上海市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

上海市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么下列互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少1名男生”與“全是女生”B．“至少1名男生”與“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”與“全是男生”D．“恰好有1名男生”與“恰好2名女生”2．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，則角（）A． B． C． D．3．如圖，在正四棱錐中，，側(cè)面積為，則它的體積為（）A．4 B．8 C． D．4．已知，且，，則（）A． B． C． D．5．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則()A． B． C．18 D．206．設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,則()A．,,成等差數(shù)列 B．,,成等比數(shù)列C．,,成等差數(shù)列 D．,,成等比數(shù)列7．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40348．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．249．的值等于()A． B． C． D．10．化簡(jiǎn)=（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則與的夾角等于___________.12．某學(xué)校高一年級(jí)舉行選課培訓(xùn)活動(dòng)，共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人．學(xué)校按學(xué)生、家長(zhǎng)、老師分層抽樣，從中抽取64人，進(jìn)行某問(wèn)卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)有___人13．已知，均為銳角，，，則______.14．若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行，那么a的值等于_____．15．已知函數(shù)，若，則__________．16．執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的是，則輸出的值是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的方程是（，）．（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線(xiàn)圍成的區(qū)域的面積；（2）若直線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于軸上方的兩點(diǎn)，，且，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值．19．某快餐連鎖店招聘外賣(mài)騎手，該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案：方案(1)規(guī)定每日底薪50元，快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元；方案(2)規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務(wù)的前44單沒(méi)有提成，從第45單開(kāi)始，每完成一單提成5元．該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖。(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；(2)若騎手甲、乙選擇了日工資方案(1)，丙、丁選擇了日工資方案(2)．現(xiàn)從上述4名騎手中隨機(jī)選取2人，求至少有1名騎手選擇方案(1)的概率；20．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類(lèi)健身器材，硬化造價(jià)為100元/.設(shè)矩形的長(zhǎng)為.（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長(zhǎng)度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).21．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足（，），且，.（1）求和的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

從3名男生和2名女生中任選2名學(xué)生的所有結(jié)果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．選項(xiàng)A中的兩個(gè)事件為對(duì)立事件，故不正確；選項(xiàng)B中的兩個(gè)事件不是互斥事件，故不正確；選項(xiàng)C中的兩個(gè)事件不是互斥事件，故不正確；選項(xiàng)D中的兩個(gè)事件為互斥但不對(duì)立事件，故正確．選D．2、B【解析】

根據(jù)正弦定理，可得，進(jìn)而可求，再利用余弦定理，即可得結(jié)果．【詳解】，∴由正弦定理，可得3b=5a，，，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.3、A【解析】

連交于，連，根據(jù)正四棱錐的定義可得平面，取中點(diǎn)，連，則由側(cè)面積和底面邊長(zhǎng)，求出側(cè)面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【詳解】連交于，連，取中點(diǎn)，連因?yàn)檎睦忮F，則平面，，側(cè)面積，在中，，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正四棱錐結(jié)構(gòu)特征、體積和表面積，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以．所以．故選：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.5、A【解析】

首先根據(jù)題意得到：是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以是以首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，熟練掌握等差數(shù)列的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】

先說(shuō)明不符合題意，由時(shí)，成等差數(shù)列，算得，然后用表示出來(lái)，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，不滿(mǎn)足成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以，，，則成等差數(shù)列.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，計(jì)算出等比數(shù)列的公比是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得則，，得解.【詳解】解：由是等差數(shù)列，又，所以，又首項(xiàng)，，則，，則，，即使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬中檔題.8、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.9、A【解析】=,選A.10、D【解析】

根據(jù)向量的加法與減法的運(yùn)算法則，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得=++==，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法與減法的運(yùn)算法則，其中解答中熟記向量的加法與減法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用再結(jié)合已知條件即可求解【詳解】由，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角計(jì)算公式，在考題中應(yīng)用廣泛，屬于中檔題12、16【解析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計(jì)算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人，通過(guò)分層抽樣從中抽取64人，進(jìn)行某問(wèn)卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)人數(shù)為人．故答案為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

先求出，，再由，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意，可知，則，又，則，或者，因?yàn)闉殇J角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.14、；【解析】由題意得，驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，所以15、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗?，所以，所以，，所以，故填：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.16、24【解析】

試題分析：根據(jù)框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，依次；；；．跳出循環(huán)輸出．考點(diǎn)：算法程序框圖．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由，轉(zhuǎn)化為，利用弦化切的思想得出的值，從而求出的值；（2）由，轉(zhuǎn)化為，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算律和輔助角公式與函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求出在區(qū)間的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴；（2）易知，，∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，取得最大值：，又恒成立，即，故．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的最值，在求解含參函數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，可以利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，考查計(jì)算能力，屬于中等題．18、(1)4；(2)．【解析】

（1）當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程是，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行討論，得到四條直線(xiàn)圍成一個(gè)菱形，并求出面積為4；（2）對(duì)進(jìn)行討論，化簡(jiǎn)曲線(xiàn)方程，并與直線(xiàn)方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出，從而求得.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，曲線(xiàn)圍成的區(qū)域?yàn)榱庑危涿娣e為；（2）當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線(xiàn)可得，當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線(xiàn)可得，由可得，即有，化為，點(diǎn)到直線(xiàn)距離，由題意可得，，，即，可得，，可得當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離取得最小值．【點(diǎn)睛】解析幾何的思想方法是坐標(biāo)法，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，本題對(duì)運(yùn)算能力的要求是比較高的.19、（1）0.4（2）【解析】

（1）從頻率分布直方圖中計(jì)算出前四組矩形面積之和，即為所求概率；（2）列舉出全部的基本事件，并確定出基本事件的總數(shù)，然后從中找出事件“至少有名騎手選擇方案（1）”所包含的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出結(jié)果。【詳解】（1）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單”依題意，連鎖店的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單的頻率分別為：因?yàn)樗怨烙?jì)為；（2）設(shè)事件為“從四名騎手中隨機(jī)選取2人，至少有1名騎手選擇方案（1）”從四名新聘騎手中隨機(jī)選取2名騎手，有6種情況，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}其中至少有1名騎手選擇方案（）的情況為{甲，乙}，{甲，丙},，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率的計(jì)算，在頻率分布直方圖的問(wèn)題中要注意：（1）每組矩形的面積等于該組數(shù)據(jù)的頻率；（2）所有矩形的面積之和為。20、（1），（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低為元【解析】

（1）根據(jù)題意得矩形的長(zhǎng)為，則矩形的寬為，中間區(qū)域的長(zhǎng)為，寬為列出函數(shù)即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式即可．【詳解】（1）由矩形的長(zhǎng)為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長(zhǎng)為，寬為，則定義域?yàn)閯t整理得，（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即所以當(dāng)時(shí)，總