【高考數(shù)學】06 分類討論思想-解題模板-高中數(shù)學解題模板

分類討論的數(shù)學思想

【考點綜述】

分類討論是高中數(shù)學的一種重要思想方法，分類討論的過程是一個邏輯推理的過

程：化整為零，各個擊破，再積零為整這也是從一般到特殊、再從特殊到般的過

程，能培養(yǎng)學生思維的條理性和嚴密性.

邏輯推理是高中數(shù)學的六大核心素養(yǎng)之一，指的是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)

則推出其他命題的素養(yǎng).它主要包括兩類：從特殊到一般的推理，推理形式主要有

歸納、類比；從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.分類討論是指在解決一

個問題時，若無法用同一種方法解決，則可以根據(jù)不同情況把問題分類，轉(zhuǎn)化成若

干個小問題，再將這些小問題逐一解決，從而使原問題獲得解決.

【解題方法思維導圖預覽】

實際應(yīng)用問題模板一

分類討論的數(shù)學思想分段函數(shù)中的分類討論

實際應(yīng)用問題模板二

含參型分類討論

實際應(yīng)用問題模板三

按性質(zhì)型分類討論

實際應(yīng)用問題模板四

不確定型分類討論

【解題方法】

解題方法模板：所給的問題比較復雜，需要按照一定的標準進行分類討論

使用情景：較復雜的數(shù)學問題

解題模板：

i

第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；

第二步逐類進行討論，得出各類結(jié)果

第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.

實際應(yīng)用問題模板一：分段函數(shù)中的分類討論思想

使用情景：分段函數(shù)分類討論

解題模板：

Inx,x>0

例1已知函數(shù)小)=〃丫C八若"/wwo,則實數(shù)。的取值范圍為

——2,x<0

[-log3,0]u-,e

2e

解題模板選擇：

本題中所給的是一個由分段函數(shù)解不等式的問題，故選取實際應(yīng)用問題模板一分段

函數(shù)中的分類討論思想進行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；

題目中的函數(shù)為分段函數(shù)，需要對自變量按照函數(shù)的解析式分類討論：

第二步逐類進行討論，得出各類結(jié)果

令/(x)<0,即Jx〉o或「21,

%[x<0

解得0<xWl或-IWXWO,

/(/(?))<0,0</(a)<l^-l</(?)<0,

0<In<1-l<lna<0-1<2<0

或，c或,

。>0Q>0

a<0

解得-log,34。WO或LWe,

e

第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.

故不等式的解集為：[Tog23,0]u-,e

e

2

【典型例題】

logo>0

工.設(shè)函數(shù)1吊=log；(_x),x<0若/(。)>/(-。)，則實數(shù)。的取值范圍是

2

()

A.(-l,0)U(0,l)

B.(^o,-l)u(l,-fw)

C(-L0)D(12)

P.S，-1)。(0,1)

【答案】c

【解析】

【分析】由于。的范圍不確定，故應(yīng)分。>0和“<0兩種情況求解.

【詳解】當a>0時，，-a<0,

由/(?)>/(-?)得log2a>logla,

2

所以2k)g2a>0,可得：a>\,

當a<0時，一a>0,

由/(a)>/(-?)得呵(一°)>log?(一。),

2

所以210g2(-a)<0,即()<—a<l,即一1<。<0,

綜上可知：-4<a<0或a>l.

故選：C

【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解不等式的關(guān)鍵是對。的范圍討論，分情況

解，屬于中檔題.

|x+2|-1,xW0/、

2.已知函數(shù)/(%)=1八,若/⑷<1,則實數(shù)。的取值范圍是

log2x,x>0

()

3

A.(-oo-4]|J[2,+oo)8.[-1,2]

61.[-4,0)U(0,2]P.[-4,2]

【答案】P

【解析】

【分析】

分?！?兩種情況進行討論，結(jié)合絕對值不等式的求解以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即

可求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：當時，/(a)=|a+2|-lWl,解得TWaWO；

當a>0時，/(a)=log2a<1=log22,解得0<aW2；

綜上所述，aw[T2].

故選:D

【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解，考查了對數(shù)不等式的求解，考查了分類

的思想.

3.已知aeR,設(shè)函數(shù)/(x)=/a，'若關(guān)于x的不等式/(x)..O在

x—amx,x>1,

R上恒成立，則。的取值范圍為

A.[0,1]8.[0,2]C.[0,e]P.[l,e]

【答案】C

【解析】

【分析】

先判斷時，/一2^+2。20在(—』]上恒成立；若x-alnxNO在(1,”)上恒

X

成立，轉(zhuǎn)化為。4丁匚在(1,+8)上恒成立.

Inx

【詳解】V/(0)>0,即aNO,

(1)當0<aKl時，

/(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-cr>2a-cr-a(2一a)>0,

4

當。>1時，/(1)=1>0,

故當。20時，d一2奴+2a20在(一℃』］上恒成立；

X

若X—alnxNO在(1,+8)上恒成立，即。工一在(L+W)上恒成立，

Inx

人x,lnx-1

令g(x)="j—，則g(x)=7―衣，

Inx(Inx)

當％>e，函數(shù)單增，當0<x<e,函數(shù)單減，

故g(x)*=g(e)=e，所以a?e.當時，f一2以+2。20在(―J上恒成

立；

綜上可知，”的取值范圍是［0,0，

故選C.

【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，

進行綜合分析.

_￡x<-i

4.已知函數(shù)/(x)=Jx在(y>,2)上為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

(3—2Q)X+2,x>—1

圍是(）

A.(。，|_■3)

B.c.D.

H：L乙)Ki

【答案】C

【解析】

a<7>0

——，x<—\

【分析】若函數(shù)/(力=VX是/?上的增函數(shù)，則<3-2a>0,

（3-2Q）X+2,x>-\a<2a-3+2

解得答案.

a.

——，x<-\

【詳解】口函數(shù)〃x)hX是/?上的增函數(shù)，，

（3-2Q）X+2,x>-\

5

a>0

□<3—2Q>0,

ciW2?！?+2

解得㈤L])，

故選：C

【點睛】本題考查的知識點是分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，首先保證每一段單增，再保

證分段點處增，屬于中檔題.

X2—2(x>2)

5.設(shè)函數(shù)〃幻=；二，若/(M=7,則實數(shù)〃?的值為()

log,x{x<2)

A.00.1C.-3P.3

【答案】P

【解析】

【分析】對"?討論，分別求出兩段中加的值，注意取舍.

【詳解】當機22時，f(m)=m2-2=7,

解得：加=3或機=-3(舍去)，

當機<2時，f{m}=log2m=1,

解得：〃?=27>2舍去，

綜上可得，實數(shù)〃?的值為：3

故選：P

【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是確定自變量的取值范圍.

實際應(yīng)用問題模板二：含參型分類討論

使用情景：解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論.

例2-A在平面直角坐標系xQy中，已知點A(0,3),B(2,3),及圓C：(x-a)2+

2

(y+1)2=15+幺，若線段A8(包括端點A,B)在圓C的外部，則實數(shù)。的取值

2

范圍是.

(-00,)Uk++00)

解題模板選擇：

本題中考查圓的方程的應(yīng)用，需要對具體的參數(shù)進行分類討論，故選取實際應(yīng)用問

題模板二含參型分類討論進行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；

本題中。為參數(shù)，需要4的值進行分類討論，

第二步逐類進行討論，得出各類結(jié)果

(1)若4=0,符合題意.

(2若a<0,圓心C(a,-1)在第三象限，此時只需要點A在圓C外即可(恒符合

題意).

(3)若圓心C(m-1)在第四象限，而且在線段A8的正下方，此時只

需圓C的半徑r<4,解得O<a<0.

(4)若位2,圓心C(a,-1)在第四象限，此時只需點8在圓C外即可符合題

意，解得6/>4+n.

第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是卜8,也川(4+氏+8).

【名師點睛】分類討論是解決含參問題的常用方法，如能運用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)

思想，便可簡化分類討論，達到迅速、準確的解題效果.

例2-8解不等式(尤-1)(x-k)<0.

答案見解析

解題模板選擇：

本題中考查不等式的解法，需要對具體的參數(shù)進行分類討論，故選取實際應(yīng)用問題

模板二含參型分類討論進行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；

不等式中A為參數(shù)，需要對左進行分類討論.

第二步逐類進行討論，得出各類結(jié)果

7

當k>l時，則不等式的解為l<x<k；

當61時，原不等式變?yōu)?X-I)2<0,不等式無解；

當女<1時，則不等式的解為

第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.

綜上可得：當％>1時，則不等式的解為14<代當上1時，原不等式無解；當上1

時，則不等式的解為上

【名師點睛】這種分類是根據(jù)不等式求解運算的適用范圍分類的.

【典型例題】

6.已知函數(shù)/(x)=/—(a+2)x+4(aeR)

(1)解關(guān)于x的不等式/(x)44-2a；

(2)若對任意的XG[1,4],/(x)+a+120恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(I)答案不唯一，具體見解析.(H)a<4

【解析】

【分析】(I)將原不等式化為(x-加(％-2)?0,分類討論可得不等式的解.

(II)若x=l則aeR；若則參變分離后可得1+工在(1,可恒

X—1

4

成立，利用基本不等式可求X-1+—7的最小值，從而可得。的取值范圍.

x-1

【詳解】(I)/(%)<-2?+4即￡一(a+2)x+2aW(),

(x-a)(x-2)<0,(i)當a<2時,不等式解集為｛x|aW2｝；

(ii)當a=2時，不等式解集為｛x|x=2｝；

(iii)當a>2時，不等式解集為｛x|2"?a｝,

綜上所述，(i)當"2時，不等式解集為｛x[a<x<2｝；

(ii)當a=2時，不等式解集為｛2｝；

(iii)當a>2時，不等式解集為｛x[24x?a｝.

(II)對任意的xe[l，4],/(x)+a+120恒成立，即f-(a+2)x+5+a20恒成

立，即對任意的xe[l,4],a(x-l)Wx2-2x+5恒成立.

8

①x=l時，不等式為0W4恒成立，此時aeR；

v2x+5

②當xe(l,4］時，a<~=x-i+J-,

x-1x-\

4I4

,/1<x<4,*'-0<x-l<3,x-l+---->2.(x-1)-----=4,

x-irx-i

4

當且僅當％-1=―;時，即x—l=2,x=3時取“="，.?“W4.

x-1

綜上aW4.

【點睛】含參數(shù)的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對應(yīng)的二次函數(shù)的開

口方向，再考慮其判別式的符號，其次在判別式于零的條件下比較兩根的大小，最

后根據(jù)不等號的方向和開口方向得到不等式的解.含參數(shù)的不等式的恒成立問題，

優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題，后者可用

函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來求.

7.已知函數(shù)/1(%)=>+m+4.

(1)求函數(shù)在區(qū)間［L2］上的最大值ymas；

⑵當xe［l,2］時，y<0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)當”>一3時，笫皿=8+2加；當加〈一3時，〉,皿=5+根；(2)m<-5.

【解析】

【分析】(1)分它<|和一會|兩種情況，討論函數(shù)的最大值;

/(1)<0

(2)xe［l,2］時，y<0恒成立的等價條件為<，求出不等式組的解可確定

J\^)<u

m的取值范圍.

777

【詳解】⑴函數(shù)y=/+,加+4的圖象開口向上，對稱軸為》=-5，

在區(qū)間［1,2］上的最大值，分兩種情況：

n?3

①-(;n>-3)時，根據(jù)圖象知，當x=2時，函數(shù)取得最大值

,,3=8+2叫

m3

②一,2］(m<-3)時,，當％=1時，函數(shù)取得最大值%皿=5+〃2.

q

所以，當機>一3時，=8+2根；當加〈一3時，笫皿=5+，找.

(2)XG[1,2],y<0恒成立，只需在區(qū)間[L2]上的最大值券四<0即可，所以

/(I)<0[m<-4

1二八，得U,所以實數(shù)機的取值范圍是“<-5?

/(2)<0[和<-5

【點睛】本題主要考查含參數(shù)的二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，分類討論是解決本

題的關(guān)鍵；另外恒成立問題往往通過其等價條件來求解更簡單.

8.已知關(guān)于%的不等式(/+44-5卜2一4(。-1)》+3>0的解集為匕求實數(shù)。的

取值范圍.

【答案】1<?<19

【解析】

【分析】按照兩種情況討論：口當/+4。-5=0時，可得。=1符合；口當/+4a-5

時，根據(jù)圖象的開口方向和判別式列式可解得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況

口當/+4。一5=0時，即。=1或。=一5時,

若。=1,不等式變?yōu)?>0,成立，符合條件;

若。=一5,不等式變?yōu)?4x+3>0,解集為x不符合題意.

口當/+4。-5。0時，不等式為一元二次不等式，要使解集為R，

則對應(yīng)二次函數(shù)的圖象開口只能向上，且A=16(a-1)2-12(a2+4a-5)<0,

即Y+4“一5>0且△=16(4—1)2—12(4+4?！?)<0,

則。<一5或a>l,且。2一20〃+19<0，

所以。<一5或a>l,且1<。<19,

即1<。<19,

綜上，實數(shù)。的取值范圍l《a<19.

【點睛】本題考查了分類討論思想，考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)

1(9

題.

q.已知函數(shù)/(1)=辦2-or-l(aeR).

⑴若對任意實數(shù)x,/*)<0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)解關(guān)于x的不等式/(%)<2x-3.

【答案】⑴-4<a?0;⑵詳見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：(I)對。討論，。>0時不合題意；。=0,合題意；。<0,利用

判別式小于。解不等式，求交集即可得到所求范圍；(2)先將不等式

加-(a+2)x+2<0化為(x-1乂辦-2)<0,再對參數(shù)。的取值范圍進行討論，利

用一元二次不等式的解法分別解不等式即可.

試題解析：(1)當a=0時，/(x)=—1<0恒成立；

當時，要使對任意實數(shù)%,/(x)<0恒成立，需滿足

a<0

<A=(-a)2-4a(-l)<0，

解得-4<a<0,故實數(shù)。的取值范圍為-4<a?0.

(2)由不等式/(x)<2x-3得ax2-(2+a)x+2<0,

即(ar-2)(x-l)<0.

2

方程(辦一2)(工-1)=0的兩根是玉=1,%2=-(?>0).

22

①當avO時，一<0,不等式的解為x<—或

aa

②當a=0時，不等式的解為x>l；

22

③當0<a<2時，1<一不等式的解為l<xv—；

aa

2

④當〃二2時，1=一，不等式無解；

a

22

⑤當。>2時，1>一,不等式的解為一<犬<1

aa

11

2

綜上：①當a<0時，不等式的解為卜|九<，或X>1};

②當a=0時，不等式的解為卜|x>\}；

③當0<。<2時，不等式的解為}；

④當a=2時，，不等式解集為0；

2

⑤當a>2時，不等式的解為卜|一<%<1}

【方法點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.分

類討論思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思

想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運

用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點.充分利用分類

討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應(yīng)

用與解題當中.

.對任意xeR,函數(shù)/(%)=加/+0-4)%+4-2〃2的值恒大于零，求加的取

值范圍.

【答案】不存在這樣的實數(shù)切，使函數(shù)/(x)的值恒大于零.

【解析】

【分析】口當加=0時，函數(shù)/(X)的值不恒大于零，舍去；口當WHO時，根據(jù)一元二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

【詳解】口當加=0時-，函數(shù)/(x)=~4x+4的值不恒大于零，不符合題意，舍去；

口當機wO時，要使得對任意xwR,函數(shù)/(x)的值恒大于零，

5rlJ〃？>0(m>o

人卜四正(形—4？_4〃2(4-2m)<0'即9/n2-24/77+16<0>

此不等式組無解，故m”

綜上知，不存在這樣的實數(shù)加，使函數(shù)/(x)的值恒大于零.

【點睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及一元二次不等式

的求解，著重考查分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12

實際應(yīng)用問題模板三：按性質(zhì)型分類討論

使用情景：結(jié)合數(shù)列或函數(shù)的性質(zhì)需要進行分類討論

解題模板：

例3已知數(shù)歹的前〃項和S“=〃2-l,則％+0,+%+%+。9等于()

A.40B.44C.45D.49

B

解題模板選擇：

本題中數(shù)列的通項公式的確定與〃相關(guān)，需要分類討論〃=1和〃22兩種情況，故

選取實際應(yīng)用問題模板三按性質(zhì)型分類討論進行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；

由前〃項和確定數(shù)列的通項公式需要對〃進行分類討論：

第二步逐類進行討論，得出各類結(jié)果

當〃=1時，ai=O；

22

當論2時，an=S〃-Sn_y=n-(n-V)=2n-l,

而〃=1時,2〃?l=2xl-l=l#0,

[0,n=1

所以.0，

2H—l,n..2

第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.

所以q+%+4++“9=0+5+9+13+17=44,

故選：B.

【典型例題】

2

工工.在數(shù)列｛%｝中，Sn=2n-3n,則通項公式4=.

【答案】4/2-5

【解析】

【分析】首先利用。“=5“-得出〃22時的通項公式，把”=1代入此通項公式檢

驗也滿足，從而得到數(shù)列的通項公式.

13

【詳解】當〃=1時，4=S[=2-3=-1,

當〃22時，卬=S“一S,i=2n2-3?-2（n-l）2+3（7?-l）=4n-5,

〃=1時,上式也成立，口?！?4〃-5,

故答案為：4/1-5.

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，熟練掌握數(shù)列的遞推式

4=5“-S,i是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題?

22.設(shè)數(shù)列｛%｝的前八項和S,滿足S“一S"+|=SjS“+1（〃eN*）,且q=l,則

1,M=1

【答案】?！?

,n>2

n(n-l)

【解析】

【分析】由S,,-S“M=SJS“M，兩本同除以S,jS“M，可構(gòu)造J是等差數(shù)列，由此

可求出aSn=-,再利用%=S“-S,i，即可求得a.

neN*)

【詳解】由S“一S"+|=Sn-S“+|,得-—

是以三=一=1為首相,1為公差的等差數(shù)列,

/.—=1+(〃-1)x1=〃，

1,H=1

,n>2

n(n-l)

14

1,/1=1

故答案為：a“

,n>2

n(n-l)

【點睛】本題主要考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的通項公式，是?？碱}型,

屬于中檔題.

13.已知數(shù)歹久分]?的前〃項和5=/+4+2,則牝+牝+〃5+〃7=.

【答案】34

【解析】

【分析】根據(jù)S“,?！瓣P(guān)系求得為,即可賦值得到結(jié)果.

【詳解】因為S“=〃2+〃+2,

當〃=1時，4=S1=4；

當“22時，=S“_S“_|=〃2+〃+2——iy+(“_l)+2=2?.

又當q=4不滿足上式，

4,〃=1

故可得凡=,

2n,n>2

則q+%+應(yīng)+%=4+6+10+14=34.

故答案為：34.

【點睛】本題考查利用S“求凡，注意分類討論，屬基礎(chǔ)題.

.設(shè)正數(shù)數(shù)列｛%｝的前4項和為S“，數(shù)列｛S“｝的前八項之積為T?,且

S,,+7；=l,則數(shù)列伍“｝的通項公式是.

【解析】

【分析】令〃=1可得q=E=7]=；,利用7；的定義，S“=f(〃N2),可得7“的

15

遞推關(guān)系，從而得」是等差數(shù)列，求出［后可得S,,從而可得見.

【詳解】4=4="，口2q=l,%=；,即，=7；=g,

TT11

Stl=-^(n>2)f口廣+q=1,=1,即｛7；｝是以2為首項，1為公差

n-\n-1nw-1

的等差數(shù)列,

故J=2+〃-1=〃+1,1,=—1，5“=一二，也符合此式，S“=

/〃〃+1/1+12

nn-1_1又4=；,口41

口當2時,an~SbS〃_\

〃+1n