C.【點(diǎn)睛】斜二測(cè)直觀圖的面積與原圖形的面積比為，原圖形的面積與直觀圖的面積比為.5.在中，為上一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若，則的最小值是（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】先由共線定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)闉樯先我庖稽c(diǎn)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以由共線定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值是12．故選：C6.已知正方體外接球的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計(jì)算正方體棱長(zhǎng)，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，所以，所以.故選：B7.已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.頂角為的等腰三角形C.頂角為的等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可得，即，再由兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，可得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?所以，所以的形狀為頂角為的等腰三角形.故選：B.8.如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)與圓錐底面周長(zhǎng)的關(guān)系可求得小圓半徑和扇形半徑之間的關(guān)系，繼而結(jié)合正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，列式求出底面圓的半徑，繼而求得圓錐的高，即得答案.【詳解】如圖1，過⊙F圓心F作于E，于G，則四邊形為正方形，設(shè)小圓半徑為r，扇形半徑為R，則，小圓周長(zhǎng)為，扇形弧長(zhǎng)為，∵剪下一個(gè)扇形和圓恰好圍成一個(gè)圓錐，，解得，即，，∵正方形鐵皮邊長(zhǎng)為，，，∴；在圖2中，，由勾股定理得，圓錐的高，故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在正方體中，下列結(jié)論正確的有（）A.和所成的角是 B.AC和所成的角是C.和所成的角是 D.和所成的角是【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷；對(duì)BCD，通過平移將異面直線放置于一個(gè)平面內(nèi)，再求出角的大小即可.【詳解】對(duì)A，在正方體中，底面底面，所以，所以和所成的角是，所以A正確；對(duì)B，因?yàn)椋院退傻慕堑扔谂c所成的角，正方體中，與所成角為，即和所成的角是，所以B不正確；對(duì)C，正方體中，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，所以，而，所以和所成的角是，所以C正確；對(duì)D，在正方體中，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，則，所以和所成的角等于與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，則為等邊三角形，所以與所成的角為，所以和所成角是，所以D不正確.故選：AC.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.如果平面平面，直線平面，直線平面，則B.C.平行四邊形是一個(gè)平面D.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A舉出另一種情況即可判斷；對(duì)B，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可判斷；對(duì)C，根據(jù)平面的性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，找到該四面體即可判斷.【詳解】對(duì)A，如果平面平面，直線平面，直線平面，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，平行四邊形不能無(wú)限延展，不是符合平面定義，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，三棱錐是四個(gè)面都是直角三角形的四面體，理由如下：因?yàn)槠矫妫矫?，則，同理可得，結(jié)合，則該四面體滿足題意，D正確；故選：BD.11.如圖，某圓柱的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則（）A.多面體的體積為 B.平面平面C.直線與直線所成的角為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，將多面體分割成兩部分，分別求其體積即得；對(duì)于B，利用線線平行證明線面平行，再由線面平行證明面面平行；對(duì)于C，通過平移將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成兩直線的夾角解三角形即得；對(duì)于D，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求得.【詳解】對(duì)于A，依題意可得點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離都為2，則，故A正確；對(duì)于B，易知，平面，平面，所以平面．因?yàn)?，平面，平面，所以平面．又，，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，由，得即為直線與直線所成的角．由題意得，，，所以，即,從而直線與直線所成的角不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，依題意可得，．又,所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．連接．因?yàn)?，所以，解得，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共3個(gè)小題，每題5分，共15分）12.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為______．【答案】【解析】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.13.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和純虛數(shù)的概念得到方程，解出值，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可.【詳解】，則，解得.則，，故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為正方形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），E、F分別是棱、棱的中點(diǎn)．若平面BEF，則AP的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】作輔助線，證明平面平面，說(shuō)明線段AM即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，由此求得AM的長(zhǎng)，即可求得答案．【詳解】解：如圖所示：連接，則，又平面，平面，故平面，設(shè)為BC的中點(diǎn)，連接，由于F分別是棱的中點(diǎn)，故，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又平面，故平面平面，由于平面BEF，故平面，又因?yàn)镻為正方形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且平面平面，故AM即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，而，故AP的取值范圍是．故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.其中15題滿分13分，16，17題滿分15分，18，19題滿分17分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，三棱柱內(nèi)接于一個(gè)圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長(zhǎng)相等．（1）求圓柱的表面積；（2）求三棱柱的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱體積和表面積公式直接計(jì)算；（2）根據(jù)三棱柱體積公式以及正弦定理進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)底面圓的直徑為，由題可知,圓柱體積，解得，即圓柱底面半徑為1，則圓柱的表面積為.【小問2詳解】因?yàn)闉檎切?，底面圓的半徑為1，由正弦定理，邊長(zhǎng)，所以三棱柱的體積16.由直四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，O為AC與BD的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)平面與底面ABCD的交線為l，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，結(jié)合四棱柱的幾何性質(zhì)，由線線平行證明即可；（2）由線線平行證平面，結(jié)合平面即可證平面平面；（3）由線面平行證線線平行即可．【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，是四棱柱，平行且等于，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平行且等于，平行且等于，平行且等于，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，由（1）得平面且，、平面，平面平面；【小問3詳解】由（2）得平面，又平面，平面平面，．17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式并利用，可得，再由余弦定理即可求得,由三角形的面積公式可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故?【小問2詳解】由題意可知，即，化簡(jiǎn)可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.18.如圖，已知等腰梯形ABCD中（圖1），是BC的中點(diǎn)，，將沿著AE翻折（圖2），使得直線AB與CD不在同一個(gè)平面，得到四棱錐（1）求直線與所成的角的大?。唬?）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊前后的圖形幾何性質(zhì)以及異面直線夾角的求法即可得到答案；（2）平面公理與線面平行性質(zhì)定理可得為中點(diǎn)，從而可得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則，則，則直線與所成的角的大小為.【小問2詳解】存在，理由如下：假設(shè)線段上是存在點(diǎn)，使得平面，過點(diǎn)作交于，連接，，如下圖，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，綜上，四邊形為平行四邊形，故，所以為中點(diǎn)，故在線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．19.“倫敦眼”坐落在英國(guó)倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天輪，又稱“千禧之輪”，該摩天輪的半徑為6（單位：），游客在乘坐艙P(yáng)升到上半空鳥瞰倫敦建筑，倫敦眼與建筑之間的距離為12（單位：），游客在乘坐艙P(yáng)看建筑的視角為.（1）當(dāng)游客在乘坐艙P(yáng)與倫敦眼M在同一水平面看建筑的視角為時(shí)，拍攝效果最好.若此時(shí)測(cè)得建筑物的高度為（單位），求視線的長(zhǎng)度.（2）當(dāng)乘坐艙P(yáng)在倫敦眼的最高點(diǎn)D時(shí)，視角，求建筑的高度；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，易知點(diǎn)應(yīng)在軸線的右側(cè)與等高的位