《數(shù)學歸納法的原理》示范公開課教學設計【高中數(shù)學人教A版】

環(huán)節(jié)一數(shù)學歸納法的原理教學設計

問題導入

問題1：已知數(shù)列｛/｝滿足4=1,=」一(〃eN*),計算生,%，4,猜想

2-勺

其通項公式，并證明你的猜想.

答案：已知反映相鄰兩項關系的遞推公式，又已知首項，那么就可以求出該數(shù)列的每

一項.令〃=1,就有。2=-'一，把。1=1代入，可得“，=1.同理，令"=2,就有

4二一1—，把火=1代入，可得%=1?看上去這個數(shù)列的每一項都是1，由此猜想，

2-a2

該數(shù)列的通項公式就是勺=1(〃eN*).

追問1：僅通過前幾項能得出所有的結果嗎？這樣得出的猜想一定正確嗎？

答案：僅通過前幾項不能得出所有的結果，這樣得出的猜想不一定正確.如：17世

紀，法國大數(shù)學家費馬發(fā)現(xiàn)，對于22"+1這個數(shù)，分別驗證”=1,2,3,4,這個數(shù)均為質(zhì)

數(shù)，從而猜測：對于任意的自然數(shù)，這個數(shù)都是質(zhì)數(shù).半個世紀后歐拉舉出了反例：當

”=5時，該數(shù)可以拆成兩個數(shù)的乘積.通過以上反例，可看出從某種意義上說，僅通過前

幾項不能得出所有的結果，這樣得出的猜想未必是正確的.

追問2：該如何證明這個猜想呢？

答案：一般來說，與正整數(shù)"有關的命題，當”比較小時可以逐個驗證.但當"較大

時，驗證起來會很麻煩.尤其是我們這里要證明〃取所有正整數(shù)都成立，這是一個無限的

問題，逐一驗證是不可能的，我們無法用常規(guī)方法嚴格證明.因此，我們很有必要尋求一

種新的方法，這種方法能讓我們通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成

立.

類比遷移

問題2：將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？

答案：可通過動手操作發(fā)現(xiàn)將骨牌保持適當?shù)拈g距，碰倒第一塊骨牌，骨牌都會倒下.

追問1:如果碰倒第一塊骨牌，是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢？

答案：若骨牌間距過大，導致前一塊骨牌無法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都

倒下.因此要讓相鄰兩個骨牌之間保持合適的間距，這個間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌，

前一塊倒下一定能導致后一塊倒下.

追問2：如果保證了前一塊一定能把后一塊推倒，那么它們倒了嗎？

答案：如果第一塊骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不會倒.所以第一塊骨牌倒下，給

所有骨牌倒下提供了基礎，這個條件必不可少.進而歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩

個：（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導致后一塊倒下.

追問3：條件（1）與條件（2）有何聯(lián)系？

答案：如果要所有骨牌都倒下，就要保證“從第一塊開始，如果前一塊倒下，那么后一

塊也能跟著倒下.”為了表示起來更方便，引入一個字母晨表述上把“前一塊”給換成“第

k塊”.條件（2）就是若第％塊倒，則第Z+1塊也一定能倒.關于左的取值，首先它是正整

數(shù)，其次，還必須保證人能取從1開始的正整數(shù)，所以

類似的，如果要求從第二塊開始后面的骨牌都倒下，那么需要滿足的條件是第二塊骨牌

已經(jīng)倒下，并且從第二塊開始，前一塊倒下一定能導致后一塊倒下，即422.

一般的，如果要求從第〃o（〃eN*）塊開始，后面的骨牌都倒下，那么需要滿足的條件

是：第〃。塊骨牌己經(jīng)倒下，并且從第〃。塊開始，前一塊倒下一定能導致后一塊倒下，也就

是人2出.因此，條件（2）中上的最小值就是條件（1）中骨牌倒下的初始值.

追問4：多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列｛/｝的通項公式是%=1（〃eN"）”有相似

性嗎？

答案：一方面，為了保證所有骨牌都倒下，兩個條件缺一不可.而問題1中“q=l”

和“。同=」一（〃GN*）”這兩個條件但凡有一個不知道，就無法寫出任意一項?另一

2-%

方面，問題1中之所以可以順利地依次根據(jù)前一項寫出后一項，“4+1=-----

2-%

（〃eN*）”這個遞推關系至關重要.而多米諾骨牌游戲中的條件（2）實際上也是給出了一

個遞推關系：“第％塊骨牌倒下”能推出“第A+1塊骨牌倒下”.假設有無限多塊骨牌，

我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去,也就是說，無論有多少塊骨牌，

只要保證這兩個條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.這就是骨牌原理.這二者有

一定的相似性，可以試著將多米諾骨牌游戲的兩個條件類比、遷移到證明問題1中.

問題解決

問題3：類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？

答案：需要分成兩步.

追問1：多米諾骨牌游戲的條件（1）是確保第一塊已經(jīng)倒下.那么猜想的證明中第一步

應該是什么呢？

答案：第一步應該證明猜想在〃=1時成立.

追問2：骨牌原理的條件（2）是確保“如果第％塊骨牌倒下，那么第k+\塊骨牌也能

倒下類似的，猜想的證明中就是要證明什么呢？

答案：第二步應該證明若〃“時猜想成立，則”=4+1時猜想也成立.如果能證明這一

點，那么就可以由“〃=1時猜想成立"推出“〃=2時猜想成立“，再由“”=2時猜想成立”

推出，=3時猜想成立”，依此類推，就可以使這個猜想成立的范圍從1開始，向后一個

數(shù)接一個數(shù)地傳遞到1以后地每一個數(shù)，從而完成證明.

抽象概括

問題4：你能從這個具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學歸納法的一般證明過程嗎？

答案：一般地，證明一個與正整數(shù)”有關的命題，可按下列步驟進行：（1）證明當“=〃。

（4eN*）時命題成立；（2）以“當〃=%（keN*,k^n0）時命題成立”為條件，推出

“當”=A+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從〃。開始的所有正整

數(shù)〃都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.特別地，當〃0=1時，命題就對從1開始的正

整數(shù)成立，也就是對所有正整數(shù)都成立.

追問1:所有命題都是從”=1開始成立嗎？

答案：證明起點的選擇不一定要取1,而是取證明命題成立的最小正整數(shù).如：用數(shù)學

歸納法證明命題“凸多邊形的內(nèi)角和為(〃-2)180"應從”=3開始驗證.所以，證明的第一步

是：證明當〃=〃0(eN15)時命題成立.

追問2：第二步中的k是怎樣的正整數(shù)？

答案：&應該是大于或等于小的正整數(shù)，不能把“發(fā)》處”改成“%>〃()”.

追問3：數(shù)學歸納法適用于怎樣的數(shù)學問題？

答案：數(shù)學歸納法用于證明一個與正整數(shù)〃有關的命題，可以將這個關于正整數(shù)〃的命

題記為尸(").

追問4：數(shù)學歸納法這兩個步驟之間有關系嗎？

答案：這兩個步驟之間既相互依存，又彼此聯(lián)系，是一個有機的整體.第一步驗證了

當”=他時這個命題成立，即尸(〃。)為真.第二步是假設P(?(ZeN*,為真，由

“P(k)為真”推出“P(左+1)也為真”.第二步的P(k+1)這個關系所關注的不

是P(幻和PGI+1)是否分別成立，而是命題“若P(6為真，則P()t+1)也為真”是否成

立，強調(diào)的是這二者之間是否有遞推關系.

課題小結

問題5：什么是數(shù)學歸納法？

答案：數(shù)學歸納法是用于證明一個與正整數(shù)n有關的命題的數(shù)學演繹證明方法.

追問1:數(shù)學歸納法中的兩個步驟都必要嗎？

答案：第一步是命題遞推的基礎，確定了〃=小時命題成立，〃=〃o成為后面遞推的出

發(fā)點，沒有它，遞推就成為無源之水.就好比多米諾骨牌，只有推倒其中一塊骨牌，后面的

骨牌才有可能倒.我們把第一步稱為是歸納奠基.而第二步是命題遞推的依據(jù)，即確認一種

遞推關系，好比是多米諾骨牌游戲中，如果第％塊骨牌倒下，那么要保證第4+1塊骨牌也能

倒下，再加之火的任意性，即保證了骨牌倒下去的傳遞性.類似地，借助第二步，命題成立

的范圍就能從正整數(shù)〃。開始，向后一個數(shù)接一個數(shù)地無限傳遞到％以后的每一個正整數(shù)，

從而完成證明.所以，我們把第二步稱為是歸納遞推歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個步

驟缺一不可.