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上海市長(zhǎng)寧、金山區(qū)中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.一元二次方程的根是()A. B.C. D.2.如圖,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,當(dāng)時(shí),x的取值范圍是()A.x<-2或x>2 B.x<-2或0<x<2C.-2<x<0或0<x<2 D.-2<x<0或x>23.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是()A.(m2)3=m6B.a(chǎn)10÷a9=aC.x3?x5=x8D.a(chǎn)4+a3=a74.已知某校女子田徑隊(duì)23人年齡的平均數(shù)和中位數(shù)都是13歲,但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)其中一位同學(xué)的年齡登記錯(cuò)誤,將14歲寫成15歲,經(jīng)重新計(jì)算后,正確的平均數(shù)為a歲,中位數(shù)為b歲,則下列結(jié)論中正確的是()A.a(chǎn)<13,b=13B.a(chǎn)<13,b<13C.a(chǎn)>13,b<13D.a(chǎn)>13,b=135.在六張卡片上分別寫有,π,1.5,5,0,六個(gè)數(shù),從中任意抽取一張,卡片上的數(shù)為無(wú)理數(shù)的概率是()A. B. C. D.6.如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,AD上,且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H,下列結(jié)論:①△AED≌△DFB;②S四邊形BCDG=CG2;③若AF=2DF,則BG=6GF,其中正確的結(jié)論A.只有①②. B.只有①③. C.只有②③. D.①②③.7.如圖,A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上,∠AOD=50°,AO∥DC,則∠B的度數(shù)為()A.50°B.55°C.60°D.65°8.方程x(x-2)+x-2=0的兩個(gè)根為()A., B.,C., D.,9.如圖,⊙O與直線l1相離,圓心O到直線l1的距離OB=2,OA=4,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l2剛好與⊙O相切于點(diǎn)C,則OC=()A.1 B.2 C.3 D.410.規(guī)定:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.現(xiàn)有下列結(jié)論:①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;②若關(guān)于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,則a=±3;③若關(guān)于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)和(4,0);④若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則關(guān)于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.上述結(jié)論中正確的有(
)A.①② B.③④ C.②③ D.②④11.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A.1 B. C. D.12.如圖,點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,△OAB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,將△OAB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△OA′B′,那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A.(2,2) B.(﹣2,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,2)二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.已知、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù),且,則=________.14.若分式a2-9a+315.如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.(1)AB的長(zhǎng)等于____;(2)在△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,滿足S△PABS△PBCS△PCA=1:2:3,請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無(wú)刻度的直尺,畫出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)_______16.從長(zhǎng)度分別是3,4,5的三條線段中隨機(jī)抽出一條,與長(zhǎng)為2,3的兩條線段首尾順次相接,能構(gòu)成三角形的概率是_______.17.若am=2,an=3,則am+2n=______.18.寫出一個(gè)一次函數(shù),使它的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限:______.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19.(6分)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,﹣4)的拋物線()與x軸相交于A(﹣2,0),B兩點(diǎn).(1)a0,0(填“>”或“<”);(2)若該拋物線關(guān)于直線x=2對(duì)稱,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(3)在(2)的條件下,連接AC,E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F.是否存在這樣的點(diǎn)E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(6分)如圖,AB是半徑為2的⊙O的直徑,直線l與AB所在直線垂直,垂足為C,OC=3,P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP、BP分別交l于M、N兩點(diǎn).(1)當(dāng)∠A=30°時(shí),MN的長(zhǎng)是;(2)求證:MC?CN是定值;(3)MN是否存在最大或最小值,若存在,請(qǐng)寫出相應(yīng)的最值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)以MN為直徑的一系列圓是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),若是,請(qǐng)確定該定點(diǎn)的位置,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(6分)如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F為AD上兩點(diǎn),AE=EF=FD,連接BE、CF并延長(zhǎng),交于點(diǎn)G,GB=GC.(1)求證:四邊形ABCD是矩形;(1)若△GEF的面積為1.①求四邊形BCFE的面積;②四邊形ABCD的面積為.22.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分別為AB、AC上的點(diǎn),經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的⊙O分別交于AB、AC于點(diǎn)E、F,且BC與⊙O相切于點(diǎn)D.(1)求證:DF=(2)當(dāng)AC=2,CD=1時(shí),求⊙O的面積.23.(8分)每年的6月5日為世界環(huán)保日,為了提倡低碳環(huán)保,某公司決定購(gòu)買10臺(tái)節(jié)省能源的新設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的設(shè)備可供選購(gòu),經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買了3臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買2臺(tái)乙型設(shè)備多花了16萬(wàn)元,購(gòu)買2臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)乙型設(shè)備少花6萬(wàn)元.求甲、乙兩種型號(hào)設(shè)備的價(jià)格;該公司經(jīng)預(yù)算決定購(gòu)買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過(guò)110萬(wàn)元,你認(rèn)為該公司有幾種購(gòu)買方案;在(2)的條件下,已知甲型設(shè)備的產(chǎn)量為240噸/月,乙型設(shè)備的產(chǎn)量為180噸/月,若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.24.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.(1)b=_________,c=_________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________;(直接填寫結(jié)果)(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).25.(10分)如圖,四邊形ABCD中,E點(diǎn)在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求證:△ABC與△DEC全等.26.(12分)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,BC交直徑AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,垂足為F.連接OC.(1)若∠G=48°,求∠ACB的度數(shù);(1)若AB=AE,求證:∠BAD=∠COF;(3)在(1)的條件下,連接OB,設(shè)△AOB的面積為S1,△ACF的面積為S1.若tan∠CAF=,求的值.27.(12分)如圖,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).(1)求拋物線的解析式;(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標(biāo);(3)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn),求△MBC的面積的最大值,并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、D【解析】試題分析:此題考察一元二次方程的解法,觀察發(fā)現(xiàn)可以采用提公因式法來(lái)解答此題.原方程可化為:,因此或,所以.故選D.考點(diǎn):一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.2、D【解析】
先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)求出B點(diǎn)坐標(biāo),再由函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1,
∵由函數(shù)圖象可知,當(dāng)-1<x<0或x>1時(shí)函數(shù)y1=k1x的圖象在的上方,
∴當(dāng)y1>y1時(shí),x的取值范圍是-1<x<0或x>1.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,能根據(jù)數(shù)形結(jié)合求出y1>y1時(shí)x的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.3、D【解析】【分析】利用合并同類項(xiàng)法則,單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則,同底數(shù)冪的乘法、除法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.【詳解】A、(m2)3=m6,正確;B、a10÷a9=a,正確;C、x3?x5=x8,正確;D、a4+a3=a4+a3,錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘除法,熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】試題解析:∵原來(lái)的平均數(shù)是13歲,∴13×23=299(歲),∴正確的平均數(shù)a=299-12∵原來(lái)的中位數(shù)13歲,將14歲寫成15歲,最中間的數(shù)還是13歲,∴b=13;故選A.考點(diǎn):1.平均數(shù);2.中位數(shù).5、B【解析】
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù),無(wú)理數(shù)通常有以下三種形式:一是開方開不盡的數(shù),二是圓周率π,三是構(gòu)造的一些不循環(huán)的數(shù),如1.010010001……(兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)一次多一個(gè)).然后用無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)除以所有書的個(gè)數(shù),即可求出從中任意抽取一張,卡片上的數(shù)為無(wú)理數(shù)的概率.【詳解】∵這組數(shù)中無(wú)理數(shù)有,共2個(gè),∴卡片上的數(shù)為無(wú)理數(shù)的概率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義及概率的計(jì)算.6、D【解析】
解:①∵ABCD為菱形,∴AB=AD.∵AB=BD,∴△ABD為等邊三角形.∴∠A=∠BDF=60°.又∵AE=DF,AD=BD,∴△AED≌△DFB;②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,即∠BGD+∠BCD=180°,∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓,∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.∴∠BGC=∠DGC=60°.過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.∴CM=CN,則△CBM≌△CDN,(HL)∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN.S四邊形CMGN=1S△CMG,∵∠CGM=60°,∴GM=CG,CM=CG,∴S四邊形CMGN=1S△CMG=1××CG×CG=CG1.③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn).∵AF=1FD,∴FP:AE=DF:DA=1:3,∵AE=DF,AB=AD,∴BE=1AE,∴FP:BE=1:6=FG:BG,即BG=6GF.故選D.7、D【解析】試題分析:連接OC,根據(jù)平行可得:∠ODC=∠AOD=50°,則∠DOC=80°,則∠AOC=130°,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角度數(shù)的一半可得:∠B=130°÷2=65°.考點(diǎn):圓的基本性質(zhì)8、C【解析】
根據(jù)因式分解法,可得答案.【詳解】解:因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
于是,得x-2=0或x+1=0,
解得x1=-1,x2=2,
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,熟練掌握因式分解法是解題關(guān)鍵.9、B【解析】
先利用三角函數(shù)計(jì)算出∠OAB=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAB=30°,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AC,從而得到∠OAC=30°,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到OC的長(zhǎng).【詳解】解:在Rt△ABO中,sin∠OAB===,∴∠OAB=60°,∵直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l1剛好與⊙O相切于點(diǎn)C,∴∠CAB=30°,OC⊥AC,∴∠OAC=60°﹣30°=30°,在Rt△OAC中,OC=OA=1.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,則直線l和⊙O相交?d<r;直線l和⊙O相切?d=r;直線l和⊙O相離?d>r.也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).10、C【解析】分析:①通過(guò)解方程得到該方程的根,結(jié)合“倍根方程”的定義進(jìn)行判斷;②設(shè)=2,得到?=2=2,得到當(dāng)=1時(shí),=2,當(dāng)=-1時(shí),=-2,于是得到結(jié)論;③根據(jù)“倍根方程”的定義即可得到結(jié)論;④若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=的圖象上,得到mn=4,然后解方程m+5x+n=0即可得到正確的結(jié)論;詳解:①由-2x-8=0,得:(x-4)(x+2)=0,解得=4,=-2,∵≠2,或≠2,∴方程-2x-8=0不是倍根方程;故①錯(cuò)誤;②關(guān)于x的方程+ax+2=0是倍根方程,∴設(shè)=2,∴?=2=2,∴=±1,當(dāng)=1時(shí),=2,當(dāng)=-1時(shí),=-2,∴+=-a=±3,∴a=±3,故②正確;③關(guān)于x的方程a-6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,∴=2,∵拋物線y=a-6ax+c的對(duì)稱軸是直線x=3,∴拋物線y=a-6ax+c與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)和(4,0),故③正確;④∵點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴mn=4,解m+5x+n=0得=,=,∴=4,∴關(guān)于x的方程m+5x+n=0不是倍根方程;故選C.點(diǎn)睛:本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,根與系數(shù)的關(guān)系,正確的理解倍根方程的定義是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】原式=?(x–1)2+=+==1,故選A.12、D【解析】分析:作BC⊥x軸于C,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得則易得A點(diǎn)坐標(biāo)和O點(diǎn)坐標(biāo),再利用勾股定理計(jì)算出然后根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征可寫出B點(diǎn)坐標(biāo);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得則點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合,于是可得點(diǎn)A′的坐標(biāo).詳解:作BC⊥x軸于C,如圖,∵△OAB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形∴∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(?4,0),O點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),在Rt△BOC中,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為∵△OAB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△OA′B′,∴∴點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合,即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為故選D.點(diǎn)睛:考查圖形的旋轉(zhuǎn),等邊三角形的性質(zhì).求解時(shí),注意等邊三角形三線合一的性質(zhì).二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、11【解析】
根據(jù)無(wú)理數(shù)的性質(zhì),得出接近無(wú)理數(shù)的整數(shù),即可得出a,b的值,即可得出答案.【詳解】∵a<<b,a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù),
∴,
∴a=5,b=6,
∴a+b=11.
故答案為11.【點(diǎn)睛】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小,熟練掌握無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.14、1.【解析】試題分析:根據(jù)分式的值為0的條件列出關(guān)于a的不等式組,求出a的值即可.試題解析:∵分式a2∴a2解得a=1.考點(diǎn):分式的值為零的條件.15、;答案見解析.【解析】
(1)AB==.故答案為.(2)如圖AC與網(wǎng)格相交,得到點(diǎn)D、E,取格點(diǎn)F,連接FB并且延長(zhǎng),與網(wǎng)格相交,得到M,N,G.連接DN,EM,DG,DN與EM相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.理由:平行四邊形ABME的面積:平行四邊形CDNB的面積:平行四邊形DEMG的面積=1:2:1,△PAB的面積=平行四邊形ABME的面積,△PBC的面積=平行四邊形CDNB的面積,△PAC的面積=△PNG的面積=△DGN的面積=平行四邊形DEMG的面積,∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:1.16、【解析】共有3種等可能的結(jié)果,它們是:3,2,3;4,2,3;5,2,3;其中三條線段能夠成三角形的結(jié)果為2,所以三條線段能構(gòu)成三角形的概率=.故答案為.17、18【解析】
運(yùn)用冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】解:∵am=2,an=3,∴a3m+2n=(am)3×(an)2=23×32=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方,掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.18、y=x﹣1(答案不唯一)【解析】一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,則可知y=kx+b中k>0,b<0,由此可得如:y=x﹣1(答案不唯一).三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19、(1)>,>;(2);(3)E(4,﹣4)或(,4)或(,4).【解析】
(1)由拋物線開口向上,且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),即可做出判斷;(2)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及A的坐標(biāo),確定出B的坐標(biāo),將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a,b,c的值,即可確定出拋物線解析式;(3)存在,分兩種情況討論:(i)假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形,過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸,交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC,交x軸于點(diǎn)F,如圖1所示;(ii)假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′,使得以A,C,F(xiàn)′,E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形,過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′,則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形,可得AC=E′F′,AC∥E′F′,如圖2,過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G,分別求出E坐標(biāo)即可.【詳解】(1)a>0,>0;(2)∵直線x=2是對(duì)稱軸,A(﹣2,0),∴B(6,0),∵點(diǎn)C(0,﹣4),將A,B,C的坐標(biāo)分別代入,解得:,,,∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(3)存在,理由為:(i)假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形,過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸,交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC,交x軸于點(diǎn)F,如圖1所示,則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形,∵拋物線關(guān)于直線x=2對(duì)稱,∴由拋物線的對(duì)稱性可知,E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,又∵OC=4,∴E的縱坐標(biāo)為﹣4,∴存在點(diǎn)E(4,﹣4);(ii)假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′,使得以A,C,F(xiàn)′,E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形,過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′,則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形,∴AC=E′F′,AC∥E′F′,如圖2,過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G,∵AC∥E′F′,∴∠CAO=∠E′F′G,又∵∠COA=∠E′GF′=90°,AC=E′F′,∴△CAO≌△E′F′G,∴E′G=CO=4,∴點(diǎn)E′的縱坐標(biāo)是4,∴,解得:,,∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(,4),同理可得點(diǎn)E″的坐標(biāo)為(,4).20、(1);(2)MC?NC=5;(3)a+b的最小值為2;(4)以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D,此定點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【解析】
(1)由題意得AO=OB=2、OC=3、AC=5、BC=1,根據(jù)MC=ACtan∠A=、CN=可得答案;(2)證△ACM∽△NCB得,由此即可求得答案;(3)設(shè)MC=a、NC=b,由(2)知ab=5,由P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)知a>0,可得b=(a>0),根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得a+b不存在最大值,當(dāng)a=b時(shí),a+b最小,據(jù)此求解可得;(4)設(shè)該圓與AC的交點(diǎn)為D,連接DM、DN,證△MDC∽△DNC得,即MC?NC=DC2=5,即DC=,據(jù)此知以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D,此頂點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【詳解】(1)如圖所示,根據(jù)題意知,AO=OB=2、OC=3,則AC=OA+OC=5,BC=OC﹣OB=1,∵AC⊥直線l,∴∠ACM=∠ACN=90°,∴MC=ACtan∠A=5×=,∵∠ABP=∠NBC,∴∠BNC=∠A=30°,∴CN=,則MN=MC+CN=+=,故答案為:;(2)∵∠ACM=∠NCB=90°,∠A=∠BNC,∴△ACM∽△NCB,∴,即MC?NC=AC?BC=5×1=5;(3)設(shè)MC=a、NC=b,由(2)知ab=5,∵P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),∴a>0,∴b=(a>0),根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知,a+b不存在最大值,當(dāng)a=b時(shí),a+b最小,由a=b得a=,解之得a=(負(fù)值舍去),此時(shí)b=,此時(shí)a+b的最小值為2;(4)如圖,設(shè)該圓與AC的交點(diǎn)為D,連接DM、DN,∵M(jìn)N為直徑,∴∠MDN=90°,則∠MDC+∠NDC=90°,∵∠DCM=∠DCN=90°,∴∠MDC+∠DMC=90°,∴∠NDC=∠DMC,則△MDC∽△DNC,∴,即MC?NC=DC2,由(2)知MC?NC=5,∴DC2=5,∴DC=,∴以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D,此定點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).21、(1)證明見解析;(1)①16;②14;【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC,AB=DC,AB∥CD于是得到BE=CF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠D,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠D=180°,由矩形的判定定理即可得到結(jié)論;(1)①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,求得△GBC的面積為18,于是得到四邊形BCFE的面積為16;②根據(jù)四邊形BCFE的面積為16,列方程得到BC?AB=14,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)證明:∵GB=GC,∴∠GBC=∠GCB,在平行四邊形ABCD中,∵AD∥BC,AB=DC,AB∥CD,∴GB-GE=GC-GF,∴BE=CF,在△ABE與△DCF中,,∴△ABE≌△DCF,∴∠A=∠D,∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∴∠A=∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形;(1)①∵EF∥BC,∴△GFE∽△GBC,∵EF=AD,∴EF=BC,∴,∵△GEF的面積為1,∴△GBC的面積為18,∴四邊形BCFE的面積為16,;②∵四邊形BCFE的面積為16,∴(EF+BC)?AB=×BC?AB=16,∴BC?AB=14,∴四邊形ABCD的面積為14,故答案為:14.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),圖形面積的計(jì)算,全等三角形的判定和性質(zhì),證得△GFE∽△GBC是解題的關(guān)鍵.22、(1)證明見解析;(2)2516【解析】
(1)連接OD,由BC為圓O的切線,得到OD垂直于BC,再由AC垂直于BC,得到OD與AC平行,利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,再由OA=OD,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,等量代換得到AD為角平分線,利用相等的圓周角所對(duì)的弧相等即可得證;
(2)連接ED,在直角三角形ACD中,由AC與CD的長(zhǎng),利用勾股定理求出AD的長(zhǎng),由(1)得出的兩個(gè)圓周角相等,及一對(duì)直角相等得到三角形ACD與三角形ADE相似,由相似得比例求出AE的長(zhǎng),進(jìn)而求出圓的半徑,即可求出圓的面積.【詳解】證明:連接OD,∵BC為圓O的切線,∴OD⊥CB,∵AC⊥CB,∴OD∥AC,∴∠CAD=∠ODA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠OAD,則DF=(2)解:連接ED,在Rt△ACD中,AC=2,CD=1,根據(jù)勾股定理得:AD=5,∵∠CAD=∠OAD,∠ACD=∠ADE=90°,∴△ACD∽△ADE,∴ADAE=AC∴AE=52,即圓的半徑為5則圓的面積為25π16【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),以及勾股定理,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.23、(1)甲,乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為12萬(wàn)元和10萬(wàn)元.(2)有6種購(gòu)買方案.(3)最省錢的購(gòu)買方案為,選購(gòu)甲型設(shè)備4臺(tái),乙型設(shè)備6臺(tái).【解析】
(1)設(shè)甲、乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元,根據(jù)購(gòu)買了3臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買2臺(tái)乙型設(shè)備多花了16萬(wàn)元,購(gòu)買2臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)乙型設(shè)備少花6萬(wàn)元可列出方程組,解之即可;(2)設(shè)購(gòu)買甲型設(shè)備臺(tái),乙型設(shè)備臺(tái),根據(jù)購(gòu)買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過(guò)110萬(wàn)元列不等式,解之確定m的值,即可確定方案;(3)因?yàn)楣疽竺吭碌漠a(chǎn)量不低于2040噸,據(jù)此可得關(guān)于m的不等式,解之即可由m的值確定方案,然后進(jìn)行比較,做出選擇即可.【詳解】(1)設(shè)甲、乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元,由題意得:,解得:,則甲,乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為12萬(wàn)元和10萬(wàn)元;(2)設(shè)購(gòu)買甲型設(shè)備臺(tái),乙型設(shè)備臺(tái),則,∴,∵取非負(fù)整數(shù),∴,∴有6種購(gòu)買方案;(3)由題意:,∴,∴為4或5,當(dāng)時(shí),購(gòu)買資金為:(萬(wàn)元),當(dāng)時(shí),購(gòu)買資金為:(萬(wàn)元),則最省錢的購(gòu)買方案是選購(gòu)甲型設(shè)備4臺(tái),乙型設(shè)備6臺(tái).【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,弄清題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系、不等關(guān)系列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵.24、(1),,(-1,0);(2)存在P的坐標(biāo)是或;(1)當(dāng)EF最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,)或(,)【解析】
(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)分別過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線,將拋物線與P1,P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;(1)連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形,從而得到OD=EF,然后根據(jù)垂線段最短可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo),從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo),然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】解:(1)∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣1,∴拋物線的解析式為.∵令,解得:,,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,0).故答案為﹣2;﹣1;(﹣1,0).(2)存在.理由:如圖所示:①當(dāng)∠ACP1=90°.由(1)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)AC的解析式為y=kx﹣1.∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得1k﹣1=0,解得k=1,∴直線AC的解析式為y=x﹣1,∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣1.∵將y=﹣x﹣1與聯(lián)立解得,(舍去),∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,﹣4).②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí).設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b.∵將x=1,y=0代入得:﹣1+b=0,解得b=1,∴直線AP2的解析式為y=﹣x+1.∵將y=﹣x+1與聯(lián)立解得=﹣2,=1(舍去),∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣2,5).綜上所述,P的坐標(biāo)是(1,﹣4)或(﹣2,5).(1)如圖2所示:連接OD.由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短.由(1)可知,在Rt△AOC中,∵OC=OA=1,OD⊥AC,∴D是AC的中點(diǎn).又∵DF∥OC,∴DF=OC=,∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是,∴,解得:x=,∴當(dāng)EF最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,)或(,).25、證明過(guò)程見解析【解析】
由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,可求得∠DCE=∠ACB,且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°,可求得∠DEC=∠ABC,再結(jié)合條件可證明△ABC≌△DEC.【詳解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,∴∠5+∠4=∠4+∠3,∴∠5=∠3,且∠B+∠CEA=180°,又∠7+∠CEA=180°,∴∠B=∠7,在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(ASA).26、(1)48°(1)證明見解析(3)【解析】
(1)連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂直的定義可得結(jié)論;
(1)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠ABE=∠AEB,再證明∠BCG=∠DAC,可得,則所對(duì)的圓周角相等,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系可得結(jié)論;
(3)過(guò)O作OG⊥AB于G,證明△COF≌△OAG,則OG=CF=x,AG=OF,設(shè)OF=a,則OA=OC=1x-a,根據(jù)勾股定理列方程得:(1x-a)1=x1+a1,則a=x,代入面積公式可得結(jié)論.【詳解】(1)連接CD,∵AD是⊙O的直徑,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠BCD=90°,∵AD⊥CG,∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ACB=∠G=48°;(1)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,由(1)得:∠G=∠ACB,∴∠BCG=∠DAC,∴,∵AD是⊙O的直徑,AD⊥PC,∴,∴,∴∠BAD=1∠DAC,∵∠COF=1∠DAC,∴∠BAD=∠COF;(3)過(guò)O作OG⊥AB于G,設(shè)CF=x,∵tan∠CAF==,∴AF=1x,∵OC=OA,由(1)得:∠COF=∠OAG,∵∠OFC=∠AGO=90°,∴△COF≌△OAG,∴OG=CF=x,AG=OF,設(shè)OF=a,則OA=OC=1x﹣a,Rt△COF中,CO1=CF1+OF1,∴(1x﹣a)1=x1+a1,a=x,∴OF=AG=x,∵OA=OB,OG⊥AB,∴AB=1AG=x,∴.【點(diǎn)睛】圓的綜合題,考查了三角形的面積、垂徑定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的性
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