數(shù)學(xué)實驗課件第13章13.2

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13.2最小生成樹的算法求解最小生成樹有Kruskal算法和Prim算法．1Kruskal算法描述如下：

對于一個連通的賦權(quán)圖G，按照如下步驟構(gòu)造其最小生成樹T：1）找出G所有邊中的權(quán)重最小的邊e1作為T的第一條邊；2）選擇

，使得e2的權(quán)重最小；3）選擇

，使得e3的權(quán)重最小，且不能和前面所選的邊構(gòu)成圈；4）重復(fù)步驟3），直到找出n-1條邊，則得到G的最小生成樹．

此算法可以稱為“加邊法”，初始最小生成樹邊數(shù)為0，每迭代一次就選擇一條滿足條件的最小代價邊，加入到最小生成樹的邊集合里．例13.3用Kruskal算法求圖13-3所示的最小生成樹．解（1）邊v3v4的權(quán)重為所有邊中最小的，選取v3v4∈E作為第一條邊，即e1=v3v4；

（2）邊v1v4的權(quán)重為剩下的邊中最小的，選取v1v4∈E-{e1}作為第二條邊，即e2=v1v4；

（3）邊v1v2的權(quán)重為剩下的邊中最小的，但是加進來后會構(gòu)成圈，故在E-{e1,e2,v1v2}中選取權(quán)重最小的邊v1v3作為第三條邊，即e3=v1v3；

（4）找到了3條邊，停止．

利用Kruskal算法得到最小生成樹見圖13-4，得到的最小生成樹的權(quán)重是15．圖13-4Kruskal算法得到最小生成樹2Prim算法

對于連通的賦權(quán)圖

，設(shè)置兩個集合P和Q，其中P用于存放G的最小生成樹中的頂點，集合Q存放G的最小生成樹的邊．

1）初始化頂點集P={v1}，v1∈V，邊集Q=?；

2）選擇v2∈V-P使得邊v1v2的賦權(quán)最小，P={v1,v2},Q={v1v2}；

3）重復(fù)步驟2），知道P=V，停止．

此算法可以稱為“加點法”，每次迭代選擇代價最小的邊對應(yīng)的點，加入到最小生成樹中.算法從某一個頂點s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網(wǎng)的所有頂點．例13.4用Prim算法求圖13-3所示的最小生成樹.解（1）初始化頂點集P={v1}，v1∈V，邊集Q=?；

（2）與v1相連的邊v1v2，v1v3，v1v4中權(quán)重最小的是v1v4，故選擇v4，P={v1,v4},Q={V1,V4}；

（3）選擇v2∈V-P，使得在與P中點相連的邊中v2v4的權(quán)重是最小的，P={v1,v4,v2},Q={v1v4,v2v4}（4）選擇v3∈V-P，使得在與P中點相連的邊中v1v3的權(quán)重是最小的，P={v1,v4,v2,v3},Q={v1v4,v2v4,v1v3}；

（5）

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