2023-2024學年廈門市重點中學高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學年廈門市重點中學高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數(shù)，若關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．己知，，若軸上方的點滿足對任意，恒有成立，則點縱坐標的最小值為（）A． B． C．1 D．23．棱長為2的正方體的內切球的體積為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，下列結論錯誤的是()A．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) B．在上恰有一個零點C．是周期函數(shù) D．在上是增函數(shù)5．正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A．4 B．3 C．2 D．16．的內角的對邊分別為成等比數(shù)列，且，則等于（）A． B． C． D．7．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．對于任意實數(shù)，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標如圖所示，它是由個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是，小正方形的面積是，則()A． B． C． D．10．已知中，，，，那么角等于（）A． B． C．或 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．12．若，則=_________________13．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．14．數(shù)列滿足下列條件：，且對于任意正整數(shù)，恒有，則______.15．已知向量，則與的夾角為______．16．若，點的坐標為，則點的坐標為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設為棱的中點，求二面角的余弦值.18．已知數(shù)列滿足（，且），且，設，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）對于任意，，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．如圖，在三棱錐中，側面與側面均為邊長為2的等邊三角形，，為中點.(1)證明:;(2)求點到平面的距離.20．數(shù)列滿足，.（1）試求出，，；（2）猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明.21．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)a與b的值；（2）若函數(shù)，數(shù)列為正項數(shù)列，，且當，時，，設（），記數(shù)列和的前項和分別為，且對有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由已知中函數(shù)，若關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，可以根據(jù)函數(shù)的圖象分析出實數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）則方程（*）的兩個解在（1，2]，可得，解得，故選：B.【點睛】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結合是解答本題的關鍵．2、D【解析】

由題意首先利用平面向量的坐標運算法則確定縱坐標的解析式，然后結合二次函數(shù)的性質確定點P縱坐標的最小值即可.【詳解】設，則，，故，恒成立，即恒成立，據(jù)此可得：，故，當且僅當時等號成立.據(jù)此可得的最小值為，則的最小值為.即點縱坐標的最小值為2.故選D.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標運算，二次函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、C【解析】

根據(jù)正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等可得結果.【詳解】因為棱長為2的正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等，所以直徑，內切球的體積為，故選：C.【點睛】本題主要考查正方體的內切球的體積，利用正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等求出半徑是解題的關鍵.4、B【解析】

將函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關系，化成，再對選項進行一一驗證，即可得答案.【詳解】∵，對A，∵，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A命題正確；對B，令，解關于的一元二次方程得：，∵，∴方程存在兩個根，∴在上有兩個零點，故B錯誤；對C，顯然是函數(shù)的一個周期，故C正確；對D，令，則，∵在單調遞減，且，又∵在單調遞減，∴在上是增函數(shù)，故D正確；故選：B【點睛】本題考查復合函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、零點，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意復合函數(shù)周增異減原則.5、C【解析】

由及等比數(shù)列的通項公式列出關于q的方程即可得求解.【詳解】，即有，解得或，又為正項等比數(shù)列，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和，屬于基礎題.6、B【解析】

成等比數(shù)列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【詳解】解：成等比數(shù)列，，又，，則故選B．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7、D【解析】

對于A，利用線面平行的判定可得A正確.對于B，利用線面垂直的性質可得B正確.對于C，利用面面垂直的判定可得C正確.根據(jù)平面與平面的位置關系即可判斷D不正確.【詳解】對于A，根據(jù)平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則這條直線平行于這個平面，可判定A正確.對于B，根據(jù)垂直于同一個平面的兩條直線平行，判定B正確.對于C，根據(jù)一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，可判定C正確.對于D，若，則或相交，所以D不正確.故選：D【點睛】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定，同時考查了線面垂直的性質，屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)是任意實數(shù)，逐一對選項進行分析即得?！驹斀狻坑深}，當時，，則A錯誤；當，時，，則B錯誤；可知，則有，因此C正確；當時，有，可知C錯誤.故選：C【點睛】本題考查判斷正確命題，是基礎題。9、C【解析】

根據(jù)題意即可算出每個直角三角形的面積，再根據(jù)勾股定理和面積關系即可算出三角形的兩條直角邊．從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設三角形的邊長分別為，則有，所以，所以，選C.【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計算，屬于基礎題．10、B【解析】

先由正弦定理求出，進而得出角，再根據(jù)大角對大邊，大邊對大角確定角．【詳解】由正弦定理得：，，∴或，∵，∴，∴，故選B.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用以及大邊對大角，大角對大邊的三角形邊角關系的應用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題.12、【解析】分析：由二倍角公式求得，再由誘導公式得結論．詳解：由已知，∴．故答案為．點睛：三角函數(shù)恒等變形中，公式很多，如誘導公式、同角關系，兩角和與差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先選用哪個公式后選用哪個公式在解題中尤其重要，但其中最重要的是“角”的變換，要分析出已知角與未知角之間的關系，通過這個關系都能選用恰當?shù)墓剑?3、【解析】

易得四面體為長方體的一角,再根據(jù)長方體體對角線等于外接球直徑,再利用對角線公式求解即可.【詳解】因為四面體中,平面,且,.故四面體是以為一個頂點的長方體一角.設則因為四面體的外接球的表面積為,設其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【點睛】本題主要考查了長方體一角的四面體的外接球有關問題,需要注意長方體體對角線等于外接球直徑.屬于中檔題.14、512【解析】

直接由，可得，這樣推下去，再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結論。【詳解】故選C。【點睛】利用遞推式的特點，反復帶入遞推式進行計算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結果，本題是一道中等難度題目。15、【解析】

設與的夾角為，由條件，平方可得，由此求得的值．【詳解】設與的夾角為，，則由，平方可得，解得，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，向量的模的定義，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．16、【解析】試題分析：設，則有，所以，解得，所以.考點：平面向量的坐標運算.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）由題意結合正弦定理可得，據(jù)此可證得平面，從而可得題中的結論；（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，由空間向量的結論求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則設平面的一個法向量為則解得，，即設平面的一個法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.18、(1)見解析（2）(3).【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項公式.（2）根據(jù)（1）得到進而得到數(shù)列通項公式，再利用錯位相減法得到前n項和.（3）首先判斷數(shù)列的單調性計算其最大值，轉換為二次不等式恒成立，將代入不等式，計算得到答案.【詳解】（1）因為，所以，，所以是等比數(shù)列，其中首項是，公比為，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以兩式相減得.所以.（3），所以當時，，當時，，即，所以當或時，取最大值是.只需，即對于任意恒成立，即所以.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，錯位相減法求前N項和，數(shù)列的單調性，數(shù)列的最大值，二次不等式恒成立問題，綜合性強，計算量大，意在考查學生解決問題的能力.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題設AB=AC=SB=SC=SA，連結OA，推導出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能證明SO⊥平面ABC;（2）設點B到平面SAC的距離為h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出點B到平面SAC的距離．【詳解】（1）由題設，連結，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面，故AC⊥SO．（2）設B到平面SAC的距離為，則由（Ⅰ）知：三棱錐即∵為等腰直角三角形,且腰長為2.∴∴∴△SAC的面積為=△ABC面積為,∴,∴B到平面SAC的距離為【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查點到平面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．20、（1）,,（2），證明見詳解.【解析】

（1）由題意得,在中分別令可求結果；（2）由數(shù)列前四項可猜想,運用數(shù)學歸納法可證明.【詳解】解：（1）,當時,,,當時,,,當時,,,所以,,（2）猜想下面用數(shù)學歸納法證明：假設時,有成立,則當時,有,故對成立.【點睛】該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的項、通項公式,考查數(shù)學歸納法,考查學生的運算求解能力.21、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，再由，得;（2），將原式化簡得到，進而得到，數(shù)列的前項和，，原恒成立問題轉化為對恒成立，對n分奇偶得到最值即可.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，，得，又，得.（2）由（1）知，得，又，化簡得到：，又，所以，又，故，則數(shù)列的前項和；又，則數(shù)列的前項和為，對恒成立對恒成立對恒成立，令，則當為奇數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增，故有；當為偶數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增，故有.綜上得