其它不等式的解法 教案

2.3其它不等式的解法【教學目標】：1、掌握簡單的分式不等式、絕對值不等式的解法；2、能對簡單的絕對值不等式給出幾何解釋；3、體會化歸、等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學思想方法.【學習重點】：簡單的分式不等式、絕對值不等式的解法.【學習難點】：不等式的同解變形.【教學過程】：一、分式不等式的解法1、引入某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運行中的自動扶梯上樓（樓梯和自動扶梯長度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時上樓，且甲比乙早到樓上，問甲的速度至少是自動扶梯運行速度的幾倍.設樓梯的長度為，甲的速度為，自動扶梯的運行速度為.于是甲上樓所需時間為，乙上樓所需時間為.由題意，得.整理的.由于此處速度為正值，因此上式可化為，即.所以，甲的速度應大于自動扶梯運行速度的2倍.2、分式不等式的解法例1解不等式：.解：（化分式不等式為一元一次不等式組）注意到或，可以簡化上述解法.另解：（利用兩數(shù)的商與積同號（，）化為一元二次不等式）由例1我們可以得到分式不等式的求解通法：（1）不要輕易去分母，可以移項通分，使得不等號的右邊為零.（2）利用兩數(shù)的商與積同號，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類：（1）（）（）；（2）（）.[說明]解不等式中的每一步往往要求“等價”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對解進行檢驗，因此同解變形就顯得尤為重要.例2解下列不等式（1）.（2）.（3）.例3當為何值時，關于的不等式的解是（1）正數(shù)？（2）是負數(shù)？二、含絕對值的不等式的解法（1）實數(shù)絕對值定義、幾何意義、性質(zhì).①任意，定義的絕對值為.②絕對值的幾何意義：任意，設數(shù)軸上表示數(shù)值的點為，為坐標原點，則，即表示點到原點的距離.類似地，的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)值的點到數(shù)軸上表示數(shù)值的點為的距離，即.③任意，，等號成立.④任意，.⑤任意、，.，（）.（2）含絕對值的不等式的解法例4設、，且，求下列不等式的解集.（1）.（2）.（3）.解：（1）另解：（2另解：（3）由例4我們可以獲得含絕對值的不等式的如下重要結(jié)論：設，則（1）.（2）.（3）.例5解下列不等式（1）.（2）.（3）.例6解下列不等式（1）.（2）.（3）.（4）.例7解不等式：.【課后作業(yè)】解關于x的不等式.解關于x的不等式.已知不等式的解集為[-1,3]，求a,b的值.已知不等式的解集為，求實數(shù)m的值.當p為何值時，對任意實數(shù)x，不等式恒成立.對任意實數(shù)，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范圍.已知不等式的解集為，求不等式的解集.8.關于實數(shù)x的不等式和的解集依次是A,B，求使的實數(shù)a的取值范圍.2.4基本不等式及其應用【教學目標】：1、掌握兩個基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)），并能用于解決一些簡單問題.2、理解兩個基本不等式相應的幾何解釋，初步理解代換的數(shù)學方法.3、在公式的探求過程中，領悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，進一步體會事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相轉(zhuǎn)化等辨證唯物主義觀點.【教學重點】：兩個基本不等式的知識發(fā)生過程和證明；基本不等式的應用.【教學難點】：基本不等式的應用.【教學過程】：1、基本不等式1基本不等式1對于任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.（1）基本不等式1的證明證明：因為，所以.當時，.當時，.所以，當且僅當時，的等號成立.（2）基本不等式1的幾何解釋①解釋1邊長為的正方形面積與邊長為的正方形面積之和大于等于以、為鄰邊長的矩形面積的2倍（當且僅當時等號成立）.已知正方形，分別在邊、邊上取點、，使得.分別過點、作、，垂足為、.和交于點.由幾何畫板進行動態(tài)計算演示，得到陰影部分的面積剩余部分的面積，當且僅當點移至中點時等號成立.②解釋2某屆數(shù)學大會的會徽怎樣的？三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學表述為：如圖所示，以、、分別表示勾、股、弦，那么，表示“弦圖”中兩塊“朱實”的面積，表示“中黃實”的面積.于是，從圖中可明顯看出，四塊“朱實”的面積加上一個“中黃實”的面積就等于以為邊長的正方形“弦實”的面積，即這就是勾股定理的一般表達式.由圖可知：以為邊長的正方形“弦實”的面積四塊“朱實”的面積即，（當且僅當時等號成立）.2、基本不等式2觀察下面這個幾何圖形.已知半圓，是半圓上任一點，是直徑.過作，垂足為.顯然有線段的長度大于等于垂線段的長度.設，，請用、來表示上述這個不等關系.（即，當且僅當時等號成立.）基本不等式2對于任意正數(shù)、，有，當且僅當時等號成立.我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（1）基本不等式2的證明證明：因為，所以.當時，.當時，.所以，當且僅當時，的等號成立.另證：因為、為正數(shù)，所以、均存在.由基本不等式1，得，當且僅當時等號成立.即，當且僅當時等號成立.（2）基本不等式2的擴充對于任意非負數(shù)、，有，當且僅當時等號成立.例1已知，求證：，并指出等號成立的條件.思考：若，則代數(shù)式的取值范圍是什么？3、兩個基本不等式的簡單應用（1）幾何問題例2在周長保持不變的條件下，何時矩形的面積最大？[說明]當兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值.例如，若時，有，當且僅當時等號成立.（事實上，由（），得，當且僅當時等號成立.）例3在面積保持不變的條件下，何時矩形的周長最?。縖說明]當兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值.例如，若時，.為什么？兩個正數(shù)的和為定值，則它們的積有最大值；兩個正數(shù)的積為定值，則它們的和有最小值.這兩個結(jié)論常常用于求解最值問題.在具體應用時，要注意“一正、二定、三等號”.（2）代數(shù)證明例4求證：對于任意實數(shù)、、，有，當且僅當時等號成立.例5均值不等式鏈設、，則（調(diào)和均值幾何均值算術(shù)均值平方均值），當且僅當時等號成立.[說明]事實上當、時，有：，當且僅當時等號成立.②.證明：例6甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，沿同一條路線行到B地。甲在前一半時間的行走速度為，后一半時間的行走速度為；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；問：誰先到達B地？【課后作業(yè)】1．“a>0且b>0”是“eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．設a、b∈R＋，且a＋b＝4，則有()A.eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C.eq\r(ab)≥2 D.eq\f(1,a2＋b2)≥eq\f(1,4)3．設0<x<1，a，b都為大于零的常數(shù)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)的最小值為()A．(a－b)2 B．(a＋b)2C．a(chǎn)2b2 D．a(chǎn)24．設a>b>c>0，則2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,a(a－b))－10ac＋25c2的最小值是()A．2 B．4C．2eq\r(5) D．55．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3 B．4C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)6.在“eq\f(4,)＋eq\f(9,)＝1”中的“__”處分別填上一個自然數(shù)，使它們的和最小，并求出其和的最小值．________7．若a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，當且僅當eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時取等號．利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)(x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))))的最小值為________8．已知t>0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為________．9．若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．10．某廠為適應市場需求，投入98萬元引進世界先進設備，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始，每年所需費用會比上一年增加4萬元．而每年因引入該設備可獲得年利潤為50萬元．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決以下問題：(1)引進該設備多少年后，開始盈利？(2)引進該設備若干年后，有兩種處理方案：第一種：年平均利潤達到最大值時，以26萬元的價格賣出．第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出．問哪種方案較為合算？2.5不等式的證明【教學目標】：1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路.2、能利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.3、在證明的過程中，加強不等式性質(zhì)及基本不等式的應用.4、代數(shù)證明基本能力的提升以及邏輯推理水平的進一步加強?！窘虒W重點】：利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.【教學難點】：分析法的基本思路及其表達.【教學過程】：一、比較法比較法有兩種：（1）比差法：求差與比.（2）比商法：求商與比，要注意討論分母的符號.例1求證：（1）.（2）.例2設，，求證：.（補充）[說明]此例采用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過程體會兩種方法各自的“優(yōu)點”.二、綜合法從已知條件出發(fā)，利用各種已知的定理和運算性質(zhì)作為依據(jù)，推導出要證的結(jié)論.這種證明方法稱為綜合法.例3已知、、均為正數(shù)，求證：.例4已知、，求證：.例5求證:例6求證：.三、分析法從要證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當?shù)淖冃危治龀鍪惯@個結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié)論成立.這種證明方法稱為分析法.分析法也可以如下敘述為：欲證結(jié)論，需先證得，欲要證得，需先證得，欲要證得，需先證得，……………，欲要證得，需先證得.當成立時，若以上步步可逆，則結(jié)論成立.用數(shù)學語言表述，必須保證下述過程成立：…，因為成立，所以結(jié)論成立.[說明]分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7求證：.例8已知：，求證：