2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）正比例函數(shù)與一次函數(shù)（考點(diǎn)精析）（解析版）

正比例函數(shù)與一次函數(shù)

->■?析<-

一?真題精講一

考向-------次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義

考向二一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

考向三用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式

第3講正比例函數(shù)與一次函數(shù)

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一次函數(shù)是中考非常重要的函數(shù)，年年考查，總分值為5-10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考

一定還會(huì)考，一般小題的形式考察一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，大題主要以應(yīng)用題或一次函數(shù)與

幾何圖形綜合為主。

T?考點(diǎn)精析一

一.正比例函數(shù)的概念

一般地，形如尸質(zhì)他是常數(shù)，厚0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中左叫做正比例系數(shù).

二、一次函數(shù)

1.一次函數(shù)的定義

一般地，形如尸質(zhì)+b（匕6為常數(shù)，且厚0）的函數(shù)叫做X的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)支質(zhì)+6中的6=0時(shí)，尸for值是常數(shù)，際0）.這時(shí)，y叫做x的正比

例函數(shù).

2.一次函數(shù)的一般形式

一次函數(shù)的一般形式為嚴(yán)質(zhì)+6,其中左，6為常數(shù)，后0.

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）原0,（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意

實(shí)數(shù).

3.注意

（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

（3）判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成廠質(zhì)+6（厚0）的形式.

三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.正比例函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)

正比例函數(shù)（厚0）的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）的一條直線.

左的符號(hào)函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)

人>0_1圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限y隨x的增大而增大

/0X

k<0圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限V隨X的增大而減小

°7

2.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)

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(1)一次函數(shù)的圖象

一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)》=京+6(原0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6)和(-：,0)的一條直線

k

一次函數(shù)尸乙+貼和)的圖象可由正比例函數(shù)J，=陽(yáng)厚0)的圖象平移得到；b>0,向

圖象關(guān)系

上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；b<0,向下平移同個(gè)單位長(zhǎng)度

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫(huà)一次函數(shù)圖象時(shí)，

圖象確定

只要取兩點(diǎn)即可

(2)一次函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過(guò)的象限函數(shù)性質(zhì)

k>0,b>0--、、一

y=kx+b

y隨x的增大而增大

（省0）

k>0,b<0一、三、四

KO,b>0一、二、四

y=kx+b

y隨x的增大而減小

（際0）y

X

KO,b<0Ox二、三、四

K

3.k,b的符號(hào)與直線>=辰+6(原0)的關(guān)系

在直線產(chǎn)區(qū)+6(原0)中，令y=0,貝,即直線尸點(diǎn)+6與x軸交于,0).

kk

①當(dāng)-9>0時(shí)，即匕6異號(hào)時(shí)，直線與X軸交于正半軸.

k

②當(dāng)-2=o,即40時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

k

③當(dāng)-2<o,即左，6同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于負(fù)半軸.

k

4.兩直線產(chǎn)左ix+bi(A#0)與產(chǎn)左2什兒(W0)的位置關(guān)系：

①當(dāng)k\=kitb#bz,兩直線平行；②當(dāng)ki=kz,b\=bi,兩直線重合；

③當(dāng)k#kz,b\=bi,兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng)k\,fo=-l時(shí)，兩直線垂直.

四、待定系數(shù)法

1.定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析

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式的方法叫做待定系數(shù)法.

2.待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟

（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為尸而（際0）.

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)人的一元一次方程.

（3）解方程，求出待定系數(shù)匕

（4）將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式.

3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟

（1）設(shè)出含有待定系數(shù)七6的函數(shù)解析式j(luò)，=fcv+6.

（2）把兩個(gè)已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)左6的二元一

次方程組.

（3）解二元一次方程組，求出發(fā)b.

（4）將求得的匕6的值代入解析式.

五.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

正比例函數(shù)一次函數(shù)

一般形式y(tǒng)=kx+b（左是常數(shù)，且時(shí)0）y=kx+b（k,b是常數(shù)，且厚0）

圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一條直線

發(fā)的符號(hào)決定其增減性，同人的符號(hào)決定其增減性；6的符號(hào)決定

區(qū)

匕6符號(hào)的作用時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限直線與y軸的交點(diǎn)位置；k,6的符號(hào)

別

共同決定直線經(jīng)過(guò)的象限

求解析式的條只需要一對(duì)X,y的對(duì)應(yīng)值或需要兩對(duì)X,歹的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐

件一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)

比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫(huà)法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線，但畫(huà)一次函數(shù)的

圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫(huà)正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可.

聯(lián)③一次函數(shù)尸質(zhì)+6（#0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)嚴(yán)依（存0）的圖象沿），軸向

系上庇0）或向下（60）平移以個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.由此可知直線尸丘+6（厚0,厚0）

與直線（#0）平行.

④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：

a.當(dāng)左＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；b.當(dāng)心0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.

一?真題精講一

考向-------次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義

1.正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

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2.正比例函數(shù)解析式＞=依（厚0）的結(jié)構(gòu)特征：①時(shí)0；②x的次數(shù)是1.

-x+l（x＜2）

1.（2020?四川中考真題）已知函數(shù)了=彳2,小，當(dāng)函數(shù)值為3時(shí)，自變量x的值

—（%—2）

為（）

223

A.-2B.--C.-2或--D.-2或——

332

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式分別計(jì)算，即可得出結(jié)論.

【解析】解若xv2,當(dāng)尸3時(shí)，-A+1=3,解得：戶-2；

22

若x、2,當(dāng)尸3時(shí)，--=3,解得：---,不合題意舍去；，戶-2,故選：A.

x3

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；根據(jù)分段函數(shù)進(jìn)

行分段求解是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川成都市?九年級(jí)二模）下列函數(shù)關(guān)系式：（1）y=-x；（2）y=x-l；（3）y

=~;（4）其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：（Dy=-x是正比例函數(shù)，是特殊的一次函數(shù)，故正確；

（2）y=x-l符合一次函數(shù)的定義，故正確；（3）y=!屬于反比例函數(shù)，故錯(cuò)誤；

x

（4）y=x?屬于二次函數(shù)，故錯(cuò)誤.綜上所述，一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的定義.本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)

y=kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k#0,自變量次數(shù)為L(zhǎng)

考向二一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.通常畫(huà)正比例函數(shù)產(chǎn)而（厚0）的圖象時(shí)只需取一點(diǎn)（1,k）,然后過(guò)原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫(huà)

直線.

2.當(dāng)左＞0時(shí)，函數(shù)了=履（際0）的圖象從左向右，呈上升趨勢(shì)；當(dāng)心＜0時(shí)，函數(shù)嚴(yán)質(zhì)（原0）

的圖象從左向右，呈下降趨勢(shì).

3,正比例函數(shù)產(chǎn)質(zhì)中，圍越大，直線了=履越靠近y軸；肉越小，直線產(chǎn)履越靠近x軸.

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4.一次函數(shù)圖象的位置和函數(shù)值〉的增減性完全由b和比例系數(shù)k的符號(hào)決定.

3.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）下列各點(diǎn)在函數(shù)＞=2xT圖象上的是（）

A.（-1,3）B.（0.1）C.（1,-1）D.（2,3）

【答案】D

（分析］根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將選項(xiàng)中的各點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式＞=2xT,

進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：：一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，

，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-i,

A.當(dāng)x=-l時(shí)，y=-3,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.當(dāng)x=o時(shí)，y=-l,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.當(dāng)X=1時(shí)，y=l,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.當(dāng)x=2時(shí)，y=3,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在

函數(shù)圖象上，是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）若直線＞=去（上是常數(shù)，左）經(jīng)過(guò)第一、第三象限，

則上的值可為（）

1

A.-2B.-1C.——D.2

2

【答案】D

（分析］通過(guò)經(jīng)過(guò)的象限判斷比例系數(shù)k的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【詳解】1,直線＞（上是常數(shù)，左N0）經(jīng)過(guò)第一、第三象限，

k＞0,

,后的值可為2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記比例系數(shù)與圖象經(jīng)過(guò)的象限之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

5.（2020?山東濟(jì)南?中考真題）若初＜-2,則一次函數(shù)＞=（加+l）x+l-加的圖象可能

是（）

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【答案】D

【分析】由-2得出m+l<0,進(jìn)而利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解析】解：'：m<-2,/n+1<0,1-m>0,

所以一次函數(shù)>=（加+l）x+l—加的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，掌握一次函數(shù)>=b+6

中的左/對(duì)函數(shù)圖像的影響是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)y=-2x的圖象向右

平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到一次函數(shù)卜=履+方依w0）的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為（）

A.y=-2x+3B.y——2x+6C.y=-2x—3D.y——2x—6

【答案】B

［分析］根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：正比例函數(shù)y=-2x的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得：

y=-2（x—3）=—2x+6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-3的圖象是（）

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［分析膿據(jù)一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（o,-3）和,即可得到一次函數(shù)y=2x-3

的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限.

【詳解】解：一次函數(shù)>=2尤-3中，令x=0,貝獨(dú)=-3；令y=0,貝口二萬(wàn)，

二一次函數(shù)了=2》-3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-3）和（|,0）,

上一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線.

8.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=x+l的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)左=1>0,6=1>0即可求解.

【詳解】解：:一次函數(shù)y=x+i中左=1>0,6=1>0,

二一次函數(shù)V=X+1的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=kx-\的函數(shù)值>隨x的增大而減小，當(dāng)x=2

時(shí)，y的值可以是（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

（分析］根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把X=2代入函數(shù)y=kx-l,從而判

斷函數(shù)值了的取值.

［詳解】?.?一次函數(shù)y=kx-\的函數(shù)值夕隨x的增大而減小

..k<0

.?.當(dāng)x=2時(shí)，y=2k-l<-\

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/（2,〃?）在直線y=2x-g上,

過(guò)點(diǎn)/的直線交〉軸于點(diǎn)8（0,3）.

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（1）求m的值和直線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若點(diǎn)P&M）在線段上，點(diǎn)。卜-1,左）在直線>上，求乂-%的最大值.

331S

【答案】（1）相=彳，y=--x+3；（2）~

【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式可求解m,然后設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為

y=kx+b,進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解函數(shù)解析式；

Q5Q

（2）由（1）及題意易得必=-[+3（0V）,^=2（?-l）--=2f--,則有

乂一愁=一孑+3-0-:卜一》+3,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

sa

【詳解】（1）解：把點(diǎn)工（2,㈤代人>得根=子

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為尸h+b,把點(diǎn)N（2,0,8（0,3）代人得

3「3

2k+b=—卜/口k=一一

,2,解得4,

6=3.b=3.

3

二直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-：x+3.

4

（2）解：1?點(diǎn)尸（口）在線段上，點(diǎn)。（"1,為）在直線y=2x彳上，

359

*e-必=-7+3（0</<2）,y2=2（r-l）--=2Z--,

/.%-%的值隨工的增大而減小，

.?.當(dāng)t=0時(shí)，乂-%的最大值為

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

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考向三用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式

運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟可簡(jiǎn)單記為：一設(shè)，二代，三解，四回代.

11.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸（0』），點(diǎn)/（4」），

以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到點(diǎn)2,在此（-1,-6）,

心R,26）四個(gè)點(diǎn)中，直線P8經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）

A.MB.Mc.MD.M4

【答案】B

【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得網(wǎng)2,1+26），利用待定系數(shù)法可得直線尸3

的解析式，依次將AG，M2,四個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)代入＞=岳+1中可解答.

【詳解】解：1?點(diǎn)/（4,1），點(diǎn)尸（0,1）,

軸，PA=4,

由旋轉(zhuǎn)得：AAPB=60°,AP=PB=4,

如圖，過(guò)點(diǎn)2作8cly軸于C,

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ZBPC=30°,

BC=2,PC=20,

S（2,1+2V3））,

設(shè)直線PB的解析式為：y=kx+b,

4+6=1+26

則1,，

b=\

?<

"b=\'

二直線PB的解析式為：y=岳+1,

當(dāng)X=-l時(shí)，y=-V3+l,

.?.點(diǎn)Mx（-1,-不在直線PB上，

當(dāng)&=-立時(shí)，y=+1=0,

3I3J

在直線尸3上，

當(dāng)x=l時(shí)y=6+1,

.?.”3（1，6-1）不在直線依上，

當(dāng)x=2時(shí)，>=2e+1,

.?.監(jiān)修,2招）不在直線必上.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點(diǎn)3的坐標(biāo)

是解本題的關(guān)鍵.

12.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）已知一次函數(shù)廣丘+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（L3）和（-1,2）,則

k2—b2=.

【答案】-6

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【分析】把點(diǎn)(1,3)和(T2)代入y=h+b,可得，::12,再整體代入求值即可?

【詳解】解：,?,一次函數(shù)廣履+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)和(-1,2),

'''[-k+b=2,即"=-2，

左2—/>2=(笈+6)(左-&)=3X(-2)=-6；

故答案為：-6

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，利用平方

差公式分解因式，熟練的利用平方差公式求解代數(shù)式的值是解本題的關(guān)鍵.

14.已知函數(shù)y=(2m+l)x+m-3；

⑴若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值；

⑵若函數(shù)圖象在y軸的截距為-2,求m的值；

⑶若函數(shù)的圖象平行直線y=3x-3,求m的值；

⑷若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍.

【答案】⑴m=3；⑵m=1；⑶m=1；⑷m<-；.

【分析】

⑴根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可得m-3=0,且2m+lX0,再解即可；

⑵根據(jù)題意可得m-3=-2,解方程即可；

⑶根據(jù)兩函數(shù)圖象平行，k值相等可得2m+l=3；

⑷根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得2m+l<0,再解不等式即可.

【詳解】

解：⑴?.?函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

.,.m-3=0,且2m+1#0,

解得：m=3；

⑵；函數(shù)圖象在y軸的截距為-2,

.-.m-3=-2,J