高考數(shù)學大一輪復習 核心素養(yǎng)提升練三十九 8.4 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學試題

核心素養(yǎng)提升練三十九直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a.索的因應是 ()A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0【解析】選C.要證<a,只需證b2-ac<3a2,只需證b2-a(-b-a)<3a2,只需證2a2-ab-b2>0,只需證(2a+b)(a-b)>0,只需證(a-c)(a-b)>0.2.設a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小關系是 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】選B.由已知,a=,b=,c=,因為+>+>2,所以b<c<a.3.若1<x<10,下面不等式中正確的是 ()A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2【解析】選D.因為1<x<10,所以x2>x,0<lgx<1,lg(lgx)<0,lgx2>lgx>(lgx)2,lgx2>(lgx)2>lg(lgx).4.用反證法證明命題“設a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是 ()A.方程x3+ax+b=0沒有實根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根【解析】選A.依據(jù)反證法的要求,即至少有一個的反面是一個也沒有,直接寫出命題的否定.方程x3+ax+b=0至少有一個實根的反面是方程x3+ax+b=0沒有實根.5.已知直線l,m,平面α,β,且l⊥α,m?β,給出下列四個命題:①若α∥β,則l⊥m;②若l⊥m,則α∥β;③若α⊥β,則l⊥m;④若l∥m,則α⊥β.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.若l⊥α,m?β,α∥β,則l⊥β,所以l⊥m,①正確;若l⊥α,m?β,l⊥m,α與β可能相交,②不正確;若l⊥α,m?β,α⊥β,l與m可能平行或異面,③不正確;若l⊥α,m?β,l∥m,則m⊥α,所以α⊥β,④正確.二、填空題(每小題5分,共15分)6.等式“=”的證明過程:“等式兩邊同時乘以得,左邊=·===1,右邊=1,左邊=右邊,所以原不等式成立”,應用了________的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)

【解析】由綜合法的特點可知,此題的證明用的是綜合法.答案:綜合法7.設n∈N*,則-______

-(填“>”“<”或“=”).【解析】要比較-與-的大小,即判斷(-)-(-)=(+)-(+)的符號,因為(+)2-(+)2=2[-]=2(-)<0,所以-<-.答案:<8.用反證法證明“若函數(shù)f(x)=x2+px+q,則|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于”時,假設內容是________.

【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于三、解答題9.(10分)求證:1-+-+…+-=++…+(n∈N*). 【證明】①當n=1時,左邊=1-=,右邊=,所以等式成立.②假設n=k(k∈N*)時,1-+-+…+-=++…+成立.那么當n=k+1時,1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++=++…++,所以n=k+1時,等式也成立.綜上,對于任意n∈N*,等式都成立.【變式備選】1.求證拋物線y2=2px(p>0),以過焦點的弦為直徑的圓必與x=-相切. 【證明】如圖,作AA′、BB′垂直于準線,取AB的中點M,作MM′垂直于準線.要證明以AB為直徑的圓與準線相切,只需證|MM′|=|AB|,由拋物線的定義:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,所以|AB|=|AA′|+|BB′|,所以只需證|MM′|=(|AA′|+|BB′|)由梯形的中位線定理知上式是成立的.所以,以過焦點的弦為直徑的圓必與x=-相切.2.已知數(shù)列,,,…,,計算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明.【解析】S1==,S2=+=,S3=+=,S4=+=.可以看出,上面表示四個結果的分數(shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1.于是猜想Sn=,下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.①當n=1時,左邊=S1=,右邊===,猜想成立.②假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即+++…+=,當n=k+1時,+++…++=+===,所以,當n=k+1時猜想也成立.由①②知,猜想對任意n∈N*都成立.(15分鐘30分)1.(5分)證明命題“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函數(shù)”,一個同學給出的證法如下:因為f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-,又因為x>0,所以ex>1,0<<1,所以ex->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).他使用的證明方法是 ()A.綜合法 B.分析法C.反證法 D.以上都不是【解析】選A.該證明方法符合綜合法的定義,應為綜合法.2.(5分)若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,則下列不等式成立的是 ()A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤【解析】選B.因為a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,將三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c2≥1,又因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.3.(5分)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,則△ABC一定是 ()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選C.由sinAsinB<cosAcosB得cos(A+B)=-cosC>0,所以cosC<0,即△ABC一定是鈍角三角形.4.(15分)設a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列. (1)證明:,,,依次構成等比數(shù)列.(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次構成等比數(shù)列.并說明理由.【解析】(1)由已知,==2d是常數(shù)(n=1,2,3),所以,,,依次構成等比數(shù)列.(2)令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假設存在a1,d,使得a1,,,依次構成等比數(shù)列,則=a1,且=,即a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,則1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-<t<1,t≠0),化簡得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.將t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,則t=-.顯然t=-不是上面方程的解,矛盾,假設不成立,所以不存在a1,d,使得a1,,,依次構成等比數(shù)列.【一題多解】(2)假設存在a1,d,使得a1,,,依次構成等比數(shù)列,則a1>0,a1+3d>0,=a1,且=,所以=a1,①且=,即=(a1+d),②聯(lián)立①②,得=a1(a1+d),即=a1,化簡得d3-6a1d2-3d=0,即d(d2-6a1d-3)=0,所以d=0(舍),d=(3±2)a1,但d=(3±2)a1不是①②的解,所以不存在a1,d,使得a1,,,依次構成等比數(shù)列.【變式備選】已知a>0,函數(shù)f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),設x1>0.記曲線y=f(x)在