期中復(fù)習(xí)構(gòu)造全等三角形常見輔助線作法培優(yōu)教案(橫版)

構(gòu)造全等三角形、常見輔助線作法適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國新課標課時時長（分鐘）60分鐘知識點1.三角形全等證明思路2.構(gòu)造全等三角形3.常見輔助線的作法教學(xué)目標知識與技能1、掌握三角形全等的證明思路，學(xué)會遷移運用，舉一反三；2、掌握構(gòu)造全等三角形的基本方法，對每種方法進行歸納總結(jié)，內(nèi)化為自己的解題方法；3、掌握常見輔助線的做法，遇到相應(yīng)的題型是要能快速的想到如何做輔助線4、經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。過程與方法1、以學(xué)生為主，把握上課重難點，以經(jīng)典例題為主，灌輸解題的思想給學(xué)生；2、把握重難點、考點結(jié)合學(xué)生的實際以及期中考試的熱點問題、經(jīng)典例題進行針對性的鞏固訓(xùn)練；3、引導(dǎo)學(xué)生由簡單到復(fù)雜，通過實例操作、總結(jié)、歸納出證明三角形全等的一般證明思路、如何構(gòu)造全等三角形、常見輔助線的作法與證明過程。情感、態(tài)度與價值觀1、培養(yǎng)學(xué)生歸納、推理的能力；2、培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力；3、培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有強烈的好奇心和求知欲；4、在學(xué)習(xí)過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；5、體會數(shù)學(xué)的特點，了解數(shù)學(xué)的價值。教學(xué)重點1.三角形全等證明思路2.構(gòu)造全等三角形教學(xué)難點常見輔助線的作法

教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入已知：如圖，B、E、F、C四點共線，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求證：OA=OD．問題：大家對上面這道題目如何解答呢？大家覺得全等三角形這一章哪部分內(nèi)容最那學(xué)，可能你會說全等三角形的證明，對，的確是；如果再具體一點的話，應(yīng)該是如何作輔助線、構(gòu)造全等三角形吧，OK，那么對于這類問題我該如何入手呢？這就是今天我們這堂課所要重點解決的問題。

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（一）全等三角形的概念性質(zhì)全等三角形的基本概念:全等形的定義:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。重合的邊叫做對應(yīng)邊。重合的角叫做對應(yīng)角。(3)全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

（二）在運用全等三角形的基本性質(zhì)時，其關(guān)鍵是找對應(yīng)邊，對應(yīng)角，找對應(yīng)邊和對應(yīng)角通常有以下幾種方法：全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；有公共角的，公共角是對應(yīng)角；有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。

（三）全等三角形的判定1.全等三角形判定1：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS);2.全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS);3.全等三角形判定3：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA);4.全等三角形判定4：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS);5.全等三角形判定5：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)。

（四）證明三角形全等的思路通過對問題的分析，將解決的問題歸結(jié)到證明某兩個三角形的全等后，采用哪個全等判定定理加以證明，可以按下圖思路進行分析：切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等。

（五）利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個三角形找出來；（2）證明這兩個三角形全等；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線段（或角）相等。

（六）角平分線的性質(zhì)、判定(1)角平分線的性質(zhì)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號語言：∵在的平分線上于，于(2)角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。角平分線判定的符號語言：于，于且∵在的平分線上（或?qū)懗墒堑钠椒志€）

（七）提分技巧角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時，就不需要再通過證明三角形全等來間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。在利用角平分線的性質(zhì)時，可由“角平分線”和“距離”這兩個條件得出線段相等，這兩個條件缺一不可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時，可由“距離”和“線段相等”這兩個條件得出角平分線，這兩個條件也是缺一不可的。

三、知識講解考點/易錯點1全等三角形的證明思路通過對問題的分析，將解決的問題歸結(jié)到證明某兩個三角形的全等后，采用哪個全等判定定理加以證明，可以按下圖思路進行分析：切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等?？键c/易錯點2構(gòu)造全等三角形1、由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形；2、利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角；3、利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。

考點/易錯點3常見輔助線的作法1.連接四邊形的對角線；2、作垂線，利用角平分線的知識；3、倍長中線；4、“截長補短”構(gòu)造全等三角形；提分技巧：當(dāng)給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時，需要我們認真觀察、分析，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點，挖掘潛在因素，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙構(gòu)造全等三角形，借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就可迅速找到證題的途徑。

四、例題精析【例題1】【題干】如圖，四點共線，，，，。求證：．【答案】見解析.【解析】證明：∵，在與中∵AE=BFAC=BD∴(HL)∵，即在與中∵AF=BE(SAS)．

【例題2】【題干】（昆明）已知：如圖，AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上一點．求證：BF=CF．【答案】見解析.【解析】證明：∵在△ABD和△ACD中AB＝∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，在△BAF和△CAF中AB＝∴△BAF≌△CAF（SAS），∴BF=CF．

【例題3】【題干】如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：延長交于在與中∵ (ASA)又.

【例題4】【題干】如圖，//，//，求證：．【答案】見解析.【解析】證明：連接∵//，//，在與中∵(ASA)。

【例題5】【題干】如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點。求證：為的平分線.【答案】見解析.【解析】證明：過作于，于，于∵平分，于，于∵平分，于，于∵，∵，且于，于為的平分線.【例題6】【題干】如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：延長至點，使，連接在與中∵AE=FE∠(SAS)∵，又∵∵，在與中∵AD=AD∠(SAS)又∵.

【例題7】【題干】如圖，在中，，，為上任意一點。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：法一：在上截取，連接在與中∵AN=AC∠1=∠2AP=AP(SAS)∵在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延長至，使，連接在與中∵AB=AM(SAS)∵在中，。

五、課堂運用【基礎(chǔ)】1.如圖，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求證：BD=EC+ED．【答案】見解析.【解析】證明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中∠ABD∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．

2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，且BE=CF．求證：AD平分∠BAC．【答案】見解析.【解析】證明：∵D是BC的中點∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴點D在∠BAC的平分線上，∴AD平分∠BAC．3、如圖所示，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于點O，OD=OE．求證：AB=AC．【答案】見解析.【解析】證明：在△BOD和△COE中，∠BOD∴△BOD≌△COE（ASA），∴OB=OC，∴OB+OE=OC+OD，即BE=CD．在△ABE和△ACD中，∠A∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC．

4.如圖，已知CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，CD、BE交于點N，且DB=EC．求證：AB=AC．【答案】見解析.【解析】解：在△CEN和△BDN中∵CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，∴∠CEN=∠BDN，∵∠CNE=∠BND，DB=CE，∴△CEN≌△BDN，∴CN=BN，EN=DN，∴CN+DN=BN+EN，∴CD=BE，∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．

5.已知：如圖，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC．求證：OB=OD．【答案】見解析.【解析】證明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，BC=CD，AC是公共邊，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠DCO=∠BCO，在△BCO和△DCO中，∵BC=CD，CO是公共邊，∠DCO=∠BCO，∴△BCO≌△DCO（SAS）∴OB=OD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

【鞏固】1.如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF．（1）求證：△FBD≌△ACD；（2）延長BF交AC于E，求證：BF=2CE．【答案】見解析.【解析】證明：（1）∵△DBC是等腰直角三角形，∴DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，在△FBD和△ACD中，BD＝∴△FBD≌△ACD（SAS），（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠ACD=∠FBD，AE=BF，∵∠BDF=90°，∴∠FBD+∠DFB=90°，∵∠CFE=∠BFD，∴∠EFC+∠ACD=90°，∴∠CEF=180°-90°=90°=∠BEA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，∠ABE∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=EC，∵BF=AC，∴BF=2CE．

2.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC．【答案】見解析.【解析】證明：在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，AE＝AB∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC．

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點，求證：∠1=∠2．【答案】見解析.【解析】證明：如圖，延長AB交DC延長線于點M，延長AE交CD延長線于點N，∵∠B=∠E，∠C=∠D，∴180°-∠B=180°-∠E，180°-∠C=180°-∠D，即∠CBM=∠DEN，∠BCM=∠EDN，在△BCM和△EDN中，∵∠CBM∴△BCM≌△EDN（ASA），∴∠M=∠N，CM=DN，∴AM=AN（等角對等邊），∵F是CD中點，∴F是MN中點，∴∠1=∠2（等腰三角形三線合一）．

4.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上．求證：BC=AB+DC．【答案】見解析.【解析】證明：延長BE交CD的延長線于點F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠F=∠ABE，∠A=∠FDA，∴∠F=∠CBE，∴CF=BC，∵CE平分∠BCD，∴BE=EF（三線合一），在△ABE和△DFE中，∠F∴△ABE≌△FDE（ASA），∴FD=AB，∵CF=DF+CD，∴CF=AB+CD，∴BC=AB+CD．

【拔高】1.如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由．【答案】見解析.【解析】解：AB=AC+BD，理由是：在AB上截取AC=AF，連接EF，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，在△CAE和△FAE中AC＝∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C=∠AFE，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠EFB+∠AFE=180°，∴∠D=∠EFB，∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠FBE，在△BEF和△BED中∠D∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD，∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD∴AB=AC+BD．

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE是角平分線，CD⊥BE交BE的延長線于點D，求證：BE=2CD．【答案】見解析.【解析】證明：延長BA和CD交于Q，∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，∴∠ACQ=∠ABE，在△ABE和△ACQ中，∠ABE∴△ABE≌△AC