2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷數(shù)學試題（文）（全國卷）（解析版）（三）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學試題（文）（全國卷）一、選擇題1.若為實數(shù)（為虛數(shù)單位），則實數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因為為實數(shù)，故，得．故選：D．2.設全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構成的集合，故為全體非負偶數(shù)構成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團共有4家超市，2023年4家超市的年利潤最小值和最大值分別為200萬元和240萬元，若4家超市2023年年利潤的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團的總利潤為（）A.980萬元 B.920萬元 C.880萬元 D.840萬元〖答案〗C〖解析〗設4家超市2023年的年利潤從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團的總利潤為880萬元．故選:C．5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，顯然它定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，，則，所以，.故選：C.6.若橢圓的離心率為，則的值為（）A B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗時，離心率為，解得；當時，離心率為，解得.綜上所述：或.故選：D7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺，且圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積為．故選：B．8.已知，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.9.已知直線與圓交于兩點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．10.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內(nèi)容為:設,則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：C．11.已知為定義在上的單調函數(shù)，且對，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，所以，即，設，易知在上單調遞增，所以，即，故，所以．故選：B．12.已知函數(shù)在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因為，所以，若在上有且僅有4個零點，則，解得，令，得，因為，所以．當，當，當，只有D符合.故選：D．二、填空題13.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設，則為可行域內(nèi)的點與點連線的斜率，可知當直線過點位于時，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數(shù)在處有公共切線一個函數(shù)______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題，，，〖答案〗不唯一，滿足，即可.取，則，顯然滿足，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.在中，，，且，則邊上的高______.〖答案〗6〖解析〗，注意到，，可得，，，由正弦定理得，得，所以.故〖答案〗為：6.16.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過原點O的直線l：與C交于A，B兩點，O為坐標原點.若，則的面積為______.〖答案〗2〖解析〗由雙曲線的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，因為，所以平行四邊形為矩形，故，，不妨設點A在C的右支上，，則，所以，得，所以.故〖答案〗為：2三、解答題（一）必考題17.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡稱病毒）是一種個體微小、結構簡單、只含一種核酸（DNA或RNA）的非細胞型生物.一部分病毒可以感染人類，導致人類出現(xiàn)病毒性疾病.研究人員為了研究某種病毒在常溫下的存活時間與空氣相對濕度（以下簡稱濕度）的關系，對100株該種病毒樣本的存活時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，如果存活時間超過8小時，即認為該株病毒“長期存活”，經(jīng)統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表.存活株數(shù)濕度長期存活非長期存活濕度40%以上15a濕度40%及以下b45（1）以頻率估計概率，若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為，求a，b；（2）是否有95%把握認為病毒“長期存活”與濕度有關.附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為，則，所以，解得.又，解得，所以，.（2）得到列聯(lián)表如下存活株數(shù)濕度長期存活非長期存活合計濕度40%以上153550濕度40%及以下54550合計2080100根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得.所以有95%以上的把握認為病毒“長期存活”與濕度有關.18.已知數(shù)列的前n項和為,，,且當時,.（1）求；（2）設數(shù)列的前n項和為，證明：.（1）解：由，，得，當時，，故，即，所以，，，，…，，將各等式左、右兩邊分別相加得，.，符合上式，所以.（2）證明：由（1）知，所以，因為，所以，所以.得證.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側面是邊長為4的正三角形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求點A到平面SBC的距離.（1）證明：取CD中點E，連接SE，AE，BE，易得，，因為，，所以，，，故，又，，所以，故，因為平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因為平面SCD，所以平面平面ABCD.（2）解：由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB邊上的高，所以.設點A到平面SBC的距離為d，則，即，解得，所以點A到平面SBC的距離為.20.已知函數(shù).（1）當時，求的單調遞減區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（）.①求實數(shù)b的取值范圍；②證明：.（1）解：當時，，的定義域為..令，得.所以的單調遞減區(qū)間為.（2）①解：，.因為有兩個極值點，，所以方程有兩個不等正根，，所以，解得.則實數(shù)b的取值范圍為.②證明：.所以.令，下面證明，求導得，顯然在上單調遞增.因為，，且在上連續(xù)，所以，函數(shù)存在唯一零點，即.并且時，，時，，所以.因為，根據(jù)對勾函數(shù)的性質得在上單調遞增，則，所以，所以.命題得證.21.已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線在兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義，知點到拋物線準線的距離，所以當時，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在兩點處的切線與坐標軸不垂直，設在點處切線方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立得，，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點處的切線方程為．設，由，得，由（1）知，所以，所以點的橫坐標為．（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線：與曲線C和直線l分別交于A，B兩點，求.解：（1）由，得，得，將，代入得，即.由直線l的極坐標方程為，得，將，代入得，所以曲線C的極坐標方程為，直線l的直角坐標方程為.（2）將代入曲線C：，得，將代入直線l：，得，所以.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，由得，即或或解得，所以不等式的解集為．（2）設，易得在上單調遞增，故．又，當且僅當時，等號成立．所以只需，解得或，所以實數(shù)t的取值范圍為．四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學試題（文）（全國卷）一、選擇題1.若為實數(shù)（為虛數(shù)單位），則實數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因為為實數(shù)，故，得．故選：D．2.設全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構成的集合，故為全體非負偶數(shù)構成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團共有4家超市，2023年4家超市的年利潤最小值和最大值分別為200萬元和240萬元，若4家超市2023年年利潤的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團的總利潤為（）A.980萬元 B.920萬元 C.880萬元 D.840萬元〖答案〗C〖解析〗設4家超市2023年的年利潤從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團的總利潤為880萬元．故選:C．5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，顯然它定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，，則，所以，.故選：C.6.若橢圓的離心率為，則的值為（）A B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗時，離心率為，解得；當時，離心率為，解得.綜上所述：或.故選：D7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺，且圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積為．故選：B．8.已知，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.9.已知直線與圓交于兩點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．10.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內(nèi)容為:設,則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：C．11.已知為定義在上的單調函數(shù)，且對，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，所以，即，設，易知在上單調遞增，所以，即，故，所以．故選：B．12.已知函數(shù)在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因為，所以，若在上有且僅有4個零點，則，解得，令，得，因為，所以．當，當，當，只有D符合.故選：D．二、填空題13.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設，則為可行域內(nèi)的點與點連線的斜率，可知當直線過點位于時，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數(shù)在處有公共切線一個函數(shù)______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題，，，〖答案〗不唯一，滿足，即可.取，則，顯然滿足，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.在中，，，且，則邊上的高______.〖答案〗6〖解析〗，注意到，，可得，，，由正弦定理得，得，所以.故〖答案〗為：6.16.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過原點O的直線l：與C交于A，B兩點，O為坐標原點.若，則的面積為______.〖答案〗2〖解析〗由雙曲線的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，因為，所以平行四邊形為矩形，故，，不妨設點A在C的右支上，，則，所以，得，所以.故〖答案〗為：2三、解答題（一）必考題17.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡稱病毒）是一種個體微小、結構簡單、只含一種核酸（DNA或RNA）的非細胞型生物.一部分病毒可以感染人類，導致人類出現(xiàn)病毒性疾病.研究人員為了研究某種病毒在常溫下的存活時間與空氣相對濕度（以下簡稱濕度）的關系，對100株該種病毒樣本的存活時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，如果存活時間超過8小時，即認為該株病毒“長期存活”，經(jīng)統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表.存活株數(shù)濕度長期存活非長期存活濕度40%以上15a濕度40%及以下b45（1）以頻率估計概率，若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為，求a，b；（2）是否有95%把握認為病毒“長期存活”與濕度有關.附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為，則，所以，解得.又，解得，所以，.（2）得到列聯(lián)表如下存活株數(shù)濕度長期存活非長期存活合計濕度40%以上153550濕度40%及以下54550合計2080100根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得.所以有95%以上的把握認為病毒“長期存活”與濕度有關.18.已知數(shù)列的前n項和為,，,且當時,.（1）求；（2）設數(shù)列的前n項和為，證明：.（1）解：由，，得，當時，，故，即，所以，，，，…，，將各等式左、右兩邊分別相加得，.，符合上式，所以.（2）證明：由（1）知，所以，因為，所以，所以.得證.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側面是邊長為4的正三角形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求點A到平面SBC的距離.（1）證明：取CD中點E，連接SE，AE，BE，易得，，因為，，所以，，，故，又，，所以，故，因為平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因為平面SCD，所以平面平面ABCD.（2）解：由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB邊上的高，所以.設點A到平面SBC的距離為d，則，即，解得，所以點A到平面SBC的距離為.20.已知函數(shù).（1）當時，求的單調遞減區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（）.①求實數(shù)b的取值范圍；②證明：.（1）解：當時，，的定義域為..令，得.所以的單調遞減區(qū)間為.（2）①解：，.因為有兩個極值點，，所以方程有兩個不等正根，，所以，解得.則實數(shù)b的取值范圍為.②證明：.所以.令，下面證明，求導得，顯然在上單調遞增.因為，，且在上連續(xù)，所