北京市徐悲鴻中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市徐悲鴻中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為了了解我校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．24 B．48 C．56 D．642．為了了解所加工的一批零件的長(zhǎng)度，抽測(cè)了其中個(gè)零件的長(zhǎng)度，在這個(gè)工作中，個(gè)零件的長(zhǎng)度是（）A．總體 B．個(gè)體 C．樣本容量 D．總體的一個(gè)樣本3．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．4．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．5．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．6．在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn).若，且與所成的角為，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．7．在正方體中，與棱異面的棱有（）A．8條 B．6條 C．4條 D．2條8．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則等于（）A． B． C． D．10．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點(diǎn),那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，過直角頂點(diǎn)作射線交線段于點(diǎn)，則的概率為______．12．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時(shí)n的值為____________．13．已知直線l過定點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為______.14．如圖，將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，按照這樣的排列規(guī)律，第行從右至左的第3個(gè)數(shù)為___________．15．設(shè)函數(shù)，則的值為__________．16．在長(zhǎng)方體中，，，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則該長(zhǎng)方體的中心的坐標(biāo)為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，的最小值為2，求的最小值.18．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若在恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，解不等式.19．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績(jī)選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績(jī)的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績(jī)的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來(lái)自甲班的概率．20．已知向量，向量，向量，記與的夾角為．(Ⅰ)求(Ⅱ)求向量與向量的夾角的取值范圍．21．設(shè)角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖可知從左到右的前3個(gè)小組的頻率之和，再根據(jù)頻率之比可求出第二組頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解.【詳解】由直方圖可知，從左到右的前3個(gè)小組的頻率之和為，又前3個(gè)小組的頻率之比為，所以第二組的頻率為，所以學(xué)生總數(shù)，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率，頻數(shù)，總體，屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)總體與樣本中的相關(guān)概念進(jìn)行判斷.【詳解】由題意可知，在這個(gè)工作中，個(gè)零件的長(zhǎng)度是總體的一個(gè)樣本，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查總體與樣本中相關(guān)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為（0,0），所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由兩向量平行，其向量坐標(biāo)交叉相乘相等，得到.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算，注意符號(hào)的正負(fù).5、D【解析】

不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根據(jù)同向不等式可以相加，可判定B的真假；根據(jù)a-b>0則b-a<0，進(jìn)行判定C的真假；a的符號(hào)不確定，從而選項(xiàng)D不一定成立，從而得到結(jié)論．【詳解】∵a，b∈R，并且a>b，∴?a<?b，故A一定正確；a>b，?1>?2，根據(jù)同向不等式可以相加得，a?1>b?2，故B一定正確；a?b>0則b?a<0，所以a?b>b?a，故C一定正確；不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，而a的符號(hào)不確定，故D不一定正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=BD，所以EH∥FG，且EH=FG．所以四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)锳C=BD=a，AC與BD所成的角為60°所以EF=EH．所以四邊形EFGH為菱形，∠EFG=60°．∴四邊形EFGH的面積是2××()2=a2故答案為a2，故選A.考點(diǎn)：本題主要是考查的知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體和公理四，公理四：和同一條直線平行的直線平行，證明菱形常用方法是先證明它是平行四邊形再證明鄰邊相等，以及面積公式屬于基礎(chǔ)題．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是先證明四邊形EFGH為菱形，然后說明∠EFG=60°，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出所求．7、C【解析】

在正方體12條棱中，找到與平行的、相交的棱，然后計(jì)算出與棱異面的棱的條數(shù).【詳解】正方體共有12條棱，其中與平行的有共3條，與與相交的有共4條，因此棱異面的棱有條，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了異面直線的判斷.8、A【解析】

設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【詳解】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計(jì)2.3日蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、B【解析】

依據(jù)為周期函數(shù)，得到，并項(xiàng)求和，即可求出的值。【詳解】因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，周期為4，所以，，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和方法——并項(xiàng)求和法的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的周期性，分論討論思想，意在考查學(xué)生的推理論證和計(jì)算能力。10、C【解析】

連接DF,因?yàn)镈F與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè)，求出的長(zhǎng)，由幾何概型概率公式計(jì)算．【詳解】設(shè)，由題意得，，∴的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，考查長(zhǎng)度型幾何概型．掌握幾何概型概率公式是解題關(guān)鍵．12、7【解析】

利用，得的值【詳解】因?yàn)?，，所以?.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題13、或.【解析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【詳解】設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①.因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問題，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

由題可以先算出第行的最后一個(gè)數(shù),再?gòu)挠抑磷笏愠龅?個(gè)數(shù)即可.【詳解】由圖得,第行有個(gè)數(shù),故前行一共有個(gè)數(shù),即第行最后一個(gè)數(shù)為,故第行從右至左的第3個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和問題,注意從右至左的第3個(gè)數(shù)為最后一個(gè)數(shù)減2.15、【解析】

根據(jù)反正切函數(shù)的值域，結(jié)合條件得出的值.【詳解】，且，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查反正切值的求解，解題時(shí)要結(jié)合反正切函數(shù)的值域以及特殊角的正切值來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出M的坐標(biāo).【詳解】由題得B(4,6,0),,因?yàn)镸點(diǎn)是中點(diǎn)，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)討論法解絕對(duì)值不等式；（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，得或或，解得：，∴不等式的解集為.（2），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)討論法解絕對(duì)值不等式，考查絕對(duì)值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)1；(2)(3)見解析【解析】

（1）解方程可得零點(diǎn)；（2）恒成立，可分離參數(shù)得，這樣只要求得在上的最大值即可；（3）注意到的定義域，不等式等價(jià)于，這樣可根據(jù)與0，1的大小關(guān)系分類討論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令得，，∵，∴函數(shù)的零點(diǎn)是1（2）在恒成立，即在恒成立，分離參數(shù)得：，∵，∴從而有：.（3）令，得，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以等價(jià)于（1）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，原不等式的解集是（2）當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集是（3）當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集是（4）當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集是綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式恒成立問題，考查解含參數(shù)的一元二次不等式．其中不等式恒成立問題可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，而解一元二次不等式，必須對(duì)參數(shù)分類討論，解題關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)．解一元二次不等式的分類標(biāo)準(zhǔn)有三個(gè)方面：一是二次的系數(shù)正負(fù)或者為0問題，二是一元二次方程的判別式的正負(fù)或0的問題，三是一元二次方程兩根的大小關(guān)系．19、（3）甲班參加；（4）．【解析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來(lái)自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績(jī)更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

（Ⅰ）由向量夾角公式可求，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得原式，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.（Ⅱ）作出圖象，結(jié)合直角中，求得，進(jìn)而得到，，即可求得向量與向量的夾角的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由向量夾角公式可求，又由，因?yàn)椋?，故原?．（Ⅱ）如圖所示，向量的終點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓上，是圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在直角中，，可得，即所以，因?yàn)椋?，，所以向量與向量的夾角的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，向量的夾角公式的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值問題，其中解答中熟記向量的夾角公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵