《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

第一課時(shí)余弦定理

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向

量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)余弦定理及利用余弦定理的應(yīng)用。

本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出

了一個(gè)考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般

三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理

以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所

對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方

那么第三邊所對的角是銳角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”，還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注

意余弦定理的各種變形式并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)

到求解，求證目的啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量

知識的同時(shí)注意使學(xué)生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；1.數(shù)學(xué)抽象：余弦定理的推導(dǎo)過程；

B.掌握余弦定理公式的變式，會靈活應(yīng)用余弦定理解2.邏輯推理：余弦定理的證明；

決兩類解三角形問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理解三角形；

C.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；4.直觀想象：數(shù)形結(jié)合法；

D.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形

的思路。

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

1.向量的減法：通過復(fù)習(xí)所學(xué)知識，

建立知識間的聯(lián)系，

寧提高學(xué)生概括、類比

推理的能力。

【答案】OA-OB=BA.相同起點(diǎn)，尾尾相連，指向被減向量。

2.向量的數(shù)量積

【答案】a-b=]a\\b\cos0

3.證明三角形全等的方法有哪些？

【答案】ASA,AAS,SAS,SSS?

二、探索新知

通過探究，由向量證

探究1.在三角形4式1中，三個(gè)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,怎

明余弦定理，提高學(xué)

樣用a,3和。表示c?

—?—>—>—>—>—>—>—>—>生分析問題、概括能

【解析】如圖，設(shè)CB=a,C4=0,AB=c，那么c=a-0,

力。

IT2ff(Tf、(T—ffffff

c=c-c=a-b-a-b\=a-a+h-b-2a-b

=a2+〃-2abcosC

所以c?=a2+b2-2abcosCo

同理可證：

a2=h2+c2-2hccosA

h2=a2+c2-2accosB

余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩

邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a1=〃+/-2bccosA

-2QCCOS3

通過思考，推導(dǎo)余弦

c2=a2+b2-2abcosC

定理的推論，提高學(xué)

應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊.

生解決問題的能力。

思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)

用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，

怎么確定呢？

力222

由余弦定理變形得cosA=--------------

2bc

222

Da+c-b

cosB=-----------

lac

222

廠a+h-c

cosC=-----------

lab

應(yīng)用：已知三條邊求角度。

思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則

指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理通過思考與探究，進(jìn)

之間的關(guān)系嗎？一步推導(dǎo)余弦定理的

【解析】a2=b2+c2-2bccosA,a2=b'+c2變形結(jié)論，提高學(xué)生

的觀察、概括能力。

探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有,2=/+》2,當(dāng)角c為銳角時(shí)，這三者的

關(guān)系是什么？鈍角呢？

【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，cr+b2>c\

當(dāng)角C為鈍角時(shí)，a2+b2<c2,

當(dāng)角C為直角時(shí)，cr+b2=c2.

一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的

元素，已知三角形的兒個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。

例1.在AA8C中，已知b=60cm,c=34cm,A=41",解這個(gè)三角形（角

度精準(zhǔn)到1°,邊長精確到1cm.）

解：由余弦定理，得

a2=b2+c2-2/JCCOSA=602+342-2x60x34xcos41°

通過例題的講解，讓

?1676.78

學(xué)生進(jìn)一步理解余弦

所以。之41,

定理，提高學(xué)生解決

由余弦定理的推論，得

與分析問題的能力。

+c"—b~34~+41~—60-763工“山」2加口一za

cos8=---------------=--------------------=----------,利用計(jì)算器，可r得

2ac2x34x412788

所以，。=180°-（4+3）。180°-（41°+106°）=33°

例2.在A48C中，已知a=7,b=8,銳角C滿足sinC=e叵，求B。（精

14

準(zhǔn)到1°）

解：因?yàn)閟inCn筆，且C為銳角.

所以cosC=/l-sin?C=J1—（專書=日.

由余弦定理.得

〃=小+小一勿6cosC=49+64-2X7X8X-=9t

14

所以c=3.

進(jìn)而cosBn/f理&七64=」

2ca2X3X77,

利用計(jì)算器.可得

B*98'.

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.在中，a=7,b=4小,c=y/13,則△/眩的最小角為（）

JIHJIJI

A-TB-TC-TD.正

【答案】B通過練習(xí)鞏固本節(jié)所

【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角。為的最小角，則cosC=學(xué)知識，通過學(xué)生解

a+lj-c72+（4也）2—（，15）"理it將冼R決問題的能力，感悟

2ab-2X7X4m一2,所以，-6'故選仄

其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思

2.在中，已知3=4+/+/^,則角1等于（）

想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用

A.60°B.45°C.120°D.30°

意識。

【答案】C

l）-\~c—a1

【解析】由cosA—,..A—120.故選C。

9Lbcz

3.在△力比中，若d=2AosC,則的形狀為_______.

【答案】等腰三角形

才+4一c2a+/f—c

【解析】-a-26cosC=2b?°/=，

2aba

:.M=M+U—d,BPl}=c,b=c,

???△/!歐為等腰三角形.

4.在△4?C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知6=C2b=4

a,則cosA=_______.

【答案】g

【解析】由8=12^=小a

可得

32_J_322

而g1——+L1

所以cose2bc-J3Vj-3-

2乂七aX寄a

5.在△四。中，已知a=5,6=3,角。的余弦值是方程59+7x—6=0

的根，求第三邊。的長.

【解析】5X2+7*—6=0可化為(5x—3)?(x+2)=0,

3

，小=￡,在=一2(舍去)，

5

/.cos

5

根據(jù)余弦定理.，

c=a-\-l}—2abcosC

3

=52+32-2X5X3X-=16,

5

??.c=4,即第三邊長為4.

四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

1.余弦定理及其推論；一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)

2.利用余弦定理的解三角形。

容，提高概括能力，提

五、作業(yè)

高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能

習(xí)題6.46(1)(2)題

力和邏輯推理能力。

【教學(xué)反思】

本課中,教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境,通過學(xué)生自主探索、合作交流,親身經(jīng)歷了提出問題

解決問題、應(yīng)用反思的過程,學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造

的苦和樂,知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí),為今后的定理教學(xué)提供了一

些有用的借鑒。

創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是“情境問題反思應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、

知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較,選擇具有較好

的教育功能的情境。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案

第1課時(shí)余弦定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；

2.掌握余弦定理公式的變式，會靈活應(yīng)用余弦定理解決兩類解三角形問題；

3.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；

4.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形

的思路。

【知識梳理】

余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于_____減去這兩邊與它們一

文字表述

____________的兩倍

a=___________________,

公式表達(dá)爐=_____________________,

C=______________________￡_

cosA=________________；

變形cosB=__________________；

cosC=__________________o

【學(xué)習(xí)過程】

一、探索新知

探究1.在三角形4%中，三個(gè)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,怎樣用a,6和C

表示c?

余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的

余弦的積的兩倍，即_________________________________

應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊.

思考1:余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理,

我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？

思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形

的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？

探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有。2=/+〃，當(dāng)角c為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？

鈍角呢？

一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素，已知三角

形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。

例1.在A4BC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解這個(gè)三角形（角度精準(zhǔn)到1°,

邊長精確到1cm.）

例2.在A4BC中，已知軍7,左8,銳角C滿足sinC=±8,求B。（精準(zhǔn)到1°）

14

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.在△4?。中，a=7,b=4小,c=y[13,則△/回的最小角為（）

nnnn

A?彳B-TCTD.瓦

2.在△力a'中，已知a2=4+c2+bc,則角1等于（）

A.60°B.45°C.120°D.30°

3.在△?1%中，若a=2Z）cosC,則△/比1的形狀為

4.在△4式■中，內(nèi)角力,B,。的對邊分別為a,b,c,已知人"2A=/a,則cosA

5.在△力玄中，已知a=5,6=3,角C的余弦值是方程5f+7x—6=0的根，求第三

邊。的長.

參考答案：

探究1.如圖，設(shè)&=[a=Z,Z5=W,那么建

IT2->—>7、（->—>、ff->f->f

c=c?c=a-b-a-b-a-a+h-b-2a-b

-cr+b2-2abeosC

所以c?=。2+心—2abcosC0

同理可證：

a2=h2+c2-2hccosA

h2=a2+c2-2accosB

余弦定理：

a2-b14-c2-2bccosA

b2=a24-c2-2accosB

c2=a2+〃-2ahcosC

1222

思考1.由余弦定理變形得cosA=+J一仆

2bc

?24-C2-/72

cosB=

2ac

a2+b2-c2

cosC=

lab

思考2.a2=b2+c2-2bccosA,a2=b2+c2

探究2.【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，a2+b2>c\

當(dāng)角C為鈍角時(shí)，/+"</；

當(dāng)角C為直角時(shí)，a2+b2=c2

例1.解：由余弦定理，得

2=b2+c2-2&ccosA=602+342-2x60*34xcos41°

1676.78

所以,

由余弦定理的推論，得

35一2+,2-=4+412一行當(dāng)~,利用計(jì)算器，可得8a106°

2ac2x34x412788

所以，。=180°-(4+3)=180°-(41°+106°)=33°

例2.

解：因?yàn)閟inC=49,且C為銳角,

14

所以cosC=>/1—sin:C=第

由余弦定理，得

d=a'+Z>，-2a6rosC=49+64-2X7X8X^=9,

14

所以c=3.

一+M-l9+49—641

進(jìn)而cosBk-2ca-=2X3X7=-7,

利用計(jì)算器，可得

8、98°.

達(dá)標(biāo)檢測

1.【答案】B

a2+Z>2~~

【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角，為△/比1的最小角，則cosC=-2ab-

如一

7-1+(4,所以，蘭，故選民

2X7X4V3—2

2.【答案】C

_21

【解析】由3公."=⑵。.故選配

3.【答案】等腰三角形

【解析】Va=2Z?cosC=2b?

2aba

*.a=a+t)-cf即。2=占b=c,

...△Aft7為等腰三角形.

4.【答案】|

【解析】由8=C2Z?=，5a,

可得。=。=乎輸

302i3022

皿―4a+4a-a1

所以cos力=2bc=爽爽F(xiàn)

2X2aX2a

5.【解析】5/+7x—6=0可化為(5x—3)?(x+2)=0,

3

.??小=三，生=—2(舍去)，

0

/.cosC=7.

□

根據(jù)余弦定理，

c=cfI）—2abcosC

3

=52+32-2X5X3XT=16,

5

???c=4,即第三邊長為三

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)

第一課時(shí)余弦定理

一、選擇題

1.在△,潁窗中，已知筋=郊嫉，怔=*，盍=：!哪，則a等于（）

A.普而B.6C.窯質(zhì)或6D.氧屈而后

整

2.△,施修的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知滿=心,箱=既，感酩＞總=一，

3

則愚=（）

A.慮B.萬C.2D.3

3.在△地初中，若彝=胃怎=蜀.麻郵好=聯(lián)，則最大角的余弦值是（）

A.:1B.C.--D.

飛

4.已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是()

A.8c水10B.2石VaV而

C.2/<a<10D-Ji<a<8

5.(多選題)在△zL8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

岫“北爐-三激他酶4=并濫;,則角端的值為(

A,巴B,受或場c.

展幅

6.(多選題)設(shè)A.1BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

〃=2,。=26,<：0524=^^,且1)<。，則(

)

2

A.b=2B./,=2>/2C.8=60"D.B=3O°

二、填空題

7.已知AABC中，3a2—2。匕+3/—3。2=0，則cosC=

8.在AA6C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/=〃+/7c+c?,則4=

9.已知a,b,c為回的三邊，Q120°,則才+c2+ac—4=.

10.設(shè)△,施修的內(nèi)角懸斶，鰥的對邊分別為礴瑪芹.若娥樸小=濯開展;，且

蹣蘸？=鳴”則

A=,△,施S窗是—三角形.

三、解答題

7

11.設(shè)AABC的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為仇c,且域不%=演盛=既，cos8=3.

(I)求a,c的值；

(II)求sin(A-B)的值.

12.在△ABC中，BC=a,AC=b,已知“，》是方程/一2氐+2=0的兩個(gè)

根，且2cos（A+8）=1.

（1）求角C的大小;

（2）求A3的長.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析

第一課時(shí)余弦定理

一、選擇題

1.在△,本密中，已知曲=現(xiàn)有，*,J.=WS,則a等于（）

A.等而B.6C.既而或6D.氧癡祗后

【答案】A

【解析】初志

由余弦定理得睛=5/妊/一禁檢蝌或=48￥12-2XX駕曲X（一荔）=84,所以謝=

篝

察商?故選A.

獸

2.△施S窗的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知滿=透，彩=%，蹦圈4=一，

曹

則愚=（）

A.&B.垂C.2D.3

【答案】D

?Qjr

【解析】由余弦定理，得受=,蛭普現(xiàn)—窩搬落翦寓f,解得&=筆（B=—舍去）.故選

冬3

D.

11軟

3.在△感糊中，若典=*自=鼠&解辟=罄，則最大角的余弦值是（）

【答案】c

【解析】

由余弦定理得蹈?公=巴竺士=迎，解得您=獸，可知角感最大,

寓就兜B：楞14

則—婷叱一婷=3故選C.

4.已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是（）

A.8<a<10B.2厘<"腐

C.2石<a<10D.覆<a<8

【答案】B

【解析】

即

3>嫡>2#；當(dāng)a=3時(shí)符合題意，綜上2/<@<腐，故選B.

5.（多選題）在△W3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

窗"*-&號他遜?殿=假圈，則角廨的值為（）

//嗤7-

【答案】CD

【解析】

因?yàn)椋╠+二—b*）tan3=,所以2accosStan3=J8ac，即sin3=、^,所

以強(qiáng)=學(xué)或腐=.，故選CD.

獸獸

6.（多選題）設(shè)△zLSC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

a=2,c=2A/^,COSA=且b<c,則（）

2

A.b=2B.b=2MC.B=60°D.8=30°

【答案】AD

【解析】由余弦定理得4=〃+12-6b=>〃一6Z?+8=0，由b〈c得b=2,由a=2,

cosA=--->所以8=A=30,，故選AD。

2

二、填空題

7.已知AABC中，3a2-2ab+3b2-3c2=0>則cosC=_

【答案】2

3

【解析】

8.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若〃=尸+秘+。2,則4=

【答案】12