2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.12sin2θ<1，則θA.第一或第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第三象限角2.對于任意非零向量a,b,c，若a,b在cA.a?b//c B.a+3.2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”(圖1)就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積(厚度忽略不計)，測得各項數(shù)據(jù)(圖2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cA.6.8cm2 B.9.8cm24.已知向量a=(sinθ,cosθ)，A.22 B.2 C.5.函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖像如圖所示，A.22 B.?22 6.若tan2α=43A.?12或2 B.?2或12 C.7.剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形ABCD的邊長為4，點P在四段圓弧上運動，則AP?AB的取值范圍為A.

?4,12 B.?8,248.已知a=1718，b=cos13，A.b>a>c B.b>c二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB=CD=5，ADA.四邊形ABCD為梯形

B.四邊形ABCD的面積為5534

C.10.下列命題正確的是(

)A.向量a在向量bb≠0上的投影為c，則c=abcosa,bb．

B.已知m=(1,2),n=(3,t)，若m與m+2n的夾角不為銳角，則t的取值范圍為11.已知函數(shù)f(x)=cosxA.fx在區(qū)間0,π6單調(diào)遞增

B.fx的圖象關(guān)于直線x=π對稱

C.fx的值域為0,9三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在?ABC中，sinA:sinB13.設(shè)a,b,c是單位向量，且a+b14.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在△ABC中，已知AB=(1)求(2)若BC>AC16.(本小題12分)已知向量a=2cos(1)若a/(2)若θ=(ⅰ)求fx(ⅱ)當(dāng)fx取最小值時，求與a垂直的單位向量c的坐標(biāo)．17.(本小題12分)如圖所示，矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在?ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M，N在線段DE(含端點)上，且點M(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的取值范圍；((2)求S18.(本小題12分)在銳角?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b(1)求?A(2)求A19.(本小題12分)“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，使得∠AOB=∠BOC=∠C(1)求(2)若bc=2，設(shè)點P(3)設(shè)點P為?ABC的費馬點，P答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】求解指數(shù)不等式可得sin2θ>【詳解】由(1得sin2∴2即kπ∴θ故選：C．2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)投影向量和投影的關(guān)系以及投影的計算方法直接求解即可．【詳解】由題意得，a在c上的投影為acos同理，b在c上的投影為b?因為任意非零向量a,b在所以a,b在所以a?cc+b故選：D3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查弧長及扇形面積，弧度制與角度制，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)給定圖形求出圓心角∠A【解答】解：顯然?AOB為等腰三角形，OA=即∠OAB所以璜身的面積近似為12故選：C．4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．

根據(jù)a?b=【解答】

解：因為a?b=2sinθ+cosθ，b=3，a?b=|b|，

從而2sinθ+cos5.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)題意，過C作CD⊥x軸于點D【詳解】過C作CD⊥x軸于點D因為?ABC是等腰直角三角形，所以A則ω=2πT=因為OB=3所以A?12,0所以12×π2+因為0<φ<π，所以則f1故f0故選：A6.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用正切的二倍角公式求出tanα【詳解】tan2α=2===代入tanα求得值均為：2故選：C．7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．

以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點P的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得【解答】

解：以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)點Px,y，易知點P的橫坐標(biāo)x又AP=x,y

，A故選：B．8.【答案】D

【解析】【分析】利用單位圓證明不等式α∈【詳解】如圖，α∈(0,π2)，角α的終邊交單位圓O過點P作PM⊥x軸于點M而PM=y=sin則c=3tan13所以c>故選：D9.【答案】AB【解析】【分析】直接利用余弦定理，三角形的面積公式，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，和等差數(shù)列的證明對選項逐一判斷即可．【詳解】對于A，∵AB=連接AC,BD，由AB所以?BAD∴∠BC顯然AB不平行CD，即四邊形AB對于B，在?AB=5在?BCD∴49=CB2+5∴S∴S∴SAB對于C，由B可知，BD2=49，∴B對于D，在?ABD中，AD=3，AB故選：AB10.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可判斷A；根據(jù)向量夾角不為銳角得cos?m,m+2n?≤0，或cos?m,m+2n【詳解】對于A，根據(jù)投影向量定義，向量a在向量b上的投影向量為|a即c=|a|cos對于B，因為m=且m+又因為m與m+所以cos?m即7+4+解得t≤?114或?qū)τ贑，因為HA所以HA?故H故HB即點H為?ABC對于D，由A(x1,y點A到直線OB的距離d所以?OAB故D正確．故選：AC11.【答案】BC【解析】【分析】利用符合函數(shù)的單調(diào)性判斷A，計算出f2π?x=fx即可判斷B，利用換元法求出函數(shù)的值域，即可判斷C，求出函數(shù)在[【詳解】對于A：當(dāng)x∈0,所以f(因為y=sinx2在所以sinx因為4916>3，即74>所以2?又y=?2x2所以y=1?2sin2x對于B：因為f2所以fx的圖象關(guān)于直線x=π對于C：因為fx令t=sinx2，則t∈則ht在0,14上單調(diào)遞增，在14,1所以ht∈0,98，所以對于D：當(dāng)x∈[0,2由A選項可令α∈0,則當(dāng)x∈0,令α2<x2<π2，即α所以fx在α又sin2π?α2=sinα2=1所以fx在π當(dāng)2π?α2<x2<π所以fx在2又f0=f2π所以fx在[由圖可知：①當(dāng)a=0時y=即關(guān)于x的方程f(x)=a②當(dāng)0<a<1或a=即關(guān)于x的方程f(x)=a所以兩根之和為2π③當(dāng)1≤a<98即關(guān)于x的方程f(x)=a在區(qū)間[所以x1與x4關(guān)于x=π對稱，x2所以x1④當(dāng)a<0或a>98即關(guān)于x的方程f(x)綜上可得，若關(guān)于x的方程f(x)=a在區(qū)間[故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于D選項關(guān)鍵是分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點問題，結(jié)合函數(shù)的對稱性求出方程的根的和．12.【答案】?2【解析】【分析】本題考查利用余弦定理解三角形，考查正弦定理，屬于中檔題．

先根據(jù)正弦定理得到三邊的比例，再根據(jù)余弦定理求出角C，進而可得答案．【解答】

解：設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

由正弦定理得a:不妨設(shè)a=3，則b由余弦定理得：cos?因C∈0,A+故答案為：?213.【答案】1?【解析】【分析】根據(jù)向量運算法則和向量的夾角范圍即可得答案．【詳解】由a+b=即a2從而a?又a,b是單位向量，所以設(shè)a+b,則a=1當(dāng)c與a+b同向時，a?當(dāng)c與a+b反向時，a?故答案為：1?14.【答案】2

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及相關(guān)應(yīng)用，屬于中檔題．

需要由圖求出正弦型函數(shù)的解析式，解一元二次不等式得到f(x)【解答】

解：34T=13π12?π3=34π,可得T=π,ω=2.

將x=π315.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理可得：

ABsinC=ACsinB，即2222=23sinB，

解得sinB=32，

又0<B<π，AC>AB，

故B=π3或B=2π3．

(2)由BC>AC，可得A>B，故B=【解析】本題考查正弦定理，正弦型函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．

(1)由正弦定理及角B的范圍可得B的大小;

(2)得到f(x)=16.【答案】(因為a=2cosx,則2cos即2整理得2cosx(因為θ=π4，則a可得f==設(shè)t=因為x∈0,可得sinx?π(ⅰ)設(shè)gt因為gt=?由二次函數(shù)性質(zhì)可得：gtmax=所以fx的值域為0(ⅱ)當(dāng)fx取最小值時，即t=?1設(shè)c=x,y，由題意可得2所以c=5

【解析】(1)根據(jù)向量共線可得(2)根據(jù)數(shù)量積結(jié)合三角恒等變換整理可得fx=?32sinx?cosx217.【答案】解：(1)在△PME∠PEM由正弦定理得PM所以PM同理在△PNE所以PN所以△PM=當(dāng)M與E重合時，θ=0；當(dāng)N與D重合時，因為tan54≈3，所以即有∠APD綜上可得，S=82sin?(2θ+π?4)+1，θ∈[

【解析】本題考查三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)，利用正弦定理解三角，三角恒等變換的綜合應(yīng)，求正弦型函數(shù)的值域或最，是中檔題．

(1)由正弦定理求出PM，PN，根據(jù)三角形的面積公式求出△PMN的面積S；

18.【答案】(因為bcos所以b?又因為CB?C所以tanC=3，又由余弦定理得cosC=a所以a2由基本不等式得a2故ab+4≥2S△當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，S最大值為(由正弦定理得asin所以b=433A===4因為?A所以A∈0,π2則2A+πAC

【解析】(1)由余弦定理、向量數(shù)量積定義以及三角形面積公式求出邊c和角C，再結(jié)合基本不等式可得ab(2)由正弦定理得19.【答案】解：(1)因為cos2B+cos2C?cos2A=1，

所以1?2sin2B+1?2sin2C?1+2sin2A=1，

故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理得a2=b2+c2，

故△ABC直角三角形，即A=π2．

(2)如圖所示，由(