江西八所重點中學(xué)2024屆高三聯(lián)考考后提升數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練一（含答案與解析）

江西八所重點中學(xué)2024屆高三聯(lián)考考后提升卷

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知拋物線8》上一點尸的橫坐標(biāo)為%則點P到焦點的距離為()

A.4B.2C.6D.8

2.集合A---<x<——>,B=\xx=+—C=A5,則集合C中的元素個數(shù)為()

22J[2

A.4B.3C.2D.1

3.已知正項等比數(shù)列｛%｝中，4=1,S〃為為前〃項和，55=553-4,則邑=()

A.7B.9C.15D.20

4.棣莫弗公式(cos犬+i?sinx)"=cos5jr)+i?sin(〃%)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗

(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)”05m+16m三]在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.若函數(shù)"X)的導(dǎo)數(shù)/'(%)=*-5版,/(%)的最小值為0,則函數(shù)y=/(%)—cosx的零點為()

A.0B.+72C.±2D.2E(左wZ)

6.如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，

則符合條件的種植方案有()種.

A.36B.48

C.54D.72

7.若/(x)=2sin%(Gcos%—sin%),且/(藥)/(尤2)=—3，則上―目的最小值為()

兀一兀

A.兀B.—C.2兀D.一

24

8.如圖，ZPOQ=60°,等邊ABC邊長為2,〃為BC中點，G為ABC的重心，B,C分別在射線

OP,。。上運動，記M的軌跡為C-G的軌跡為C?,貝。()

Q

A.G為部分圓，G為部分橢圓

B.G為部分圓，G為線段

c.G為部分橢圓，G為線段

D.G為部分橢圓，G也為部分橢圓

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：

X0123

Pa0.40.30.2

若離散型隨機變量y滿足y=3x+i,則（）

A.EX=\.6B.￡7=5.8

C.DX=1.84D.DY=7.56

10.如圖，函數(shù)/（x）=Asin（ox+G）［A>0,o>0,［d<］］的圖象與x軸的其中兩個交點為A,B,與y

軸交于點C,。為線段BC的中點，OB=AC，OA=2,40=名反，則（）

3

A.〃龍）的最小正周期為12兀B.〃力的圖象關(guān)于直線％=8對稱

C."%）在［5,7］單調(diào)遞減D./（-x+2）奇函數(shù)

11.已知正方體A3CD—AB'CD'的棱長為1,“是AA中點，P是A3的中點，點N滿足

W=2D,C,（2e［0,l］）,平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為％匕，

則下列判斷正確的是（）

A.4=工時，截面面積為立B.2=工時，匕=匕

222

C.乂―隨著2的增大先減小后增大D.的最大值為得

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知11+x—烏）12大+工］的展開式中常數(shù)項為80,則。=.

13.在一ABC中，AB=3AC,A￡）是NA平分線，且AO=/AC,則實數(shù)，的取值范圍___.

14.已知a/為實數(shù)，若不等式12ax2+（4a+b）%+4a+q<2|x+l|對任意xe-;,1恒成立，貝U

3a+b的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知S“為公差不為0等差數(shù)列｛%｝的前九項和，且的“=Xa“+l（2eR，"eN*）.

(1)求X的值;

1111

(2)若54=4$2,求證：——+——++-----<—.

anan+l2

16.如圖1,已知四邊形QBCD為直角梯形，其中CD//Q5,BCLCD,BC=CD=4,

DA1QB,A為垂足，將,QAD沿AD折起，使點。移至點P的位置，得到四棱錐F—A6CD如圖2,

側(cè)棱24_1底43。。，點、E,尸分別為P3,的中點.

Q

p

圖1圖2

(1)若尸平面AEE,求F2的長；

(2)若24=8,求直線尸。與平面AEF所成角的正弦值.

17.抽屜里裝有5雙型號相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套，每次使用手套時，從

抽屜中隨機取出1雙(2只都為一次性手套或都為非一次性手套)，若取出的是一次性手套，則使用后直接

丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中.

(1)求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率；

(2)記取了3次后，取出的一次性手套的雙數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.已知拋物線C-為C上一點，且叼=|.

(1)求。的方程；

(2)過點P(4,0)且斜率存在的直線/與C交于不同的兩點A,B,且點5關(guān)于x軸的對稱點為。，直線

AD與*軸交于點。.

(i)求點。的坐標(biāo);

(ii)求-OAQ與,Q45的面積之和的最小值.

19.已知函數(shù)/(￡)=瓜.e"/eR),且〃尤)在點(1](功處的切線的斜率為l—e.設(shè)函數(shù)八％)的最

大值為人.

(1)求才的值；

(2)求證：左＜—2；

(3)若不等式e?x+Jin(2x)+2之相，求實數(shù)機的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知拋物線好=8》上一點尸的橫坐標(biāo)為％則點尸到焦點的距離為()

A.4B.2C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】由題意求得拋物線準(zhǔn)線方程以及點尸縱坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線定義即可求解.

c元242

【詳解】由題意拋物線好=8'準(zhǔn)線為y=-2,點A的縱坐標(biāo)為力=區(qū)=t=2,

88

所以點P到焦點的距離即點尸到拋物線準(zhǔn)線的距離為％+2=4.

故選：A.

2.集合A=<X------<x<——>,B=Xx=kjt-\■一,keZC=A5,則集合C中的元素個數(shù)為(

22,2,

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

兀

住

371<+一<371Gz

一

【分析】解不等式-2-22一得出整數(shù)上的取值，即可得解.

兀

住

371<+一<371GZ

一

【詳解】解不等式-2-22一可得一2〈左＜1,

所以，整數(shù)左的取值有—2、-K0,

3兀371fI71

又因為集合A=<x------<%<—>,5=xx=kjiH—，左wZ>,

222

I3717171

則C=A,即集合。中的元素個數(shù)為3.

222

故選：B.

3.已知正項等比數(shù)列｛4｝中，%=LS“為4的前〃項和,'=553—4,則$4=()

A.7B.9C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,依題意有q>0,又4=1,

當(dāng)q=l時，其=5w5s3-4=11,故舍去,

當(dāng)qwl時，因為85=583—4,則%。4)Ms*4"")—4,

1-q1-q

化簡得5/+4=0,即年―4)(q2—1)=0且a,,〉。，”=2,

1-16

=15,

1-2

故選：C.

4.棣莫弗公式((30$犬+1應(yīng)11%)"=1：0$(〃%)+1W11(〃元)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗

(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)上05三+"5畝三］在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

r、辛HR*(兀..兀)27t,,2兀1.

【洋角牛】cos--1-1-sin—=cos----F1-sin——=-----1-----1.

I33)3322

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為,在第二象限.

故選：B

5.若函數(shù)〃無)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=x—sinx,7(x)的最小值為0,則函數(shù)y=/(x)—cosx的零點為()

A.0B.+72C.±2D.2foi(^eZ)

【答案】B

【解析】

【分析】由/'(x)=x—siiu,確定〃％),由/(力的最小值為0,得出“X)的解析式，進一步求出函數(shù)

y=/(%)-cosx的零點.

【詳解】因為函數(shù)/'(%)的導(dǎo)數(shù)/'(%)=x-sinx,所以/"(x)=；x2+cosx+c,C為常數(shù),

設(shè)g(x)=/'(x)=x-sinx,則g'(x)=l-cosx20恒成立，g(x)在R上單調(diào)遞增，

又g(0)=0,所以當(dāng)(T,0)時g(x)<0,即/'(x)<0,所以/(x)(—。,0)單調(diào)遞減,

當(dāng)(0,+8)時g(x)>0,即網(wǎng)X)>0,所以“X)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以了(%)在尤=0處取得最小值，即“X)1rali=〃0)=l+c=0,故c=—1,

所以/(x)ngf+cosx—],^y=/(x)-cosx=^x2-l,

令gx?—1=0,解得x=±J￡,函數(shù)y=/(x)—cosx的零點為土應(yīng).

故選：B.

6.如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種,

則符合條件的種植方案有()種.

A.36B.48

C.54D.72

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，按選出花的顏色的數(shù)目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種

植方案數(shù)目，由加法原理計算可得答案.

【詳解】解：由題意，如圖，假設(shè)5個區(qū)域為分別為1、2、3、4、5,

分2種情況討論:

①當(dāng)選用3種顏色花卉的時，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法C[A；=24種,

②當(dāng)4種不同顏色的花卉全選時，即2、4或3、5用同一種顏色，共有C[A：=48種，

則不同的種植方法共有24+48=72種；

故選：D.

7.若_/(x)=2sinx(指cosx-sinxb且/(%)/(%)=-3,則上一引的最小值為()

兀?兀

A兀B.—C.271D.一

24

【答案】B

【解析】

【分析】化簡/(x)解析式，得函數(shù)最大最小值與周期，利用/(%)/(々)=一3條件轉(zhuǎn)化為與最值的關(guān)系，

再由最值與周期的關(guān)系可得.

【詳解】/(x)=2sinx(百cosx—sinx)

=A/3sin2x-2sin2x=6sin2x+cos2x-l

=2sin^2x+^-l,/(x)的周期為丁=兀，且

令1=5也(2%+(),則1,1],

則/(x)=g(f)=2t-l,由g(t)的值域為[一3,1],

故/(X)max—/(XU=一3,

-3</(^)<1

,故—3LC9,

-3</(X2)<1

由知，匕：：［1八%)=1

/&)=-3,

即/(%),/(%)為函數(shù)的最大與最小值，或最小與最大值,

當(dāng)王,尤2對應(yīng)f(X)圖象上相鄰兩最值點時，［%-々|的值最小，

故卜一々|..

I12Imin22

故選：B.

8.如圖，ZPOQ=60°,等邊48。的邊長為2,M為BC中點，G為A3C的重心，B,C分別在射線

0P,00上運動，記M的軌跡為G，G的軌跡為。2，則()

A.G為部分圓，。2為部分橢圓

B.G為部分圓，。2為線段

c.G為部分橢圓，。2為線段

D.G為部分橢圓，。2也為部分橢圓

【答案】c

【解析】

【分析】建系如圖，由兩點間距離公式結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得點M的軌跡方程，由此得G為部分橢圓；

過點A作與〉軸垂直的直線分別交0P于點E，交0。于點F,得等邊0EF,由平面幾何可得G是等

邊，OEF的外心，由此可得點G的軌跡。2為＞軸在曲線G內(nèi)的一段線段.

【詳解】以。為原點，以ZPOQ的角平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

依題意得直線0Q的方程為y=瓜,直線0P的方程為y=-瓜.

設(shè)點8僅,—J0),C(C,73C),由忸C|=2得9一C)?+39+4=4(*),

設(shè)點加(%?),因為M是的中點,

4??一二1

將其代入(*)得一;/+12%2=4,即31一，故M的軌跡G為橢圓在NPOQ內(nèi)部的部分.

3-

3

過點A作與〉軸垂直的直線分別交0P于點E，交0Q于點F，貝hO即顯然也是等邊三角形.

下面證明等邊；ABC的重心G即等邊，。跖的外心.

設(shè)/OCB=9,則NO3C=120—e=NACF，又N50C==60，且3C=AC,所以

OBC=FCA,因此OC=AF.

在.。GC和G4中，ZOCG=0+30=ZFAG，又G4=GC,所以EG4,則

OG=FG,同理可證OG=EG,即點G是等邊，O跖的外心，所以，點G在,軸上移動，故點G的軌

跡。2為y軸在曲線c內(nèi)的一段線段.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：

X0123

Pa0.40.30.2

若離散型隨機變量y滿足y=3x+i,則（）

A.EX=1.6B.EY=5.8

C.DX=1.84D.DY=7.56

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用分布列的性質(zhì)求得。，從而利用期望與方差公式與性質(zhì)即可得解.

【詳解】由分布列的性質(zhì)知。+0.4+0.3+0.2=1,則

故EX=0x0.1+lx0.4+2x0.3+3x0.2=1.6,故A正確；

DX=0.1xl.62+0.4x0.62+0.3x0.42+0.2xl.42=0.84，故C錯誤;

則Ey=E(3X+l)=3EX+l=3xl.6+l=5.8,故B正確;

所以DY=D(3X+1)=9DX=9x0.84=7.56,故D正確.

故選：ABD.

10.如圖，函數(shù)/（x）=Asin（0x+G）1A〉O,（y〉O,［d<"|J的圖象與x軸的其中兩個交點為A,B,與y

軸交于點C,。為線段BC的中點，OB=/OC，OA=2,AD=^~,則（）

3

A./（九）的最小正周期為12兀B./（力的圖象關(guān)于直線x=8對稱

C./（%）在［5,7］單調(diào)遞減D./（—1+2）為奇函數(shù)

【答案】CD

【解析】

【分析】結(jié)合題意計算可得/(%)=學(xué)sin7171，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.

3\63)

【詳解】由題可4(2,0),《2+：。］,C(0,Asw),則琮7i，Asin

2

有6|Asind=2+烏,sin(2G+0)=O,

CD

7T

24=0,解得一二6(負(fù)值舍去),

CD

71,/.A/3Asin(-|l=8,

3

16r(\16,7171

解得Asm—X------

y?■?/W=y63

2兀

二12

對A,〃九)的最小正周期為了,故A錯誤;

6

7171]

對B：/(8)=ysin-x8-j=0,故B錯誤;

對C：當(dāng)5Vx<7時，5<k%—,，「,/(%)在［5,7］單調(diào)遞減，故C正確;

對D：/(-x+2)=^sin16.

二一——sm\,為奇函數(shù)，故D正確.

3

故選：CD.

11.已知正方體A5CD—AB'CD'的棱長為1,/是AA中點，尸是A3的中點，點N滿足

DW=2^(2e［0,1］),平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為％%,

則下列判斷正確的是()

A.%=2時，截面面積為立B.2=<時，K=V2

22

%一％|的最大值為卷

c.%-隨著x的增大先減小后增大D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,易于判斷截面形狀，計算即得其面積；對于B,可由A項圖形進行對稱性判斷得到；對于

C,要結(jié)合A項中點N從點DC運動到點C的過程中，截面形狀的變化，以及B項中的結(jié)論合并進行判斷；

對于D,要在選項C的基礎(chǔ)上判斷取最大值時，對應(yīng)于4=0或4=1時的情形，故只需要求出這兩

種情形下的M-%|的值即得.

如圖1,當(dāng)％=^時，點N是D'C'的中點，易得截面為正六邊形.其棱長為，（；）2+（；）2=*,故截面

面積為6x乎x（*）2=孚，故A項錯誤;

由對稱性可知.當(dāng)2=工時.平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項正確;

2

如圖2.當(dāng)；I從0變化到1時.截面從四邊形MD'CP變化至五邊形（其中J為靠近8點的

三等分點）.

結(jié)合B項可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對值先減小至0,再逐漸增大，故C項正確；

四―匕|取最大值時對應(yīng)為2=。，或4=1時情形.

當(dāng)4=0時，不妨記匕為截面MD'CP左上角的部分幾何體，則

11.111.7

TK7=T^P7-AMD'D+T7=-(Z1--)X2+2X2xl=24,

7171775

則％=1—，此時M———=—

242411J242412

當(dāng)2=1時，不妨記匕為截面MPJC'Q左上角的部分幾何體，則

T7T7T717T71八1、11,,11,11,47

匕二^P-DAMQD，+Vp-DccD+VQ—PCJ+VQ—JC,C=—(1——)x~+~xlxl+-x~xl+—x-xl=——，

31223363372

14725,i14725ll

則匕=l------=—,止It匕時T7—KT7------------——.

272721121727236

.?.乂―％I的最大值為卷，故D項正確.

故選：BCD.

【點睛】思路點睛：本題重點考查正方體的截面面積和分割成的幾何體的體積問題，屬于難題.

解題思路在于要有從特殊到一般的思想，先考慮點N為的中點時的截面和分割成的幾何體體積的關(guān)

系，再考慮點N分別與點DC,點C重合時的截面形狀以及分割成的兩部分的體積，總結(jié)出體積變化規(guī)律

即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知(1+x—3)(2%+工)的展開式中常數(shù)項為80,則。=.

【答案】—1##-0.5

2

【解析】

【分析】計算展開式的通項公式，計算通項公式中含X,：的項，結(jié)合[l+x-,可求出常數(shù)項，

代入計算即可求出。的值.

【詳解】解：由12X+1展開式的通項公式為J=q(2x廣&[=25飛曠21

令5—2廠=0,無整數(shù)解；

40

令5—2廠=—1,解得廠=3,看=一；

x

令5—2r=l,解得〃=2,7；=80%；

+x—呸）［2工+工］展開式中的常數(shù)項為40—80a=80,解得a=—g.

故答案為：—.

2

13.在一ABC中，AB=3AC,A。是NA的平分線，且AO=/AC,則實數(shù)力的取值范圍.

【答案】（0,|

【解析】

【分析】在和，ACD中，利用正弦定理可求得5D=3CD；利用余弦定理可構(gòu)造方程組，得到

3A

t=-cos-,結(jié)合A的范圍和余弦函數(shù)的值域可求得/的取值范圍.

22

ZADB=7V-ZADC,sinZADB=sinZADC,

AB_BDAC_CD

在△"￡）和ACD中，由正弦定理得：sinZADB~■A,inZADC~■A,

sin.ssin.

22

ABsin一

______2_

.BPsinZADBAB

即5D=3CD；

'CD~.AAC~

ACsin—

2

sin/ADC

設(shè)AC=1,則AB=3,AD=t,

A

在△A3。和ACD中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos—

2f

A

CD2=AC2+AD2-2ACADcos—

2f

、rA

9s2=9+產(chǎn)—6fcos—

2

9+『-6/cos—=9+9t2—18?cos—,t=-cos—；

0

0A2222

CD-=l+r-2tcos—

2

AA

Ae（0,7r）,—ecos—e（0,l）,???U項

故答案為：

14.已知a/為實數(shù)，若不等式12翻2+（4a+b）x+4a+q<2|x+l|對任意xe-9恒成立，則

3a+/?的最大值是.

【答案】6

【解析】

22

【分析】先對不等式等價變換為Zaa+D+T+b<2,=2at+—+b<2,構(gòu)造函數(shù)

'7x+1t

r\-2<4a+b<2

f^=2at+-^-+b,從而,又3Q+Z?=2（4Q+Z?）-（5a+b）,利用不等式性質(zhì)即可求解

-2<5a+b<2

范圍.

【詳解】因為xe-小3

，所以x+l￡—?2

4

則不等式12ax2+（4々+6）x+4々+@K2|%+1|等價于2di（x+l）2+6（%+l）+2a<2|x+l|,

23

等價于+----r+〃<2,令，=x+l,則—2,

'）x+149

2Q2］

從而lat+—+b<2,令于［t）=2at+-^+b,由對勾函數(shù)的性質(zhì)知1+29

-2<4a+b<2

因為即—2W/（t）W2,所以<

-2<5a+b<2

3=4m+5nm-2

令3Q+Z?=加（4Q+/?）+〃（5Q+5）,貝卜i,解得《

l=m+n〃=一］，

4。-Hb2ci―4

所以3a+〃=2（4a+〃）一（5a+A）W2x2—（―2）=6,當(dāng)且僅當(dāng)｛一°即（八一2時取等號，

jetb=_2b=lo

故3a+Z?的最大值是6.

故答案為：6

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對不等式等價變形，利

用換元法結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)范圍，最后利用不等式性質(zhì)求解即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知S"為公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的前幾項和，且為,=/La“+l(/teR,〃eN*).

(1)求X的值；

1111

(2)=4S2,求證：----+----++------<—,

anan+l2

【答案】(1)2(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)解法一：設(shè)｛%｝的公差為2(2/0),利用等差數(shù)列的定義可得答案；解法二：設(shè)｛%｝的公

差為d(dwo),轉(zhuǎn)化為(2—2)而+(2—1)(4—d)+l=0對V“eN*恒成立，可得答案.

(2)求出?！埃昧秧椣嘞蠛涂傻么鸢?

【小問1詳解】

解法一：設(shè)｛%｝的公差為2(2/0),

由a2n~%。0+1①，得a2n+2=幾4+1+1②，

則②-①得知+2一。2"="%一4),

即2d=Xd,又dwO,則；1=2；

解法二：設(shè)｛4｝的公差為2(2/0),

因為。2〃=丸4+1，

所以q+(2〃-l)d=+(〃-l)d］+l對\/neN’恒成立，

即(2—2)d〃+(2—1)(%—d)+l=0對GN*恒成立，

、2)d=0

所以］3_1)(q_6)+1=0，

又dwO,則4=2；

【小問2詳解】

由=4與得4q+6d=4(2q+d),即2%=d,

所以為=q+—=2。］〃一生,

又“2〃=+1即4a的一％=2(2%〃-aJ+l,則。1=1,

因此?！?2〃-1,

111111

-----1-------F，■H--------------1-------F+---------------

aa

axa2a2a3nn+i1x33x5+

16.如圖1,已知四邊形QBCD為直角梯形，其中CD//Q5,BCLCD,BC=CD=4,

DA1QB,A為垂足，將QAD沿AD折起，使點0移至點尸的位置，得到四棱錐P—ABCD如圖2,

側(cè)棱上4,底ABCD,點￡,尸分別為Pfi,的中點.

Q

（1）若尸CJ_平面AEE，求的長;

（2）若24=8,求直線PC與平面A跖所成角的正弦值.

【答案】（1）4⑵逅

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明CD，平面上4。，進而利用線面垂直的判定定理證明"上

平面PC。，利用線面垂直的性質(zhì)得到即可得到Q4的長.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系并求出相關(guān)點及向量的坐標(biāo)，求出平面AEE的法向量，由空間向量坐標(biāo)公式直

接計算直線PC與平面AEF所成角的正弦值.

【小問1詳解】

由題易知四邊形A3CD是邊長為4的正方形，所以CDLAD.

由平面A3CD,CDu平面A3c。，得CDLB4,

又JR4cAD=A,PA,ADu平面PAD,

所以CD,平面B4。，

又Mu平面BLD，所以CDLAF.

由尸C,平面A￡E，APu平面AEE，得PC，"，

而PCcCD=C,PC,CDu平面PCD,

所以"，平面尸CO,

又PDu平面PC。，所以A產(chǎn)，？D，

又尸為。。的中點，所以B4=AD=4.

【小問2詳解】

由題易知A5,AD,AP兩兩垂直，

則以點A坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由PA=8,AB=BC=CD=4,

得4（0,0,0）,C（4,4,0）,P（0,0,8）,E（2,0,4）,F（0,2,4）,

則PC=（4,4,—8）,AE=（2,0,4）,AF=（0,2,4）.

設(shè)平面AEF的法向量為〃=(%,y,z),

n-AE=2x+4z=0

則，

n-AF=2y+4z=0

令z=-L得x=y=2,所以〃=(2,2,-1).

設(shè)直線PC與平面AEF所成角為e,

??|PC-?|24J6

則sin0=cosPC,n\=~r—L=—尸一=—,

11\PC\-\n\4V6x33

即直線PC與平面AEF所成角的正弦值為?.

3

【點睛】思路點睛：空間中求解線面角的方法主要有兩種：

(1)幾何法，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為直線與直線在平面內(nèi)的射影所成的角，通過解三角形求解；

(2)向量法，若直線/的方向向量為〃，平面a的法向量為相，直線/與平面a所成的角為0,則

,,\m-n\

sin0=cosm,n\=-p—[.

\m\\n\

17.抽屜里裝有5雙型號相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套，每次使用手套時，從

抽屜中隨機取出1雙(2只都為一次性手套或都為非一次性手套)，若取出的是一次性手套，則使用后直接

丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中.

(1)求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率；

(2)記取了3次后，取出的一次性手套的雙數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)—

23

(2)分布列見解析，1.606

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件概率的計算公式，分別求出對應(yīng)事件的概率，代入計算即可；

(2)根據(jù)題意，計算離散型隨機變量的概率，得出分布列，計算期望即可.

【小問1詳解】

設(shè)“第1次取出的是一次性手套”為事件4“第2次取出的是非一次性手套”為事件B,

312223313

則P(B)=三義不+三乂三二玄，P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=—,

J乙JJJ乙J.\j

所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率為

小叱蜜￡

【小問2詳解】

記取出的一次性手套的雙數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

0.064,P(X=l)=|x[J+|x|x；+(g]%|=0.366,

p(x=o)=

321

P(X=3)=-x-x-=0.1

,7543

貝UP(X=2)=1—0.064-0.366-0.1=0.47,

則X的分布列為:

X0123

P0.0640.3660.470.1

數(shù)學(xué)期望E(X)=0.366+2x0.47+3x0.1=1.606

18.已知拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點為廠，”］機,一，為C上一點，Jl|AfF|=.1.

(1)求C的方程；

(2)過點P(4,0)且斜率存在的直線/與。交于不同的兩點A3,且點5關(guān)于x軸的對稱點為。，直線

AD與左軸交于點Q.

(i)求點Q的坐標(biāo)；

(ii)求.QAQ與.Q4B的面積之和的最小值.

【答案】(1)/=3%

(2)(i)2(-4,0)；(ii)876

【解析】

【分析】(1)由條件結(jié)合拋物線的定義列方程求。，機，由此可得拋物線方程；

(2)⑴設(shè)/的方程為1=沖+4,聯(lián)立方程組并化簡，設(shè)4(和％),3(々,%)，。。2，一為)，應(yīng)用韋達定理

得%+%，%%，寫出直線AO方程，求出它與x軸的交點坐標(biāo)即得；

(ii)由(i)的結(jié)論計算三角形面積和，結(jié)合基本不等式求其最值.

【小問1詳解】

P3

mT——=—

223

由題意可得〈解得P=->

c9

2pm=—

所以C的方程為：V=3x；

【小問2詳解】

(i)由已知可得直線/的斜率不為0,且過點(4,0),

故可設(shè)的直線/的方程為x=my+4,

代入拋物線J/=3x的方程，

可得V—3沖-12=0,

方程y2-3my—12=0的判別式△=9m2+48>0-

設(shè)AO],%),B(x2,y2),D(x2,-y2)

不妨設(shè)%〉0，則%+%=3私%%=T2,

所以直線AD的方程為：y—x西)，即yr=:+%、—西)

%一%加(%一%)

3

即y_/=-—(%_西)，令y=0,可得(％_%>(_%)=3*_弁，

所以3%=(%_%)—(_%)+弁=%%=T2,所以x=T

所以Q(—4,0)；

(ii)如圖所示，可得SOA。=g,|OQ|,yi=gx4xx=2%,

S0AB=。*4X乂+3*4義昆|=2%+