四川省綿陽市涪城區(qū)南山中學(xué)高三仿真理科數(shù)學(xué)試題

綿陽南山中學(xué)2023年高考仿真考試數(shù)學(xué)試題（理科）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合B中的不等式，得到集合B，由交集的定義求.【詳解】由，不等式解得，則，又，所以.故選：A2.已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知等式求出復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3.若向量，，且，則（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求，再由向量的模的坐標(biāo)表示即得.【詳解】由，可得，所以，，.故選：D.4.不等式“”是“”成立（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式，求出解集，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】，解得，，解得，因?yàn)?，但，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A5.某電影制片廠從2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片、科教影片的時長（單位；分鐘）如圖所示，則（）A.該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片時長的中位數(shù)為270分鐘B.該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的平均數(shù)小于660分鐘C.該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的標(biāo)準(zhǔn)差大于紀(jì)錄影片時長的標(biāo)準(zhǔn)差D.該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的極差是紀(jì)錄影片時長的極差的4倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對圖中數(shù)據(jù)的分析，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和極差的定義與計算方法，依次求解即可.【詳解】A：該廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片時長從小到大排列為：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A錯誤；B：該廠2013年至2022年科教影片時長的平均數(shù)為：，故B錯誤；C：由圖可知，科教影片時長的數(shù)據(jù)波動程度比紀(jì)錄影片時長的大，所以科教影片時長的標(biāo)準(zhǔn)差大于記錄影片時長的標(biāo)準(zhǔn)差，故C正確；D：科教影片時長的極差為，記錄影片時長的極差為，有，故D錯誤.故選：C.6.在中，，，，則的面積為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件可利用余弦定理將邊求出，再將求出，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】在中，由余弦定理得,,整理得解得（舍）由,可得故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于簡單題.7.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖是直角邊長分別為2和4的兩個全等的直角三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】講立方體放在長方體中進(jìn)行還原，根據(jù)體對角線得出外接球半徑，最后算出外接球表面積.【詳解】在長為4、寬為2、高為2的正方體還原上述幾何體如下圖所示：該幾何體為一個三角錐形，外接球半徑為，該外接球表面積為：.故選：D8.記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，若，由，得，所以，因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，故所以，因?yàn)椋瑒t的最小值為3.故選：B.9.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故選：C.10.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平移法則確定函數(shù)關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)對稱性和單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又在上單調(diào)遞增，由，得，即，平方并化簡，得，解得，即x的取值范圍為.故選：C11.擲鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運(yùn)動員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運(yùn)動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】由扇形弧長公式可求得圓心角，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作圖如下，由題意知：的長為，為的中點(diǎn)，，，即所求距離約為米.故選：A.12.已知函數(shù)，若有兩個極值點(diǎn)、且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】有兩個極值點(diǎn)，則方程有兩個實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，可知，，隨a的減小而增大，當(dāng)時解得，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，有兩個極值點(diǎn)，則有兩個零點(diǎn)，即方程有兩個實(shí)根，也即方程有兩個實(shí)根，令，則，所以解得，解得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時；時，，據(jù)此可作出函數(shù)的圖像如下：首先當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，其次，由圖可知，且當(dāng)時，隨a的減小而增大，不妨考慮的情形，此時，因?yàn)?，所以，將代入得：，兩式相除得，故，即．所以?dāng)且僅當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)、且．故選：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.（x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____.【答案】6；【解析】【分析】先得出二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)，令，可得答案.【詳解】因?yàn)椋▁﹣）4的展開式中的通項(xiàng)為：，令，得，所以（x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14.雙曲線的離心率為2，則右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線離心率結(jié)合方程求出，得到右焦點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線漸近線方程，利用公式求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：15.已知

的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率__________.【答案】【解析】【分析】分別求兩條曲線的切線方程，比較系數(shù)得a的值.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，切線方程為，即，設(shè)的圖象的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.16.如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，記平面與平面ABCD的交線，平面與平面的交線，若直線AB與所成角為，直線AB與所成角為，則的值是______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，得到為直線，故，利用邊長關(guān)系求出，再得到，，由三角形全等得到，從而計算出的值.【詳解】延長與直線CD相交于F，連接AF，則平面與平面ABCD的交線為AF，即為直線，故即為，又∵，∴，∵E是棱的中點(diǎn)，且，∴，∴，又為銳角，且，，則，又∵平面平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又∵，故直線AB與所成角為，又，故，所以，故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17－21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.“體育強(qiáng)則國家強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，多參加體育運(yùn)動能有效增強(qiáng)中學(xué)生的身體素質(zhì).籃球和排球是我校學(xué)生最為喜愛的兩項(xiàng)運(yùn)動，為調(diào)查喜愛運(yùn)動項(xiàng)目與性別之間的關(guān)系，某調(diào)研組在校內(nèi)隨機(jī)采訪男生、女生各50人，每人必須從籃球和排球中選擇最喜愛的一項(xiàng)，其中喜愛排球的歸為甲組，喜愛籃球的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員48人，其中男生18人.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，填空下述列聯(lián)表：甲組乙組合計男生女生合計（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān)?（3）現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)放禮品，求這3人中在甲組中的人數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中為樣本容量.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有95%的把握（3）分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件填列聯(lián)表;(2)計算,與表格數(shù)據(jù)比較,判斷即可;(3)先應(yīng)用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再應(yīng)用古典概型計算概率，列出分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】列聯(lián)表甲組乙組合計男生183250女生302050合計4852100【小問2詳解】零假設(shè)為：學(xué)生選排球還是籃球與性別無關(guān)由列聯(lián)表可得；有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).【小問3詳解】按分層抽樣，甲組中女生3人，乙組中女生2人，，∴概率分布列為123數(shù)學(xué)期望.18.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值，【答案】（1）證明見解析，（2）7【解析】【分析】（1）利用數(shù)列中與的關(guān)系，得，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前m項(xiàng)和，由求m的值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，，解得．當(dāng)時，，則，整理得，故，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以【小問2詳解】，數(shù)列的前m項(xiàng)和，則，則，則，解得，故m的值為7．19.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．（1）已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；（2）已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．【答案】（1）證明見解析（2）AF的長為4；．【解析】【分析】（1）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面DCE的法向量，計算出，證明出BG與平面DCE不平行；（2）由BF與平面DCE所成角的正弦值計算出AF的長，從而求出梯形ABEF的面積，計算出四棱錐的體積.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BEF，AB，平面ABEF，所以，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?，且不存在使得與垂直，所以BG與平面DCE不平行；【小問2詳解】設(shè)（且），則，所以，∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，∴，化簡得，解得或（舍去）；故．此時梯形ABEF的面積，故．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且滿足，連接，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）記，的面積分別為，，求的最小值及此時點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定點(diǎn)及點(diǎn)到直線的距離，可求，，結(jié)合基本不等式，可得的最小值與點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線焦點(diǎn)，可得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，【小問2詳解】設(shè)直線，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，即，所以，且，又，，的方程為，即點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時點(diǎn)為，即的最小值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．21.已知函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，利用不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由恒成立，通過換元可得，構(gòu)造函數(shù)證明，可證問題中的不等式.小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值是，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【小問2詳解】在（1）中，令時，，令，得，即，令，則，所以，，令，則．且不恒為零．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則．所以，，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討