2024年遼寧省名校聯(lián)盟高考模擬數(shù)學試題（信息卷）數(shù)學試題（解析版）（四）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）（四）數(shù)學一、選擇題1.已知的實部為，且為純虛數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為復數(shù)的實部為，所以可設，，所以，因為為純虛數(shù)，所以，所以，所以，故選：D.2.已知集合，若，則（）A.3 B.2 C.1 D.1或3〖答案〗C〖解析〗由題意知：對于集合B，當時，；當時，；當時，；又，故，則，若，則，此時，不滿足；若，此時，滿足，故，故選：C.3.已知直線與曲線相切，則的方程不可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在點處的切線的斜率.對于A、B項，由可得，，解得.當時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故B項正確.當時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故A項正確；對于C、D項，由可得，，解得，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故C項正確，D項錯誤.故選：D.4.造紙術是我國古代四大發(fā)明之一，目前我國紙張采用國際標準，復印紙A系列紙張尺寸的長寬比都是，.紙張的面積為1平方米，長寬比為，將紙張的長邊對折切開得到兩張紙張，將的長邊對折切開得到兩張紙張，依次類推得到紙張，，…，.則紙張的長等于（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.210毫米 B.297毫米 C.149毫米 D.105毫米〖答案〗C〖解析〗由已知的面積分別為平方米，的面積為平方米.設的長寬分別為，，則，故。故選：C.5.為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（）A.48種 B.36種 C.24種 D.12種．〖答案〗A〖解析〗滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，第二類，區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有種，故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，顯然，兩邊同時乘以可得，，整理可得，所以，，兩邊同時平方可得，即，解得或.當時，，此時，不滿足題意，舍去.所以，.故選：A.7.已知點在橢圓上，的左、右焦點分別為，則滿足的點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由橢圓可得半焦距，故.設，則,所以即，而，故，故滿足條件的的個數(shù)為2，故選：B8.將一塊棱長為1的正方體木料，打磨成兩個球體藝術品，則兩個球體的體積之和的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗要使兩個球的體積之和最大，則應滿足兩個球互相外切，并且分別與正方體的面相切，即應有兩個球球心連線位于正方體的體對角線上.如圖，設兩球的圓心分別為，半徑為，由已知可得，，，，所以，，則，，.又，所以，，.因為，所以.又兩球的體積之和，.當時，有，即函數(shù)在上單調遞減；當時，有，即函數(shù)在上單調遞增.當時，，所以，.又，所以，函數(shù)的最大值為.故選：B.二、選擇題9.已知第一組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標準差為；第二組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標準差為．若滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，對于A，設在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，則在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，故A錯誤；對于B，因為樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當為偶數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當為奇數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確；對于C，因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，即，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對于D，因為樣本數(shù)據(jù)的標準差為，樣本數(shù)據(jù)的標準差為，則，，，所以，故D錯誤.故選：BC.10.已知正三棱柱的底面邊長為，高為，記異面直線與所成角為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗在正三棱柱中，設的中點為，連接,則平面，,以O為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，對于A，當時，，則，則，由于異面直線與所成角為，范圍為大于小于等于，故，A正確；對于B，，則，由于，則，解得或，B錯誤；對于C，當時，，則，則，故，則，C正確；對于D，若，則，則，則，則，解得或（舍），D正確；故選：ACD11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，則，當時，有，所以在上單調遞增；當時，有，所以在上單調遞減.所以，在處取得唯一極大值，也是最大值，所以，，即，所以；令，則，當時，有，所以在上單調遞減；當時，有，所以在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，，即，所以；令，則恒成立，所以在上單調遞減.又，所以，當時，恒成立，所以，即在上恒成立，所以；令，則在上恒成立，所以，在上單調遞增.又，所以在上恒成立，即，即，所以，.所以，；令，則.令，則.因為在上恒成立，所以在上恒成立，所以，在上單調遞增.又，所以在上恒成立，即在上恒成立，在上單調遞增.又，所以在上單調遞增，所以，，即；令，則在上恒成立，所以，在上單調遞減.又，所以，即，所以，.因為，所以，即.綜上所述，.故選：ACD.三、填空題12.已知向量不共線，，若，則________.〖答案〗〖解析〗由，不共線，故存在實數(shù)，使，即有，即有，解得.故〖答案〗為：.13.某廠家為了保證防寒服的質量，從生產(chǎn)的保暖絮片中隨機抽取多組，得到每組纖維長度（單位：）的均值，并制成如下所示的頻率分布直方圖，由此估計其纖維長度均值的分位數(shù)是___________.〖答案〗36〖解析〗由頻率分布直方圖可得從左到右前6個矩形面積之和為：，前7個矩形面積之和為，故纖維長度均值的分位數(shù)位于第7組內，設纖維長度均值的分位數(shù)為x，則，解得，即估計其纖維長度均值的分位數(shù)是36，故〖答案〗為：36.14.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與一條漸近線交于點（異于點），直線與另一條漸近線交于點,且，則的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設，即，則右焦點到直線OP的距離為，又，則，又，在中，在中，又因為，所以，解得，所以離心率為，故〖答案〗為：四、解答題15.已知的內角的對邊分別為．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．解：（1）由題意知中，，即，即，故，而；（2）由（1）知，而，故由正弦定理得，則，由為銳角三角形，則，則，故的周長，而，故，故的周長的取值范圍為.16.土壤食物網(wǎng)對有機質的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細菌分解途徑為主導的土壤，有機質降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉化比較緩慢，有利于有機質存財和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號12345678細菌百萬個708090100110120130140真菌百萬個8.010.012.515.017.521027.039.0其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．（1）求關于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（2）在做土壤相關的生態(tài)環(huán)境研究時，細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，解：（1）由于，故，令，則，，則，，故，則關于的經(jīng)驗回歸方程為；（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比依次為：，，故樣本中比值位于內的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，則,，故X的分布列為：X01234P則.17.如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，四邊形為梯形，，且．（1）求證：平面平面；（2）當時，平面與平面能否垂直？若能，求出菱形的邊長；若不能，請說明理由．（1）證明：設，交點為，連接，因為四邊形為菱形，所以，，又因為，所以，因為，平面，且，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：由，，，在中，可得，所以，故，又由（1）知平面平面，平面平面，且平面，所以平面，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，取，可得，，故，設平面法向量為，則，取，可得，，故，因為平面與平面垂直，故，解得，此時，故存在邊長為的菱形，使平面與平面垂直.18.已知定點，動點在直線上，過點作的垂線，該垂線與的垂直平分線交于點，記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知點，動點在上，滿足，且與軸不垂直．請從①在上；②三點共線；③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．注：如果選擇不同組合分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由題意：動點到點的距離與到直線：的距離相等，所以的軌跡是以為焦點，以直線：為準線的拋物線，所以的方程為：（2）若選擇①③②，如圖：因為，，都在上，所以，所以，可設，.且.由所以此時，，所以，即，所以A，B，Q三點共線.若選擇①②③如圖：此時點可在線段上任意選擇一點，則和未必滿足③，故該選擇無法證明.若選擇②③①，因為，且，，所以，設，.因為（*）又因為三點共線，所以因為，所以，代入（*）整理得：因為，故，所以在曲線：上.19.已知函數(shù)．（1）當時，判斷在區(qū)間內的單調性；（2）若有三個零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.（1）解：當時，，，令，，令，可得，則當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，又，，故當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增；（2）（i）解：有三個零點，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當時，，當時，，即在、上單調遞增，在上單調遞減，，當時，，時，，當時，，時，，故時，有三個根；（ii）證明：由在上單調遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調遞增，則，即得證.遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）（四）數(shù)學一、選擇題1.已知的實部為，且為純虛數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為復數(shù)的實部為，所以可設，，所以，因為為純虛數(shù)，所以，所以，所以，故選：D.2.已知集合，若，則（）A.3 B.2 C.1 D.1或3〖答案〗C〖解析〗由題意知：對于集合B，當時，；當時，；當時，；又，故，則，若，則，此時，不滿足；若，此時，滿足，故，故選：C.3.已知直線與曲線相切，則的方程不可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在點處的切線的斜率.對于A、B項，由可得，，解得.當時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故B項正確.當時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故A項正確；對于C、D項，由可得，，解得，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故C項正確，D項錯誤.故選：D.4.造紙術是我國古代四大發(fā)明之一，目前我國紙張采用國際標準，復印紙A系列紙張尺寸的長寬比都是，.紙張的面積為1平方米，長寬比為，將紙張的長邊對折切開得到兩張紙張，將的長邊對折切開得到兩張紙張，依次類推得到紙張，，…，.則紙張的長等于（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.210毫米 B.297毫米 C.149毫米 D.105毫米〖答案〗C〖解析〗由已知的面積分別為平方米，的面積為平方米.設的長寬分別為，，則，故。故選：C.5.為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（）A.48種 B.36種 C.24種 D.12種．〖答案〗A〖解析〗滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，第二類，區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有種，故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，顯然，兩邊同時乘以可得，，整理可得，所以，，兩邊同時平方可得，即，解得或.當時，，此時，不滿足題意，舍去.所以，.故選：A.7.已知點在橢圓上，的左、右焦點分別為，則滿足的點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由橢圓可得半焦距，故.設，則,所以即，而，故，故滿足條件的的個數(shù)為2，故選：B8.將一塊棱長為1的正方體木料，打磨成兩個球體藝術品，則兩個球體的體積之和的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗要使兩個球的體積之和最大，則應滿足兩個球互相外切，并且分別與正方體的面相切，即應有兩個球球心連線位于正方體的體對角線上.如圖，設兩球的圓心分別為，半徑為，由已知可得，，，，所以，，則，，.又，所以，，.因為，所以.又兩球的體積之和，.當時，有，即函數(shù)在上單調遞減；當時，有，即函數(shù)在上單調遞增.當時，，所以，.又，所以，函數(shù)的最大值為.故選：B.二、選擇題9.已知第一組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標準差為；第二組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標準差為．若滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，對于A，設在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，則在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，故A錯誤；對于B，因為樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當為偶數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當為奇數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確；對于C，因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，即，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對于D，因為樣本數(shù)據(jù)的標準差為，樣本數(shù)據(jù)的標準差為，則，，，所以，故D錯誤.故選：BC.10.已知正三棱柱的底面邊長為，高為，記異面直線與所成角為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗在正三棱柱中，設的中點為，連接,則平面，,以O為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，對于A，當時，，則，則，由于異面直線與所成角為，范圍為大于小于等于，故，A正確；對于B，，則，由于，則，解得或，B錯誤；對于C，當時，，則，則，故，則，C正確；對于D，若，則，則，則，則，解得或（舍），D正確；故選：ACD11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，則，當時，有，所以在上單調遞增；當時，有，所以在上單調遞減.所以，在處取得唯一極大值，也是最大值，所以，，即，所以；令，則，當時，有，所以在上單調遞減；當時，有，所以在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，，即，所以；令，則恒成立，所以在上單調遞減.又，所以，當時，恒成立，所以，即在上恒成立，所以；令，則在上恒成立，所以，在上單調遞增.又，所以在上恒成立，即，即，所以，.所以，；令，則.令，則.因為在上恒成立，所以在上恒成立，所以，在上單調遞增.又，所以在上恒成立，即在上恒成立，在上單調遞增.又，所以在上單調遞增，所以，，即；令，則在上恒成立，所以，在上單調遞減.又，所以，即，所以，.因為，所以，即.綜上所述，.故選：ACD.三、填空題12.已知向量不共線，，若，則________.〖答案〗〖解析〗由，不共線，故存在實數(shù)，使，即有，即有，解得.故〖答案〗為：.13.某廠家為了保證防寒服的質量，從生產(chǎn)的保暖絮片中隨機抽取多組，得到每組纖維長度（單位：）的均值，并制成如下所示的頻率分布直方圖，由此估計其纖維長度均值的分位數(shù)是___________.〖答案〗36〖解析〗由頻率分布直方圖可得從左到右前6個矩形面積之和為：，前7個矩形面積之和為，故纖維長度均值的分位數(shù)位于第7組內，設纖維長度均值的分位數(shù)為x，則，解得，即估計其纖維長度均值的分位數(shù)是36，故〖答案〗為：36.14.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與一條漸近線交于點（異于點），直線與另一條漸近線交于點,且，則的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設，即，則右焦點到直線OP的距離為，又，則，又，在中，在中，又因為，所以，解得，所以離心率為，故〖答案〗為：四、解答題15.已知的內角的對邊分別為．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．解：（1）由題意知中，，即，即，故，而；（2）由（1）知，而，故由正弦定理得，則，由為銳角三角形，則，則，故的周長，而，故，故的周長的取值范圍為.16.土壤食物網(wǎng)對有機質的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細菌分解途徑為主導的土壤，有機質降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉化比較緩慢，有利于有機質存財和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號12345678細菌百萬個708090100110120130140真菌百萬個8.010.012.515.017.521027.039.0其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．（1）求關于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（2）在做土壤相關的生態(tài)環(huán)境研究時，細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，解：（1）由于，故，令，則，，則，，故，則關于的經(jīng)驗回歸方程為；（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比依次為：，，故樣本中比值位于內的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，則,，故X的分布列為：X01234P則.17.如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，四邊形為梯形，，且．（1）