5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像復(fù)習(xí)3.圖象變換的規(guī)律：對自變量x“左加右減”，對函數(shù)值f(x)“上加下減”1.正弦曲線、余弦曲線作法幾何作圖法（三角函數(shù)線）描點法（五點法）圖象變換法yxo1-1y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]2.正弦曲線和余弦曲線之間的區(qū)別與聯(lián)系；結(jié)合圖象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).解析：建立平面直角坐標系xOy，先用五點法畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象，再依次向左、右連續(xù)平移2π個單位，得到y(tǒng)＝sinx的圖象.描出點(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lgx的圖象，如圖所示.例3

在同一坐標系中，作函數(shù)y＝sinx和y＝lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx＝lgx的解的個數(shù).由圖象可知方程sinx＝lgx的解有3個.解題方法（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的簡單應(yīng)用）1.解不等式問題：三角函數(shù)的定義域或不等式可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時要注意區(qū)間端點的取舍.2.方程的根(或函數(shù)零點)問題：三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過圖象可較簡便的解決問題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.達標訓(xùn)練1．在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]與y＝sinx，x∈[2π，4π]的圖象(

)A．重合 B．形狀相同，位置不同C．關(guān)于y軸對稱

D．形狀不同，位置不同解析：B根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]與y＝sinx，x∈[2π，4π]的圖象只是位置不同，形狀相同．1234567891011121314B1234567891011121314D12345678910111213143．函數(shù)y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致圖象為(

)1234567891011121314D1234567891011121314B12345678910111213141234567891011121314A解析：A因為sinx>|cosx|，所以sinx>0．所以x∈(0，π)．在同一直角坐標系中畫出y＝sinx，x∈(0，π)與y＝|cosx|，x∈(0，π)的圖象，如圖．12345678910111213146．函數(shù)f(x)＝lgx與g(x)＝cosx的圖象的交點個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．不確定解析：C在同一坐標系中，作出函數(shù)f(x)＝lgx與g(x)＝cosx的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為3．1234567891011121314C7．若方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，則實數(shù)m的取值范圍是__________．123456789101112131412345678910111213141234567891011121314②描點連線如圖．1234567891011121314②描點連線如圖．1234567891011121314三角函數(shù)

5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)

（一）(1)正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；(2)

規(guī)律是：每隔2重復(fù)出現(xiàn)一次（或者說每隔2k

，k

Z重復(fù)出現(xiàn)）；(3)這個規(guī)律由誘導(dǎo)公式sin(2k+x)=sinx可以說明.正弦函數(shù)的性質(zhì)1——周期性結(jié)論：像這樣一種函數(shù)叫做周期函數(shù).學(xué)習(xí)新知

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x+T∈D

且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

由此可知，2π,4π,……,－2π,－4π，……，2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期,最小正周期是2π.周期函數(shù)定義：學(xué)習(xí)新知對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.注意：(1)周期函數(shù)中，x

定義域M，則必有x+T

M,且若T>0，則定義域無上界；T<0則定義域無下界；(2)“每一個值”，只要有一個反例，則f(x)就不為周期函數(shù)（如f(x0+T)

f(x0)）；(3)T往往是多值的（如y=sinx,T=2

,4

,…,－2

,－4

,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）.想一想求下列函數(shù)的周期解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,∴3cos(x+2π)=3cosx∴函數(shù)y=3cosx，x∈R的周期為2π(2)設(shè)函數(shù)y=sin2x,x∈R的周期為T，則

sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x∵正弦函數(shù)的最小正周期為2π

，∴y=sin2x,x∈R的周期為π典型例題例：求下列函數(shù)的周期解:設(shè)函數(shù)的周期為T，則∵正弦函數(shù)的最小正周期為2π

，∴∴函數(shù)的周期為4π典型例題

求下列三角函數(shù)的周期：y=sin(x+)；(2)y=3sin(+)解：(1)令z=x+而sin(2

+z)=sinz即：f(2

+z)=f(z),f[(x+2

)+]=f(x+)∴函數(shù)的周期T=2

.鞏固練習(xí)（2）解：令z=,則f(x)=3sinz=3sin(z+2

)∴函數(shù)的周期T=4

.=f(x+4

)=3sin()=3sin(+2

)(3)y=|sinx|解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,所以函數(shù)的周期是T=π.求下列三角函數(shù)的周期，并畫圖觀察一下深化練習(xí)yxπ2π10-1-π-2π正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)2——奇偶性請同學(xué)們觀察正、余弦函數(shù)的圖形，說出函數(shù)圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？學(xué)習(xí)新知是奇函數(shù)是偶函數(shù)例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性典型例題奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)正弦函數(shù)的圖象探究圖像余弦函數(shù)的圖象問題：它們的圖象還有其他的對稱軸和對稱中心嗎？y=sinxy=cosx新知探究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)2——對稱性中心對稱：將圖象繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后所得的曲線能夠和原來的曲線重合.

軸對稱：將圖象繞對稱軸折疊180度后所得的曲線能夠和原來的曲線重合.

正弦函數(shù)的圖象對稱軸：對稱中心：xyO余弦函數(shù)的圖象對稱軸：對稱中心：xyO例2求函數(shù)的對稱軸和對稱中心解（1）令則的對稱軸為解得：對稱軸為的對稱中心為對稱中心為練習(xí)

求函數(shù)的一條對稱軸的是（）解：經(jīng)驗證，當時為對稱軸定義域值域?qū)ΨQ軸對稱中心奇偶性周期性y=sinxy=cosx函數(shù)性質(zhì)RR[-1，1][-1，1]奇函數(shù)偶函數(shù)2π2π課堂小結(jié)學(xué)習(xí)任務(wù)二三角函數(shù)的奇偶性[例2]

(鏈接教材P203練習(xí)T3)判斷下列函數(shù)的奇偶性：對接一線課堂，鏈接考試題型對接一線課堂，鏈接考試題型學(xué)習(xí)任務(wù)二三角函數(shù)的奇偶性[例2]

(鏈接教材P203練習(xí)T3)判斷下列函數(shù)的奇偶性：對接一線課堂，鏈接考試題型判斷函數(shù)奇偶性的兩個關(guān)鍵點關(guān)鍵點一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；關(guān)鍵點二：看f(－x)與f(x)的關(guān)系．對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷．方法技巧對接一線課堂，鏈接考試題型對接一線課堂，鏈接考試題型解：(1)函數(shù)的定義域為R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，從而x＝2kπ，k∈Z，此時f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，則f(－a)＝__________．解析：令g(x)＝x3cosx，∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，又