第28章 銳角三角函數(shù) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練3（含答案）

第28章銳角三角函數(shù)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練專(zhuān)訓(xùn)1“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法長(zhǎng).(第1題)求四邊形ABCD的面積.(第2題)(第3題)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載的值.(第4題)專(zhuān)訓(xùn)2巧用構(gòu)造法求幾種特殊角的三角函數(shù)值對(duì)于30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，我們都可通過(guò)定義利用特殊直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；而在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常碰到像15°、22.5°、67.50等一些特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，同樣我們也可以構(gòu)造相關(guān)圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行巧算故碼?巧構(gòu)造15°與30°角的關(guān)系的圖形計(jì)算15°角的三角函數(shù)值3.小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，求出67.5°角的正切值.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(第3題)值值鼓藥專(zhuān)訓(xùn)3應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的四種常見(jiàn)問(wèn)題1.某校興趣小組從游輪拍攝海河兩岸美景.如圖，下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(第1題)英型2坡壩問(wèn)題2.如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°,壩高BE=20米.汛期來(lái)臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°,求AF的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到1米，參考(第2題)3.一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A,B,在A的北偏東45°方向上還有一個(gè)加油站C,C到高速公路的最短距離是30千米，B,C間的距離是60千米，想要經(jīng)過(guò)C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B,C的距離相等，請(qǐng)求出交叉口P到加油站A的距離.(結(jié)果保留根號(hào))4.如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角∠DCE=30°,小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上(1)求斜坡CD的高度DE,(2)求大樓AB的高度.(結(jié)果保留根號(hào))(第4題)專(zhuān)訓(xùn)4利用三角函數(shù)解判斷說(shuō)理問(wèn)題利用三角函數(shù)解答實(shí)際中的“判斷說(shuō)理”問(wèn)題：其關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上.該貨船航行30分鐘后到內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?試說(shuō)明理由.(第1題)2.A,B兩市相距150千米，分別從A,B處測(cè)得國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)中心C處連接A,B兩市的高速公路會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.(第2題)3.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離.(結(jié)果不取近似值)(第3題)英型4臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題4.如圖所示，在某海濱城市O附近海面有一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的南偏東20°方向200km的海面P處，并以20km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍是一個(gè)圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,且圓的半徑以10km/h的速度不斷擴(kuò)大.(1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)4h時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到km;當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t(h)時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到km.(2)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí)，這股臺(tái)風(fēng)是否會(huì)侵襲這座海濱城市?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73)(第4題)小程序搜索天浩提優(yōu)資料專(zhuān)訓(xùn)5三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用小程序搜索天浩提優(yōu)資料下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載1.三角函數(shù)與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用：此類(lèi)問(wèn)題常常利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)，最后可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo).2.三角函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用：主要是與一元二次方程之間的聯(lián)系，利用方程根的情況，最終轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系求解.3.三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用：主要利用圓中的垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角等，將圓中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為同一直角三角形的邊角關(guān)系求解.4.三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用：此類(lèi)問(wèn)題常常是由相似得成比例線段，再轉(zhuǎn)化成所求銳角的三角函數(shù).天浩提優(yōu)資料小程序搜索天浩提優(yōu)資料下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(2)若點(diǎn)A(x,y)是直線y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(且在第一象限內(nèi)),在點(diǎn)A(第1題)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)x=1交x軸于點(diǎn)B,連接EC,AC,點(diǎn)P,Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(第2題)時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載●●3.如圖，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)DC的中點(diǎn)E,求直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；ME的大小關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.(第3題)4.在△ABC中，∠A,∠B,∠Cx的一元二次方程x2-(c+4)x+4c+8=0的對(duì)邊分別是a,b,c.已知a,b是關(guān)于的兩個(gè)根，且9c=25asinA.5.已知關(guān)于x的方程5x2-10xcosα-7cosα+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求邊長(zhǎng)為10cm且兩邊所夾的銳角為α的菱形的面積.6.如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心、CD為半徑作圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且∠B=∠CAE,EFFD=43.(1)求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(第6題)求線段BN求線段BN的長(zhǎng).;,(第7題)8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AD上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BF,BE,且BE⊥FG.(第8題)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載專(zhuān)訓(xùn)6全章熱門(mén)考點(diǎn)整合應(yīng)用本章主要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義，銳角三角函數(shù)值，解直角三角形，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，重點(diǎn)考查運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決一些幾何圖形中的應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容.其主要考點(diǎn)可概括為：2個(gè)概念，1個(gè)運(yùn)算，2個(gè)應(yīng)用，2個(gè)技巧.考點(diǎn)!2個(gè)概念概念1:銳角三角函數(shù)于點(diǎn)D,1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,于點(diǎn)D,求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值.(第1題)概念2:解直角三角形9于點(diǎn)E,CD=DE,AC+CD=9,求BE,CE的長(zhǎng).(第2題)(1)tan30°sin60°+cos230°-sin245°tan45°;下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載應(yīng)用1:解直角三角形在學(xué)科內(nèi)應(yīng)用4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP,交射線DC于點(diǎn)E,射線AE交射線BC于點(diǎn)F,設(shè)BP=a.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C都不重合),試用含a的代數(shù)式表(2)當(dāng)a=3時(shí)，連接DF,試判斷四邊形APFD的形狀，并說(shuō)明理由；(第4題)應(yīng)用2:解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用5.如圖，自來(lái)水廠A和村莊B在小河1的兩側(cè)，現(xiàn)要在A,B間鋪設(shè)一條輸水管道.為了搞好工程預(yù)算，需測(cè)算出A,B間的距離.一小船在點(diǎn)P處測(cè)得A在正北方向，B位于南偏東24.5°方向，前行1200m,到達(dá)點(diǎn)Q處，測(cè)得A(1)線段BQ與PQ是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(第5題)6.如圖，為了測(cè)量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓C樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.(參考數(shù)據(jù)：sin(第6題)(第7題)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載8.如圖所示，已知四邊形ABCD,∠ABC=120°,AD⊥AB,CD⊥BC,AB=30√3,BC=50√3,求四邊形ABCD的面積.(要求：用分割法和補(bǔ)形法兩(第8題)專(zhuān)訓(xùn)11.解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D.設(shè)BD=x,在Rt△ABD中，AD=BD·tanB=x·tan60°=在Rt△ACD中，∵∠C=45°,(第1題)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(第2題)2.解：如圖，延長(zhǎng)BC,AD交于點(diǎn)E.99點(diǎn)撥：本題看似是四邊形問(wèn)題，但注意到∠B=90°,∠A=60°,不難想到延長(zhǎng)BC,AD交于點(diǎn)E,構(gòu)造出直角三角形，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.3.解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD=DB.又∵∠ACD=∠BED=90°,∠ADC=∠BDE,方法點(diǎn)撥：構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵.(第3題)(第4題)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載····4.解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,9專(zhuān)訓(xùn)21.解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=30°,∠C=90°,延長(zhǎng)CA到D,(第1題)(第2題)2.解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,延長(zhǎng)CA到D,使DA下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載3.解：∵將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，設(shè)AB=x,則AE=EF=√2x,4.解：如圖，作△ABC,使∠BAC=36°,AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E點(diǎn)，設(shè)BC=a,則BD=AD=a,易得9負(fù)根舍去),(第4題)(第5題)5.解：方法1:利用第1題的圖形求解.易知∠CBD=75°,下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載方法2:如圖，作△ABD,使∠ADB=90°,∠DAB=30°,延長(zhǎng)BD到C,使DC=DA,過(guò)B作BE⊥AC于E,則∠BAE=75°,設(shè)AD=DC=a,則AC=則CE=BE=BC·sin45°9(第1題)1.解：根據(jù)題意可知AB=300m.如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.在Rt△ADB中，因?yàn)椤螧AD=30°,所以.在Rt△CDB中，因頭下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載··答：此時(shí)游輪與望海樓之間的距離BC約為173m.點(diǎn)撥：本題也可過(guò)C作CD⊥AB于D,由已知得BC=AC,則M.2.解：在Rt△ABE中，∠BEA=90°,∠BAE=45°,BE=20米，在Rt△BEF中，∠BEF=90°,∠F=30°,BE=20米，AF的長(zhǎng)度約是15米.3.解：分兩種情況：●∴在Rt△CDP中，∠CPD=∠B+∠BCP=60°,千米.在Rt△ADC中，∵∠A=45°,∴AD=DC=30千米.①②(第3題)點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了分類(lèi)計(jì)論思想，針對(duì)P點(diǎn)位置分兩種情況討論，即P可能下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載在線段AB上，也可能在BA的延長(zhǎng)線上.(第4題)(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB,交AB于點(diǎn)F,∴∠DBF=45°,即△BFD為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，∠ABC=30°,專(zhuān)訓(xùn)41.解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn).理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AM于點(diǎn)D.∠CAB=90?-60?=30°,∠CBD=90°-30?=60°,下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載9.9又∵AD=AB+BD,∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn).技巧點(diǎn)撥：將這道航海問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型.該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)取決于島C到航線AB的距離與9海里的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AB的距離.(第1題)(第2題)2.解：不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū).理由如下：如圖，過(guò)C作CD⊥AB∵AD+DB=AB,∴CD·tana+CD·tanβ=AB,于點(diǎn)D,根據(jù)a,在Rt△BCD*50>45,∴連接A,B兩市的高速公路不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū).3.解：如圖，過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F,則∠E=∠F=90°,攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF.在Rt△BCE中，∵∠E=90°,∠CBE=60°,在Rt△CDF中，∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=1000下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載····(第3題)(第4題)4.解：(1)100;(60+10t)于點(diǎn)H,如圖.在Rt△POH中設(shè)經(jīng)過(guò)xh時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到H,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度為20km/h,1.解：(1)把x=0代入y=kx-1,得y=-1,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-1).OC=1.∴點(diǎn)B的坐標(biāo),,下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載●●C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上，∴CE=√O(píng)C2+OE2=√32+42=5,即y=-x2+2x+3.,解得;解得3.解：(1)先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),∴k=6.的圖象上，求出點(diǎn)E的=0可得(第3題)方法一：如圖，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F,則AF⊥ON,且AF=2,OF=3,下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載根據(jù)勾股定理可得59方法二：如圖，連接OE,延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F,則AF⊥ON,且AF=2,,●,=SAAON.b=c+4,ab=4c+8.=(c+4)2-2(4c+8)=c2∴△ABC為直角三角形.=(c+4)2-4(4c+8)∴不能確定(a—b)2的值是否為0,∴不能確定a是否等于b,∴△ABC狀為直角三角形.將其代入9c=25asinA,代入a+b=c+49即△ABC的三邊長(zhǎng)分別是6,8,10.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載●●6.(1)證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠DAC.∵∠ADE=∠BAD+∠B,∠DAE=∠CAD+∠CAE,∴∠ADE=∠DAE,∵ED為◎O的直徑，∴∠DFE=90°,∴EF⊥AD,∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).(2)解：如圖，連接DM,則DM⊥AE.設(shè)EF=4k,DF=3k(3)解：∵∠CAE=∠B,∠AEC為公共角，∴△AEC∽△BEA,.(第6題)(第7題)∴∠ADC=∠ABD.(2)證明：∵AM⊥CD,∴∠AMD=∠ADB=90°,∵∠1=∠499∴BD=√AB2-AD2=8,∵BN⊥CD,∴∠BND=90°,∴∠DBN+∠BDN=∠1下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載8.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠DCG=90°,∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE.又∵BE⊥FG,∴BE是FG的中垂線，∴BF=BG.91.思路導(dǎo)引：求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清它們的定義.由于∠BCD是Rt△BCD中的一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時(shí)有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD或CD,二是把∠BCD轉(zhuǎn)化成∠A,顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵赗t△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)的定義即可求出答案.解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,可設(shè)DE=CD=3k,則DB=5k,求得BC=8k,AC=6k,AB=10k.進(jìn)而求出各邊的長(zhǎng).在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的長(zhǎng)，過(guò)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,再用勾股定理求出CE的長(zhǎng).設(shè)DE=CD=3k,則DB=5k,下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載●●過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,如圖，則CF//DE,9(第2題)點(diǎn)撥：方程思想是一種重要的思想方法，運(yùn)用方程思想可以建立已知量和待求量之間的關(guān)系式，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法.4.解：設(shè)CE=y,(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=4,BC=AD=5,∠B=∠BCD=∠D=90°.=5,∵四邊形ABCD是矩形，易求PC=2,∴PF=PC+CF=5.∴PF=AD,∴四邊形APFD是平行四邊形，在Rt△APB中，AB=4,BP下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載11∴四邊形APFD是菱形.,或7.解得a=3,y=1.5或a=7,y=3.5或7.95.解：(1)相等.理由如下：由已知條件易知，∠QPB=90?-24.5?=65.5°,∠PQB=90?-41?=49°,∴∠PBQ=180°-65.5°-49°=65.5°.∴∠PBQ=∠BPQ.∴BQ=PQ.(2)由(1),得BQ