2025屆北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．72．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組則的最大值為（）A． B．2 C．5 D．73．“φ＝”是“函數(shù)y=sin（x＋φ）為偶函數(shù)的”（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知直線(xiàn)和，若，則實(shí)數(shù)的值為A．1或 B．或 C．2或 D．或5．如圖，在等腰梯形中，，于點(diǎn)，則（）A． B．C． D．6．下列表達(dá)式正確的是（）①，②若，則③若，則④若，則A．①② B．②③ C．①③ D．③④7．在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．8．已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,則()A．5 B．7 C．9 D．119．已知向量，滿(mǎn)足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為（）A． B．10 C． D．810．已知三棱錐O-ABC，側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2，則以O(shè)為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的體積是（）A．π8 B．π6 C．π二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________.12．某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是13．已知為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)最短時(shí)的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________．14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值是__________.15．若，則的取值范圍是________.16．設(shè)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，底面為平行四邊形，平面．（）求證：平面；（）若，，，求三棱錐的體積；（）設(shè)平面平面直線(xiàn)，試判斷與的位置關(guān)系，并證明．18．已知數(shù)列前項(xiàng)和（），數(shù)列等差，且滿(mǎn)足，前9項(xiàng)和為153.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項(xiàng)和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3=9，a（1）求{a（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=1n(21．已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．2、C【解析】

利用線(xiàn)性規(guī)劃數(shù)形結(jié)合分析解答.【詳解】由約束條件，作出可行域如圖：由得A(3,-2).由，化為，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最小，有最大值為5.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，所以不能推出是，所以是充分不必要條件，故選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)4、C【解析】

利用直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)直接求解．【詳解】∵直線(xiàn)和，若，∴，得，解得或，∴實(shí)數(shù)的值為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，由平面向量的加法運(yùn)算法則結(jié)合向量平行的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，可得，故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及向量平行的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答（求最值與范圍問(wèn)題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）6、D【解析】

根據(jù)基本不等式、不等式的性質(zhì)即可【詳解】對(duì)于①，.當(dāng)，即時(shí)取，而，.即①不成立。對(duì)于②若，則，若，顯然不成立。對(duì)于③若，則，則正確。對(duì)于④若，則，則，正確。所以選擇D【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式以及不等式的性質(zhì)，基本不等式一定要滿(mǎn)足一正二定三相等。屬于中等題。7、D【解析】

因?yàn)?，所以，即；故選D.8、C【解析】

直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求值，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

在上的投影（正射影的數(shù)量）為可知，可求出，求的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队埃ㄕ溆暗臄?shù)量）為，所以，即，而，所以，因?yàn)樗?，即，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在向量上的正射影，向量的數(shù)量積，屬于難題.10、B【解析】

根據(jù)三棱錐三條側(cè)棱的關(guān)系，得到球與三棱錐的重疊部分為球的18【詳解】∵三棱錐O-ABC，側(cè)棱OA,OB,OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC=2，以O(shè)為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的為球的18即對(duì)應(yīng)的體積為18【點(diǎn)睛】本題主要考查球體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用三棱錐與球的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于中等題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由垂直關(guān)系可得數(shù)量積等于零，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確兩向量垂直，則向量數(shù)量積為零.12、3【解析】試題分析：，解得.考點(diǎn)：球的體積和表面積13、或【解析】

利用切線(xiàn)長(zhǎng)最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，求出垂足點(diǎn)．就切線(xiàn)的斜率是否存在分類(lèi)討論，結(jié)合圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑得出切線(xiàn)的方程．【詳解】設(shè)切線(xiàn)長(zhǎng)為，則，所以當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)取最小值時(shí)，取最小值，過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線(xiàn)的斜率不存在，此時(shí)切線(xiàn)的方程為，圓心到該直線(xiàn)的距離為，合乎題意；②若切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)切線(xiàn)的方程為，即.由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得，此時(shí)，所求切線(xiàn)的方程為，即.綜上所述，所求切線(xiàn)方程為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程的求解，考查圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題，在過(guò)點(diǎn)引圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，要對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，另外就是將直線(xiàn)與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑長(zhǎng)，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．14、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，由可得，通過(guò)化簡(jiǎn)可得，代入的值即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，本題解題的關(guān)鍵是看出數(shù)列的公比的值，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

利用反函數(shù)的運(yùn)算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【詳解】由，得所以，又因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、4【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義知，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以,故，解得.故填4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的定義，利用定義求參數(shù)的取值，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3），證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)題意得到，，面從而得到線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）由圖形特點(diǎn)得到面，代入數(shù)據(jù)可得到體積值；（3）證明平面，利用平面平面，可得．.【詳解】（）證明：∵面，面，∴，又∵，面，面，，∴面，（）∵底面為平行四邊形，面，∴面，∴．（）．證明：∵底面為平行四邊形，∴，∵面，面，∴面，又∵面面，面，∴．18、（1），；（2），；（3）11.【解析】

（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由，可得為等差數(shù)列，由已知求出公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列，的通項(xiàng)公式代入，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，可得使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)分類(lèi)分析得答案．【詳解】解：（1）由．故當(dāng)時(shí)，．時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，，又，即，為等差數(shù)列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；（3），①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．此時(shí)，，，．②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)．此時(shí)，．，（舍去）．綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時(shí)平方,利用遞推法可得的表達(dá)式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而結(jié)合首項(xiàng)與公差求得的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且化簡(jiǎn)可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項(xiàng)等比數(shù)列可得所以而當(dāng)時(shí),解得所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知?jiǎng)t代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知?jiǎng)t,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當(dāng)時(shí),,即所以因?yàn)閷?duì)一切的恒成立則滿(mǎn)足,解不等式組可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用,裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.20、（1）an=4n-3【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組，求出首項(xiàng)和公差即可得出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列