江蘇省宿遷市2024屆高三年級下冊調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

宿遷市2024屆高三年級調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡上“條形

碼粘貼處”.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求

作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.已知集合A={M0<%<4,xeN},B={Xx=3k-l,keZ},則AB=（）

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（3+4i）=5,其中i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知ae（0,〃），cos[a+?]+cos[a——g,則sine的值為（）

16小2①

A.—B.---C.D.----

3333

4.已知函數(shù)/（%）=2,-3-工，則不等式/（/）</（2%+3）的解集為（）

A.（-1,3）B.（3,+oo）C.（-3,1）D.（1,+oo）

5.設(shè)S,是等比數(shù)列{%}的前〃項和，若SyS9,$6成等差數(shù)列，4=-2,則%的值為（）

c11

A.—2B.C.—D.1

22

6.已知口=2/=（、行,3）,向量a在6上的投影向量為;〃，則向量a與b的夾角為（）

1

7.已知橢圓A+*■=1（?！?〉0）的左焦點為尸，過原點且斜率為正的直線與橢圓交于P,。兩點，若

ab2

2

PFQF=_%,則橢圓的離心率為（

A"B五C

222

8.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：尸（A⑻=尸（回/"A）站在了世界中心位置,AI換臉是一項深度偽造技

術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001.某團隊決定用AI對抗AL

研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下，它有98%

的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04,即在該視頻是真實的情況下，它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某

個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)隨機變量X?N（0,l）,/（x）=P（X<x）,其中x>0,下列說法正確的是（）

A.變量X的方差為1,均值為0B.P（|x|<x）=l-2/（x）

C.函數(shù)在（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)D./（-%）=1-/（%）

10.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知拋物線C:;/=4x,為拋物線C上兩點下列說法正確的是（）

A.若直線過點（1,0）,則△。鉆面積的最小值為2

B.若直線過點（4,0）,則點。在以線段為直徑的圓外

C.若直線過點（1,0）,則以線段A8為直徑的圓與直線/:x=—1相切

D.過A3兩點分別作拋物線C的切線，若兩切線的交點在直線/:x=—1上，則直線過點（4,0）

11.已知正方體ABCD-A^QD,的棱長為3,E,F,G分別為棱BBX,DDVCQ的點，且

112

8石=耳84,￡>尸=3￡>2，CG=§CG，若點P為正方體內(nèi)部（含邊界）點，滿足：AP=AAE+JUAF,九〃

為實數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.點P的軌跡為菱形AEGF及其內(nèi)部

B.當(dāng)2=1時，點P的軌跡長度為歷

2

c.最小值為2得

D.當(dāng)〃=!時，直線AP與平面A3CD所成角的正弦值的最大值為叵

211

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知的展開式中二項式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項為.

13.已知定義在區(qū)間［0,句上的函數(shù)/(月=25由18+菖卜?！?)的值域為［—2,、療］,則。的取值范圍為

14.在一個軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個與側(cè)面及底面都相切的實心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入

〃個小球，這些小球與實心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則〃的最大值為(IXsinl7o=—)

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知S“為公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且a”=2a“+l(/lwR,"eN*).

(1)求X的值；

(2)若凡=4S2,求證：--1-----FH-----<—.

a,a、n112

16.(15分)如圖，在四棱錐P—A5CD中，四邊形A3CD為梯形，其中A3〃CD,

BCD=60°AB=2BC=2CD=4,平面？8。，平面ABCD.

(1)證明：AD±PD；

3

(2)若ABLFD,且PC與平面A3CD所成角的正切值為2,求平面P3C與平面？AO所成二面角的正弦

值.

17.(15分)某班欲從6人中選派3人參加學(xué)?；@球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊進行選拔比賽.經(jīng)

213

分析甲隊每名隊員投籃命中概率均為乙隊三名隊員投籃命中的概率分別為,，--p(O<p<l).現(xiàn)要求

所有隊員各投籃一次(隊員投籃是否投中互不影響).

3

(1)若.=—,求甲、乙兩隊共投中5次的概率；

4

(2)以甲、乙兩隊投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊獲勝，求p的取值范圍.

18.(17分)已知函數(shù)/(%)=alnx+4,aeR.

⑴若。=2e?,求的極小值；

(2)若過原點可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，求a的取值范圍.

22

3

19.(17分)已知雙曲線三一2r=1(4〉0/〉0)的右頂點為7,過點P且與x軸垂直的直線交一條漸

ab

近線于Q(l,2).

(1)求雙曲線Af的方程；

(2)過點。作直線/與雙曲線M相交于A8兩點，直線分別交直線y=2于C,。兩點，求

■j---7+1---r的取值范圍.

|QC|\QD\

參考答案

1.【答案】c

【解析】A={0,1,2,3,4},3=何％被3整除余2的整數(shù)}=AB={2},選C.

2.【答案】D

【解析】=3-4i^OZ=(3,-4),選D.

z3+4i''

3.【答案】A

【解析】解法一：兩角和與差余弦公式+同角平方關(guān)系

/八、「乃、「乃\4八44八

。(0,7T),COSCCH—+coscc---=—=>72coscc——coscc-------產(chǎn)<0

V7I4)L4；333攻

(71y.V21、4tA

=>1￡一，",sina=-產(chǎn)=一,選A.

U)303

解法二：平方法+誘導(dǎo)公式

4

n一」+2小4小公=電

aG(0,〃),cosa+—+sina+—

I4jI43I4；I4j9

7

nsin2a+—

I29

.7/x./l-cos2a1.721.

ncos2a=—n。e(O,?),sma=J--------=—,sina=—產(chǎn)=一,選A.

9'，V233723

4.【答案】A

【解析】解法一：f(x)=2r-3-^,xe1?^>/(x)%2<2x+3=>xe(-1,3)，選A.

解法二：特值當(dāng)x=0時，/(0)</(3),排除B,D,當(dāng)x=l時，/(1)</(5)-排除C,選A.

5.【答案】B

【解析】解法一：性質(zhì)+特值

%=-2=>%<0，排除C,D；當(dāng)<7=1時

2s9=S3+S6n18al=3%+6%=9al=/=0=>/71=>47H—2排除A,選B.

解法二：基本量運算

由解法一知則2s9=S3+S6n2(i-/)=，l(i—q3)+'(]—q6)

1-q'/l-q'/1一q'/

=/—l)(2q3+1)=0="=—g=%=d=—2x(―g]=_g,選B.

解法三：二級結(jié)論Si=S"S"

336

S9=S3+qS6=S6+q6s3n2s9=S3+S6+qS6+qS3,由2s9=邑+$6,

則q況+q6s3=0n§6+g=0,又S6=S3+/S3=+,

則—/S3=(i+q3)s3=(i+2/)S3=0=q3=_g

或邑=0(舍去)，選B.

6.【答案】A

<7COS(?,Z?)

【解析】向量。在6上的投影向量為則^~~-又W=2G，則

b

5

cos(a,b)=-y-|=---=e[°，?]=(a,b)=￡，選A.

另解：向量a在6上的投影向量為排除C,D,觀察選項“顏值”，選A.

7.【答案】B

【解析】解法一：極化恒等式+解三角形+通徑

尸"QF=—；=畋|2_『Q|2==p@=半c,又k°Q=tan/OQ=與

J2FOn

ncos〃OQ=「訕nN。蛇二萬

=園=*=9*=^=/+%-1=。

又ee(O,l),則e=￥，選B.

解法二：向量坐標(biāo)運算+坐標(biāo)翻譯垂直

不妨設(shè)Q(0x,x),x>O,則x),P『Qb=—Jnx=Y^cnP-c--c^QFLOF,

22I2J

下同解法一(略)，選B.

解法三：對稱性+焦點三角形

222

設(shè)右焦點片(—c,O),P/JQB=—■—=>PF-PF1=—=>(a+exp)(?-)=—,

「虎)c2J?

又尸c,c>貝!)(a+ec)(a—ec)=—,又ee(0,l),貝！Je=----,選B.

<2J22

解法四：余弦定理的向量形式+極化恒等式

PFQF=-^-^FO|2-|02=辰，

2FP|2+FQ|2-|Pe|22

PF-QF=-—c^>J---------.....................

2

|FP|2+|F2I2-6

=一1_。喬|2+匹|2=6—。2

2

2

(a+eXp)2+(Q+ex°)-6-C,XQ=-xp,

6

則2a2+2f芯=6-°2,芯=c2n2a2+2e2c2=6-02,又ew(0,l),則e=^^,選B.

解法五：直線方向向量+解三角形+通徑

PF-eF=-—^|F<9|2-\0Q^=-—^\OQ\=—C,由k=—^OQ=A1,—"wO,則

22OQ2

,下同解法一（略），選B.

另解：減少字母個數(shù)利于求值，還可。取特值.

8.【答案】C

【解析】記“視頻是AI合成”為事件A,記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B,

則P(A)=O.OO1,P⑷=0.999,P(B|A)=0.98,叩同=0.04,由貝葉斯公式得:

“4⑻-尸⑷P(5|f)_0.001x0.98ccc”.

--------------------------------=0.024,選C.

'1'P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.001x0.98+0.999x0.04

9.【答案】ACD

【解析】隨機變量X?N（0,l）0b2=1,〃=0,則A正確;

P（|x|<^）=P（-x<X<x）=l-2[l-/（x）]=2f（x）-l,則B錯誤；

隨機變量X?N（0,l）,結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)/（x）在（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確;

正態(tài)分布的曲線關(guān)于x=0對稱，f（-x）=P（X<-x）=P（X>x）=1-/（%）,則D正確,

選ACD.

10.【答案】AC

【解析】拋物線y2=2px（p〉0）的焦點弦端點與頂點構(gòu)成三角形5mhi=g-=2,A正確；拋物線

y2=2px（p>0）,軸點弦（2p,0）的端點與頂點連線互相垂直（充要條件成立），則點。在以線段為直徑

的圓上，B錯誤；

拋物線J?=2Px（p>0）的焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，C正確；

拋物線y2=2px（p〉0）的阿基米德三角形性質(zhì)：過準(zhǔn)線上一點作拋物線兩切線，切點恒過焦點（充要條件成

立），則直線過點（1,0）,D錯誤.故選AC.

11.【答案】ABD

【解析】4尸=24￡+〃4尸0尸在菱形4跳6內(nèi)，A正確；

7

當(dāng)；1=1時，AP=4AE+〃ARn4尸=4石+〃4/=「在線段￡＜?上，P的軌跡長度為線段EG的長，

即為&6,B正確；

當(dāng)〃=1時，AP=；LAE+〃AEnA「二彳4石+人/0^在面從瓦弓內(nèi)，P在EG上時，有最小值為亞，

C錯誤；

當(dāng)〃=g時，AP=XAE+〃AE=AP=XAE+；AF=P在面AEFG內(nèi)，P在EG上時，AP與面

Fyy

ABCD所成角的正弦值最大，即為王一，D正確.故選ABD.另：幾何法和建系也可.

12.【答案】10

【解析】令x=l,則2"=32="=5=7；+]=。＞1°3'=當(dāng)廠=2時，常數(shù)項為C；=10.

55

13.【答案】

6J3

【解析】解法一：換元法

令+女e2萬2萬3萬，2萬,7萬55

——,——+①兀二>——<——+CD7V<——二>0C

33323363

解法二：目標(biāo)函數(shù)+伸縮變換令

57

555

3.=—=><?e

n363

14.【答案】10

【解析】1.“三切”：小球與實心球，圓錐底面，圓錐側(cè)面皆相切n小球擺放態(tài)，

2.“軌跡”：離散型分布，小球與底面切點在圓錐底面的同心圓上O“圓環(huán)手串”模型小球球心在同心圓

上，此種轉(zhuǎn)化便于解決問題，

3.“誤區(qū)”：兩相切小球的球心與切點三點共線嗎？答案為共線，兩小球切點在圓環(huán)上嗎？答案為否！實物

模型手串理解，放大手串的珠子更直觀，還可作正多邊形，讓正多邊形的頂點為圓心，直徑為正多邊形的邊長

更好理解！

4.“計算”：設(shè)實心球半徑為R,小球半徑為r,則0=3,“手環(huán)穿”半徑為=

r

5.“幾何”：令=8”=紅,/凹1碗2=gnsin2=^^=—^=走=＞。=34°,關(guān)鍵

1261222\MM\2后6

條件sin17。=g的使用.

6

8

15?【解析】⑴解法一：設(shè)｛%｝的公差為d(dTO),

a

由a2n=Aan+1①，得“2〃+2=^n+l+1②,

則②-①得。2"+2=彳(4+1一4)，

即2d=2d,又d/0,則4=2.

解法二：設(shè)｛4｝的公差為d(d#o)

因為%=血+1

所以q+(2"—l)d=.[。1+(〃-l)d]+l對VneN*恒成立

即(X—2)血+(丸—1)(/—d)+l=O對WwN*恒成立

f(2-2)i/=0

所以、,、

(4-1)(%-d)+l=0

又dw0,則X=2.

解法三：利用必要性解題

取〃=1,2求出結(jié)果(2=2),將2=2代回驗證

(2)由邑=4S2得4a1+6d=4(2q+d),即2%=d,

=a

所以qi+(〃—l)d=2a/i-ax,

又a2n=2%+1即401Al—q=2(24〃一4)+1,則％=1,

因止匕=2〃一1,

E111111

則-----1----FH-----=----1-----F+-----------

%%+i1x33x5(2〃-1)(2〃+1)

1—1

H------------

23352〃一1

16?【解析】

(1)因為/38=60°,3。=8=2,所以BCD為等邊三角形，

所以AB=2應(yīng)＞=4,

又四邊形A3CD為梯形，AB//DC,則NASD=60°,

在AABD中,由余弦定理可知，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=42+22-2x4x2x-=12,

2

9

根據(jù)勾股定理可知，AD~+BD2=AB~,即A。，80.

因為平面PBD±平面ABCD,平面PBD平面

ABCD=BD,ADu平面ABCD,

所以AD_L平面F5D,又因為PDu平面PBD,

所以

(2)法一：由(1)可知

又因為AB，P￡),ADAB=A,所以？平面ABCD,

DP

所以NPCD就是PC與平面A3CD所成角，所以tanNPC￡>=——=2,

DC

所以PD=4；

以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則B（0,2,0）,C（-V3,l,0）,P（0,0,4）,

所以3P=（0,—2,4）,3C=（-A-1,0）

設(shè)平面P3C的法向量為々=(%,y,z),

—2y+4z=0,//-\

則有《取々=（一2,3,6,3）,

-y/r3x-y=0,17

由題意得%=(0,1,0)為平面？AO的法向量，

所以小小址=旨=*

即平面P3C與平面P4O所成二面角的正弦值叵3.

19

法二：在平面A3CD內(nèi)，延長3C與A￡)相交于點M,

連接9,則？M為平面P3C與平面K4O的交線

在平面內(nèi)，過點。作垂足為N,連接BN

10

F

N

由(1)得，AD±PD

因為AD，P￡),AB_LP￡),ADA5=A且均在面ABCD內(nèi)

所以W面ABCD

因為BDu面ABCD,所以？D,班)

又因為ADLBRQDJ_5￡),AdP￡>=。且均在面PAD內(nèi)

所以上面PAD,即應(yīng))上面PDM

因為PWu面PDM,所以班)_L〃0

因為PM工BD,DNLPM,ND3￡>=。且均在面5DN內(nèi)

所以？腿，面5￡加，由琥匚面80n,所以即，。河

所以==2退

PD-DMPDDM_4^/21

在直角三角形PND中DN=------------

PMyjPD2+DM-7

叵

在直角三角形3ND中tan/BND~6~

/133

所以平面PBC與平面P4Q所成二面角的正弦值--.

19

所以NBND就是二面角6—？似一。的平面角

又因為PD_1_平面ABCD,

所以ZPCD就是PC與平面ABCD所成角，

DP

所以tanNPCD=——=2,所以PD=4

DC

因為。C〃AB,所以也=生=」.

AMAB2

17.【解析】

(1)記“甲，乙兩隊共投中5次”為事件A,

則可以是甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次.

則尸⑷=§

19

答：甲、乙兩隊共投中5次的概率為

72

11

（2）記甲、乙兩隊投中次數(shù)分別為x,y,

?

則x?小:,所以E(X)=3x§=2；

y的取值為0,1,2,3,則p(y=o)=gx；(l—p)=\^

P任=l)=；x](l—+—P"義力二^,

P(Y=2)=—X—(1-/7)+—X—j9+—x—j9=3+',

\724V724248

P(Y=3)=~x-p=-p,

、7248

所以，y的分布列為

Y

0123

3+p

P1-P4—3p3

8一p

888

13S

另解：E(Y^-+-+p=-+p

18?【解析】

(i)r(x)=--42eV-2

XX

令/'(x)<o得o<%<J,則y(x)在[o,

I上單調(diào)遞減,

,則在（J+s）上單調(diào)遞增,

令尸（x）＞0得

則了（%）的極小值為/[-|=2e2ln-+e2=-e2（列表也可）

XXX

設(shè)切點分別為（％1，/（再））,（％2，/（%2）），

則在處的切線方程為y—/?）=絲口（x—xj,

X1

又切點過原點，所以o—7（玉）=空了（0—芯），

12

33

即——+6/QILXJ—1^=0,同理一〃（lux2-1）=0，

X]%2

3

所以為方程二十〃（1皿—1）=0兩個不同的根，

X-

設(shè)g（x）=3+。（111%—1）,則g'（x）=]+@=_6+3ax_

XXXX

若aW0,g'(x)<0,則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減,不符合題意;

若a>0,令g，(x)<0得，xe0,J2,g(x)在0,單調(diào)遞減,

令g'（x）>0得單調(diào)遞增,

若8。)皿20,即0<。<9，

e

3

此時方程—+a(ln%-l)=0沒有兩個不同的根，不符合題意；

若g(x)min<。，即a>9,g(e)=W>0，

ee

因為所以9=上?<0,所以4<J±g[L[=a（3〃一lna-1），

eaaaa\a\a）

令〃(〃)二3〃-111〃一1(〃〉9),則〃(〃)=3-工>0,

所以M。)在H，+]上單調(diào)遞增，/z(tz)>/z^>0,

即g[工]=a(3a-Ina-1)>0,

又g(x)=W+a(l.T)的圖像是不間斷的曲線，

X

所以存在七,％2滿足,<X]<J5<々<0使得且(％1)=8(*2)=°，

所以。的取值范圍是?！礸.

e

19.【解析】

13

227

(i)因為雙曲線附：二—二=1的漸近線方程為丁=±2》,

ab~a

t?=l(,

所以《匕解得a=1，

-=2b=2

2

所以雙曲線〃的方程為一一?=L

(2)解法一：由題知，直線的

設(shè)AB方程為y=k(x-l)+2,A斜率存在(9，%)，

::Ml[+：'得(八產(chǎn)),+2左(％_2)%-左2+4%—8=0,

聯(lián)立4

則4—KhO且A>0,所以左<2且左w—2

2k(k-2)-k2+4k-8

x+=-------———，=---------------

124—左2124—左2

因為Q4的方程為y—1),由題意得為W0,則上力1,

X-1

所以{*<2且左/一2,左71}

令y=2得c]生二^+1,2]，同理￡>[2(々-1)+1,2

I%)I%)

所以|QC|=2&T)+1_J=2(x「l),坦必=25-1)+l_L\25T)

%M必||為

KC以1_|_1_1%____?%

當(dāng)左e(1,2)時,C,。都在點。右側(cè),則

__‘Jj乙]左(/_1)+2左(西一1)+2

1-|—1-|%-------------------------------------

/一]

\QC\-\QD\2(^-1)---2(X2-1)---2_%-1

2k2—4k.

^1^—2

心

=k+—2_=—=2

XX-(%1+x)+l上2—4左+82k2—4k

X224-k2+4-k2+1