求數(shù)列通項的幾種方法

求數(shù)列通項的幾種方法0引言數(shù)列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數(shù)列知識的考察在八十年代末開展到了極致，以后逐漸冷落，但最近幾年又逐漸升溫，隨著與大學(xué)知識的接軌，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題，使數(shù)列通項公式的求法又成為一個熱點.數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一.非等比、等差數(shù)列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎.本文結(jié)合近幾年的高考情況，對數(shù)列求通項公式的方法給以歸納總結(jié).希望能對廣闊考生的復(fù)習(xí)有所幫助.1觀察法觀察法即是通過考察所給的前幾項來寫出數(shù)列通項公式的方法.一般用于解決選擇、填空題.過程：觀察→概括、推廣→猜出一般性結(jié)論.例1數(shù)列的前四項為：11、102、1003、10004、……，那么_____.分析：即.2定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法.這種方法適應(yīng)于數(shù)列類型的題目．利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差〔公比〕后再寫出通項.例2等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前項和為，且,,成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項公式.解設(shè)數(shù)列公差為(>0).∵,,成等比數(shù)列，∴=，即(+2)=(+8)，得:.∵，∴=.………①∵.∴.……………………②由①②得：，.∴.3公式法假設(shè)數(shù)列存在的關(guān)系，那么數(shù)列的通項可用公式求解.利用此公式求解時，要注意對分類討論，但假設(shè)能合寫時一定要合并．例3數(shù)列的前項和滿足．求數(shù)列的通項公式.解由,得:.當(dāng)時，有……，經(jīng)驗證也滿足上式，所以．4累加法求形如=〔為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列〕的數(shù)列通項，可用累加法，即令=2，3，…-1得到-1個式子累加求得通項.思路：令=1,2,…,-1可得,=,=,=,……,=.將這個式子累加起來可得:=++…+.∵可求和.∴=+++…+.當(dāng)然我們還要驗證當(dāng)=1時,是否滿足上式.可能要用到的一些公式：;;.例4數(shù)列中，=1，對任意自然數(shù)都有，求．解由得:，，……，，，以上式子累加，利用得:，.評析：累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到-1個式子累加求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求的前-1項的和，要注意求和的技巧．5累乘法對形如的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令=2，3，…-1得到-1個式子累乘求得通項.思路：令=1,2,…,-1可得:=,=,=,……，=.將這個式子相乘可得:=….∵可求積.∴=….當(dāng)然我們還要驗證當(dāng)=1時,是否適合上式.例5數(shù)列中，，前項和與的關(guān)系是，求通項公式．解由得:.兩式相減得：，.將上面-1個等式相乘得：.評析：累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到個式子累乘求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求的前項的積，要注意求積的技巧．6構(gòu)造法6.1遞推關(guān)系式為=(,為常數(shù))思路：設(shè)遞推式可化為+=(+),得=+(-1),解得=.故可將遞推式化+=(+),.構(gòu)造數(shù)列{},=+,=.即=,{}為等比數(shù)列.故可求出=再將=+代入即可得.例6在數(shù)列{}中,，，求數(shù)列{}的通項公式.解由得：()-()=3.根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列{+}是首項為3，公差為3的等差數(shù)列．所以，所以.評析：求遞推式形如〔、為常數(shù)〕的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納—猜測—證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型.6.2遞推式為=(,為常數(shù))思路：在=兩邊同時除以得:構(gòu)造數(shù)列{},=可得：=.故可利用上類型的解法得到=.再將代入上式即可得.例7數(shù)列{}中,,=()+()n,求.解在=()+()n兩邊同時除以()n+1得:=()×2n+1.構(gòu)造數(shù)列{},=2n可得:=()+1.故可利用上類型解法解得:=3-2×()n.2n=3-2×()n.=3×()n-2×().6.3遞推式為=+〔,為常數(shù)〕思路：設(shè)=+.變形為-=(-).也就是=()-()，那么可得到:=,=-.解得,.于是｛｝就是公比為的等比數(shù)列〔其中=-〕,這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過的類型了．例8數(shù)列{}中,=1,=2,=()·+()·，求.解設(shè)=()+()可以變形為:-=(-x),也就是=()-()，那么可得到：=,=-.可取=1,=-.構(gòu)造數(shù)列｛｝，=-,故數(shù)列｛｝是公比為-的等比數(shù)列.即=(-)n-1.=-=2-1=1.=(-)n-1.-=(-)n-1.故我們可以利用上一類型的解法求得：=1+×[1-()n-1]().7解方程法對于某些數(shù)列與函數(shù)綜合性問題，假設(shè)能根據(jù)條件建立關(guān)于通項的方程，即假設(shè)數(shù)列滿足方程時，那么可通過解方程的思想方法求得通項.例9，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.解,∴,∵,∴.8“歸納—猜測—證明”法數(shù)列各項之間的規(guī)律不明顯，給出了一些與該數(shù)列相關(guān)的一些條件，直接求解或變形都比擬困難時，我們可以通過條件求出該數(shù)列的前有限個項，再來考察該有限個項與之間的規(guī)律.由此猜測出通項，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法表達了思維的探索性：歸納—猜測—證明.它的關(guān)鍵在于猜測.例10(2002全國高考)數(shù)列{}中,=-+1,=2,求.解由可得=2,=3,=4,=5,=6.由此猜測=+1，注：可以用數(shù)學(xué)歸納法證明此題猜測正確.9迭代法求形如(其中，為常數(shù))的數(shù)列通項，可反復(fù)利用遞推關(guān)系迭代求出.根據(jù)遞推關(guān)系式的一般形式〔c為常數(shù)〕、可知，把代入遞推關(guān)系式可得，把代入可得，把代入可得，依次類推，可求出.這就是稱為“迭代”的原因，即屢次代入.但是這種方法要求屢次代入的過程有規(guī)律可循，才能獲得的表達式，此時就能解決問題了.否那么，就要從其它的方面來考慮問題.例11數(shù)列{an}滿足，=1,且，求．解=3+1=3(3+1)+1=32+31+1=…=3n-1+3n-21+3n-31+…+31+1=.評析：因為運用迭代法解題時，一般數(shù)據(jù)繁多，迭代時要小心計算，應(yīng)防止計算錯誤，導(dǎo)致走進死胡同．10奇偶性討論法在有些數(shù)列問題中，有時要對的奇偶性進行分類討論以方便問題的處理.對的奇偶性進行分類討論的一種情形是題目中含有時，分為奇偶即可自然引出討論．分類討論相當(dāng)于增加條件,變不定為確定．例12數(shù)列{}中，=1且=2，求通項公式．解由=2及=2，兩式相除，得：=，那么,,,…，…和,,,…，…都是公比為的等比數(shù)列，又,.那么：〔1〕當(dāng)為奇數(shù)時，；〔2〕當(dāng)為偶數(shù)時，．綜合得:.評析：注意最后能合寫時一定要合并.這是近年高考的新熱點.11化歸法想方設(shè)法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數(shù)列問題來求通項公式的方法即為化歸法．同時，這也是我們在解決任何數(shù)學(xué)問題所必須具備的一種思想.常用的化歸有取對數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題，是高考中的常見方法．例13數(shù)列滿足,且當(dāng),時，有求.解當(dāng)時，由.得：.兩邊同除以得:，即,對1且成立.∴是以首項為5，公差為4的等差數(shù)列．評析：此題借助{}為等差數(shù)列得到了的通項公式，是典型的化歸法．12對數(shù)變換法求型如〔0,0〕的數(shù)列通項，可用對數(shù)變換法.這種類型的題一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為再利用構(gòu)造法求解.另外，還可以采用迭代法求解.例14數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式.解由兩邊取對數(shù)得:=2+.令=,那么+，再利用構(gòu)造法解得：=()=().13換元法對于遞推數(shù)列，假設(shè)令，那么有.再利用累加法可得到數(shù)列的通項.例15數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.解令，那么,故，代入得:.即.因為，故.那么.即.可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.因此，那么，即，得:.評析：此題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式.14不動點法利用遞推數(shù)列的不動點，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比或較易求通項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法.用這種方法的關(guān)鍵是數(shù)列，假設(shè)存在關(guān)系，其中,是關(guān)于的整式函數(shù)，那么可利用不動點法求數(shù)列的通項.例16數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.解令，得：，那么是函數(shù)的不動點.因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，那么，故：.評析：此題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式.15特征根法設(shè)數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式.做出一個方程那么當(dāng)時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.例17數(shù)列滿足：求解作方程當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是,參考文獻[1]陳