浙江省湖州市某中學(xué)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)新高考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試卷

（浙江省湖州二中模擬試卷）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

TTA=y=J2x-%],5={y=2,xeRi%efftAlUB

L已知全集0=氏集合?1J,則“XCQA44,是

,4例"0},,的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可由交并補(bǔ)運(yùn)算以及充要條件的定義求解.

【詳解】由A=y=：2x—d]可得2X—可20,解得0WXW2,

所以A={xk）WxW2},B={y|y>0},.,.^4={%|%<0或%>2},（+74）。5={%|xwO},

故選：C

2.若向量a涉滿足|a|=4,|Z?|=3,且（2a—3加―（2。+加=61,則a在6上的投影向量為（）

A.——bB.——bC.—bD.——b

2333

【答案】D

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得a2=-6,再由投影向量的定義求￡在辦上的投影向量.

22

詳解】由（2a—3勿?（2a+Z?）=4a-4a-b-3b=61，則。和=-6，

由a在6上的投影向量巴2?女-=--X—Z;=——Z?.

\b\\b\333

故選：D

（、2

3.數(shù)列口｝滿足。"+1=—，且。1=4,則4023+。2024=（）

a”

95

A.-B.4C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由題中遞推公式可求出數(shù)列｛4｝為周期為2的周期數(shù)列，從而可求解.

2212,21

【詳解】由題意知%=/所以q=4嗎=二鼠%=—=4,%=—=--,

a?乙

所以可得｛?！埃侵芷跒?的周期數(shù)列，則%）23+“2024=4+“2=萬.故A正確.

故選：A.

4.在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6,0.7和0.5,且三人的測(cè)試

結(jié)果相互獨(dú)立，則測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀

等級(jí)的概率為（）

,157517

A.—B.-C.-D.—

298829

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)分別為事件AB,C,三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件

D,

P（A）=0.6,尸（3）=0.7,P（C）=0.5,

P（D）=P（ABC<JABC<JABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.4x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5=0.29,

P（BD）=P（ABC）+P（ABC）=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

/「、P（BD）0.15_15

:.P（B\D）=\/

v17P（D）029-29

故選：A.

5.某小區(qū)內(nèi)有一個(gè)圓形廣場(chǎng)，計(jì)劃在該圓內(nèi)接凸四邊形A3CD區(qū)域內(nèi)新建三角形花圃曲和圓形噴

泉.已知NA=120，AB=3m,AD=5m,圓形噴泉內(nèi)切于△BCD,則圓形噴泉的半徑最大值為

()

A.7mB.—A/SITIC.—\/3niD.—y/3m

362

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理可求得5D的長(zhǎng)，由圓內(nèi)接四邊形的幾何性質(zhì)可得NC=60，設(shè)30=7%,CD=n,

由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得相+〃的最大值，再利用等面積法可求得△3CD內(nèi)切圓半徑的最大值,

即為所求.

【詳解】在中，由余弦定理，

可得BD=A/AB2+AD2-2AB-ADcos120=J32+52+2x3x5x1=7,

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為內(nèi)接四邊形，且NA=120，所以，ZC=60.

,幾n八八八rmi+人H…工用/rrt/cBC?+CD?—BD?171^—49

設(shè)JBC=HZ,CD=n,貝！J由余弦TE理知cos60=------------------------=-----------------

2BC-CD2mn

設(shè)△BCD內(nèi)切圓半徑為小

所以加2+〃2_49=加〃.所以（加+〃）2—49=3mn.

又知力g」wsin60=3±Z.'，即j_.W+〃）2—49.走=加+〃+7「

222322

所以廠=——（m+zz-7）?

232

因?yàn)?根+撲)-49=3m^<—(m+n),所以冽+〃<14.

7L

所以〃陽+〃—7)<(6，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=7時(shí)取得等號(hào).

因此，圓形噴泉的半徑最大值為友m.

6

故選：C.

6.已知直線BC垂直單位圓。所在的平面，且直線2C交單位圓于點(diǎn)A,AB=BC=1,P為單位圓上除

A外的任意一點(diǎn)，/為過點(diǎn)P的單位圓。的切線，則()

A.有且僅有一點(diǎn)P使二面角3-/-C取得最小值

B.有且僅有兩點(diǎn)尸使二面角3-/-C取得最小值

C.有且僅有一點(diǎn)尸使二面角3-/-C取得最大值

D.有且僅有兩點(diǎn)尸使二面角3-/-C取得最大值

【答案】D

【解析】

【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再構(gòu)造輔助函數(shù)，最后用導(dǎo)數(shù)求最值方法判

斷.

【詳解】過A作40U于連接MB、MC,如圖所示，

因?yàn)橹本€垂直單位圓。所在的平面，直線/在平面內(nèi)，且直線BC交單位圓于點(diǎn)4

所以AC，/,平面AMC,AMAC=A,所以//平面AMC,

平面AMC,所以ILMB,

所以NBMC是二面角3—/—C的平面角，

設(shè)=ZAMC^a,ZAMB=/3,AM=t,則9=。一〃,

由已知得fe(O,2],AB=BC=1,

2_1

2八1八(tana—tan6，t

tana=—,tanp=一，tan"=tan(。一//=---------------=J=-；----

v7夕

ttl+tana?tan1+%+2

令〃‘）=不，則,⑺=

22

r+2入2

當(dāng)/￡（0,夜）時(shí)，/⑺>0,/（f）單調(diào)遞增，當(dāng)/e（、歷,2]時(shí)，/"）單調(diào)遞減,

/（2）=|>/（0）=0

所以fe（O,2],當(dāng)”0時(shí),/（/）取最大值，沒有最小值,

即當(dāng)f=0時(shí)tan。取最大值，從而。取最大值,

由對(duì)稱性知當(dāng)/=血時(shí)，對(duì)應(yīng)尸點(diǎn)有且僅有兩個(gè)點(diǎn),

所以有且僅有兩點(diǎn)P使二面角B-l-C取得最大值.

故選：D.

V2y2

7.設(shè)耳,工分別為橢圓C:二+=l（a〉6〉0）的左，右焦點(diǎn)，以巴為圓心且過工的圓與尤軸交于另一

a

點(diǎn)、P,與y軸交于點(diǎn)。，線段。區(qū)與C交于點(diǎn)A.己知.AP月與.牝1的面積之比為3:2,則該橢圓的

離心率為（）

D*

人|B.V13-3C.6-1

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可逐步計(jì)算出點(diǎn)A坐標(biāo)，由點(diǎn)A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可

計(jì)算離心率.

【詳解】由題意可得居（—c,。）、與（c,0）,3=2c,

2

則以耳為圓心且過E的圓的方程為（x+c）+/=4c2,

令x=0,則力=±辰，由對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)。在x軸上方，即尸（0,、瓦）

貝Uy-6c=--x,即y=-y/3x+6c,

有S=；義2c義gc=瓜2,貝IsA”=mx后2=乎。2

又s”「上X4c-即有孚/=2%’即"W。，

代入/°&：y=—6%+6。，有^^。=一6.+&，即5=；。,

fl3不\flY

即A—C.——C在橢圓上，故J4，

IJ丁+^^-1

化簡(jiǎn)得82c2+27a2c2=16a2b2,由侵=片—。2,

即有(4-c2)c2+27a2c2=16fl2(?2-c2),

整理得04一44a2c2+16/=0，即e4—44e2+16=0，

有e?=44-"42?16=22_6而螳=44+"42-4><16=22+6而,

22

由22+6屈〉1，故舍去，BPe2=22-6^/13;

則e=,22—6而=’(而—3『=而—3.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率時(shí)，可將已知的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓

基本量a,6,c的方程，利用/=/+62和e=￡轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，通過解方程求得離心率.

a

13

8.設(shè)。=$1110.2,/?=0.16,。=—In—,貝U()

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)造/(x)=sinx—(龍—尤2),無目0,0.2],二次求導(dǎo)，得到單調(diào)性，得到sin0.2—0.16>0,再變

形得至ijc=』ln上山，故構(gòu)造Mx)=，ln(l+x)—In(l—x)]—siiw,x40,0.2],求導(dǎo)得到其單調(diào)性，比

較出c>〃，得到答案.

【詳解】設(shè)/(x)=sira—e[0,0.2],/'(x)=cosx-l+2x,

設(shè)g(x)=/'(x)，g'(x)=-sinx+2>。，所以g(x)]g(0)=°,

所以函數(shù)/(x)在[0,02]上單調(diào)遞增,

所以/(0.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16>/(0)=0,即a”.

,口……1]31,1.211+0.2

根據(jù)已知得c=—In—=—ln—=—In-----，

2220.821-0.2

可設(shè)/z(%)=；[in(1+x)—In(1—尤)]-sinx,x<0,0.2],

則/(x)=±1

二+-COSX=-~COSX>0,

')2ll+x1-x1-X

所以函數(shù)人(可在[0,0.2]上單調(diào)遞增,

所以力(0.2)>.0)=0,即c>a

綜上，c>a>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出

函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知函數(shù)/(x)=sin|x+四1cos|x+四|+sinxcosx,貝！|()

B'點(diǎn)[I'”是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

A.函數(shù)“X)的最小正周期為2兀

JTSJT

C.函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)/(光)的最大值為1

OO

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二倍角公式及輔助角等公式化簡(jiǎn)得到了(%)=等

sin2x+：，借助三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判

斷即可.

71兀.1.In兀71）1.c

【詳解】結(jié)合題意：/(x)=sinXH---COSXH---+smxcosx=—sm2x+—+—sm2x,

442I2J2

1c1?c也

即外力=—cos2%+—sin2x=sin2x+J

22~T

對(duì)于選項(xiàng)A:由/(%)=￥sin2兄+百可得①=2,所以7=@2兀=兀,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

4

對(duì)于選項(xiàng)B:將x=—工代入sin[2x+：j得:

82

^sink71+兀sin0=0,所以點(diǎn)［］,()］是函數(shù)/(可圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,

2

故選項(xiàng)B正確;

71產(chǎn)也sint，

對(duì)于選項(xiàng)C:對(duì)于/(x)=sin2x+—j,令/=2%+四，則

44-2

L,,7711557兀1c71兀3兀6Bjr3冗

因?yàn)閉￡—，所以％=2%+：￡—,而y—在sin/在上單調(diào)遞減,

8'8oo4222

jr5兀

所以函數(shù)〃尤)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)C正確;

OO

對(duì)于選項(xiàng)D:對(duì)于sin2汨,當(dāng)2%+'=2kn+—,keZ,

42

jr1x1=也，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

即x=A兀+可,左,=

22

故選：BC.

10.對(duì)于無窮數(shù)列｛4｝,給出如下三個(gè)性質(zhì)：①卬<0；②對(duì)于任意正整數(shù)都有4+4<q%+S，

對(duì)于任意正整數(shù)”，存在正整數(shù)/,使得%+,>%定義:同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足

性質(zhì)①和③的數(shù)列為常數(shù)列”，則下列說法正確的是()

A.若｛?！埃秊椤皊數(shù)列”，貝M?！保秊閿?shù)歹U”

B.若a“=(-；)"則｛a〃｝為“f數(shù)列”

C.若a“=2〃-3,則｛4｝為“s數(shù)列”

D.若等比數(shù)列｛4｝為發(fā)數(shù)列”則｛q｝為“s數(shù)列”

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)。"=-2〃-3,可判定A錯(cuò)誤；對(duì)于%=(一｝",分”為奇數(shù)和九為偶數(shù)，不存在/eN*，使

得(―3)"'>(—；)"，可判定B錯(cuò)誤；若4=2〃-3,推得滿足①②，可判定C正確；

設(shè)4=(-2)”,取〃=l,s=2,可判定D錯(cuò)誤.

【詳解】設(shè)4=—2〃—3,此時(shí)滿足。］=一2-3=—5<0,

也滿足Vn,5GN*,a〃+s——2(“+s)—3,a“+as——2n—3—2s—3=—2("+s)—6,

即Vn,seN*,an+s>an+as,｛aJ為“s數(shù)列”，

因?yàn)?+r=-2("+/)-3=-2"-2/-3=4-2/<%,所以A錯(cuò)誤；

若為=(一；廠，則4=(一；尸=一(<0,滿足①，

a“+i=(—；嚴(yán)，令(一g嚴(yán)>(一

若“為奇數(shù)，此時(shí)(—；)"<0,存在feN*，且為奇數(shù)時(shí)，止匕時(shí)滿足(—；)>'>0〉(—g)J

若“為偶數(shù),此時(shí)(―；)"〉0,則此時(shí)不存在feN*，使得(—；)"">(—；)"，所以B錯(cuò)誤；

若?！?2〃-3,則?！?2-3=-1<0,滿足①，

Vn,5eN*,an+s=2(n+s)-3,an+as=2"-3+2s-3=2("+s)-6,

因?yàn)?("+s)—3>2(〃+s)—6,所以V〃,seN*,an+s>an+as,滿足②，所以C正確；

不妨設(shè)a“=(-2)",滿足％=—2<0,且V〃eN*，an=(-2)",

當(dāng)“為奇數(shù)，取，=1,使得a〃+1=(—2)"+i>a〃；

當(dāng)”為偶數(shù)，取/=2,使得%+2=(-2)"2〉4,所以｛%｝為“/數(shù)列”，

但此時(shí)不滿足V〃,s￡N*,an+s>an+as,不妨取〃=l,s=2,

—

則％二—2,6i2=4,Q3=8,而4+2=—8<—2+4=q+%,

則｛%｝為“S數(shù)列"，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

11.已知函數(shù)“力及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域均為R,若是奇函數(shù)，/(2)=-/(1)^0,且對(duì)任

意X,yeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f(%)f(y),則()

A.r(l)=1B."9)=0

2020

C.?(k)=lD.㈤=T

k=lk=l

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)賦值法，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進(jìn)行求解即可.

【詳解】令x=y=l,得/(2)=2/⑴/'⑴，因?yàn)椤?)=—/⑴。0,

所以/'。)=—；，所以A錯(cuò)誤；

令y=l,得〃x+l)=〃力廣⑴+廣(力/(1)①,所以〃1—力=〃-)」()+廣(_力〃1),

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以/'(%)是偶函數(shù)，

所以“1—%)=—/(%)/⑴+廣(力/⑴②，由①②，

得〃x+l)=2〃x)/⑴+/(1)=-/(%)-/(I),

即/(x+2)=_/(x+l)_/(x),

所以/(x+3)=_/(x+2)_/(x+l)=/(x+l)+/(x)_/(x+l)=/(%),

所以/(x),/'(九)是周期為3的函數(shù)，所以〃9)=〃0)=0,

20

X“ZH〃1)+〃2)+"3)]X6+[41)+〃2)]=0,

k=l

所以B正確，C錯(cuò)誤；

因?yàn)閺V(2)=/(—1)=/⑴=-g,

在①中令x=0得/(l)=/(O)/'(l)+/'(O)/(l),

所以/'(0)=1,

20

￡>”)=[/⑴+r⑵+r(3)]x6+[/⑴+〃2)]=—i,所以D正確.

k=\

故選：BD.

【點(diǎn)睛】對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)7(%)有：

奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)

偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)

若定義在R上的函數(shù)八％)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為T,則其導(dǎo)函數(shù)/'(九)是周期函數(shù)，且周期也為T

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(x?—2x+2)、=4/Q+qx+，則生=?

【答案】-592

【解析】

【分析】由組合數(shù)以及分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】卜2-2x+2)5表示5個(gè)因數(shù)(f-2%+2)的乘積.而生為展開式中爐的系數(shù)，設(shè)這5個(gè)因數(shù)

(爐―2%+2)中分別取/、一2兀、2這三項(xiàng)分別取，，，上個(gè)，所以，+/+左=5,若要得到含了5的項(xiàng)，則

由計(jì)數(shù)原理知i,j,k的取值情況如下表：

X2-2x2

i個(gè)j個(gè)上個(gè)

050

131

212

由上表可知生=C；(-2)5+C\C：(-27"-3+c3C(-2)1-23-1=-32+(-320)+(-240)=-592.

故答案為：-592.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)上述詳解中的，，/次正確分類，另外一點(diǎn)值得注意的是在分

完類之后，每一類里面還要分步取必、—2%、2這三項(xiàng).

13.將正方形A3CD沿對(duì)角線6D折起，當(dāng)AC=2b時(shí)，三棱錐A-BCD的體積為迪，則該三棱錐外

3

接球的體積為

32兀

【答案】

【解析】

【分析】取3D的中點(diǎn)。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)。為三棱錐外接球的球心，設(shè)Q4=R>0,

NAOC=。e(0,兀)，根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合余弦定理列式求解即可.

【詳解】取的中點(diǎn)。，連接。4OC,

由題意可知OA=OB=OC=OD,即點(diǎn)。為三棱錐外接球的球心，

設(shè)OA=R>0,ZAOC=6>e(0,7i),

因?yàn)?。AL&ZOCLBZ),且。4,0Cu平面OAC,可得8D1平面OAC,

可知三棱錐A—58的體積乙BcL2%。Ac=2xmR彳RxRxsin3‘

即工A，xsin0=生8,可得R3*sin。=46，

33

在,AOC中，由余弦定理可得AC?=042+002—204。。.cos。,

即12=黯+R2—2R.R.cose,即6=在2—尺2cose,

R=2

7?3xsin0=473

聯(lián)立方程《解得＜2兀，

6=R2-R~COS，(7=---

13

44,7r

所以該三棱錐外接球的體積為=

32兀

故答案為:亍

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)正方形的性質(zhì)分析可知：8。的中點(diǎn)。即為三棱錐外接球的球心，進(jìn)而分析求解.

14.正方形A3CD位于平面直角坐標(biāo)系上，其中A(l/)，3(-1/)，C(-l,-l),￡>(1-1).考慮對(duì)這個(gè)正方

形執(zhí)行下面三種變換：(1)L-.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.(2)R：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。.(3)S：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.上述

三種操作可以把正方形變換為自身，但是A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)所在的位置會(huì)發(fā)生變化.例如，對(duì)原正方

形作變換R之后，頂點(diǎn)A從(1,1)移動(dòng)到(1,T),然后再作一次變換S之后，A移動(dòng)到(T,l).對(duì)原來的正方

形按內(nèi),a2,L,4的順序作人次變換記為q%外,其中qe{L,R,S},i=l,2,.如果經(jīng)過上次

變換之后，頂點(diǎn)的位置恢復(fù)為原來的樣子，那么我們稱這樣的變換是心恒等變換.例如，RRS是一個(gè)3-恒

等變換.則3-恒等變換共種；對(duì)于正整數(shù)〃，恒等變換共種.

【答案】①.6②.3，(T)"+3：

4

【解析】

【分析】根據(jù)3-恒等變換必定含S可列舉求解；作用一次S變換相當(dāng)于兩次L變換；作用一次7?變換相當(dāng)于

三次L變換.我們記L為數(shù)字1,S為數(shù)字2,R為數(shù)字3,作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字.那么如果

作了幾次變換44?！?其中包含。個(gè)L、q個(gè)S、r個(gè)R),當(dāng)夕+2q+3r是4的倍數(shù)時(shí)，就能得到一個(gè)

聯(lián)恒等變換.我們假設(shè)作了〃次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0,1,2,3的情況數(shù)分別為4,

b“，c”,4.求得a“=bn_x+c“_i+d『i，b“=+cn_x+dn_x,cn=4T+bn_x+dn_,,dn=4T+bn_,+cn_x,

從而可得a“+i=2a“+3a,i，利用構(gòu)造法求得+a“=3",從而有(―1)向?！?1-(—1)"4=-(一3)",再利

3.(-1)"+3”

用累加法求得an=，二.

【詳解】3-恒等變換必定含S,所以一共有ZZS,LSL,SLL,RRS,RSR,SRR這6種3-恒等變換；

注意到，作用一次S變換相當(dāng)于兩次L變換；作用一次R變換相當(dāng)于三次L變換.我們記L為數(shù)字1,S為

數(shù)字2,R為數(shù)字3,作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字.那么如果作了〃次變換冊(cè)(其中包含。個(gè)

L、q個(gè)S、/個(gè)R),當(dāng)。+2q+3r是4的倍數(shù)時(shí)，就能得到一個(gè)恒等變換.我們假設(shè)作了幾次變換之

后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0,1,2,3的情況數(shù)分別為a“，bn,cn,dn.

把這n次變換分解成n-l次變換和第n次變換，

假設(shè)經(jīng)過幾次變換之后余數(shù)為0.如果經(jīng)過n-1次變換后的余數(shù)是0,則第〃次變換余數(shù)不可能為0；如果

經(jīng)過n-l次變換后的余數(shù)分別是1,2,3,則第九次變換余數(shù)必須分別為3,2,1.其他完全類似，因此

aC

n~bn_i+n_1+dn_[,

aC

b"=n-l+n-1+*_[,

Ca

n=n-\+b"_[+dnl,

4,=*+%+*.

把后三個(gè)式子相加可得〃+cn+dn=34_]+2(%+*+或_1)，

代入第一個(gè)式子可得?！?1=2?！?3a,i,oan+1+an=3(%+*).

所以{4+1+為}是公比為3的等比數(shù)列.

己經(jīng)算出。3=6，而2-恒等變換有LR,RL,SS這三種，故。2=3.因此，%+4=9,從而

,!-2H-2

an+l+an=(a3+?2)x3=9x3=3".

兩邊同乘(—1嚴(yán),可得(―1嚴(yán)—(―1)"?！?—(―3)".

根據(jù)累加法可得(—1)'%—(—1)24=—3)&=3)-2)=_9-(-3)-

1-(-3)

故答案為：6；3，(T)"+3"

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：

這道題的關(guān)鍵是要注意到作用一次S變換相當(dāng)于兩次L變換；作用一次R變換相當(dāng)于三次L變換.我們記

L為數(shù)字1,S為數(shù)字2,R為數(shù)字3,作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字.那么如果作了〃次變換4為an

(其中包含2個(gè)L、夕個(gè)S、廠個(gè)A),當(dāng)。+2q+3r是4的倍數(shù)時(shí)，就能得到一個(gè)恒等變換.假設(shè)作了

〃次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0,1,2,3的情況數(shù)分別為bn,cn,4,.把這〃次變換

分解成n—1次變換和第〃次變換，從而得到an=bn_x+cn_x+dn_x,bn=an_x+cn_1+dn_{,

J=，〃一i+bn_]+dn_{,dn—ctni+bn_i+cn_],進(jìn)而得到"〃+i—2a〃+3a.T，至此思路就清晰明朗了.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=asin2x+cos2x,且/--.

(1)求函數(shù)八％)的解析式;

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)Z]=-2—4i,Z2=—2+/(f)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,求；。鉆

面積的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=-2sin[2x-巳]；

(2)[2,6].

【解析】

【分析】(1)根據(jù)-B是/(%)的對(duì)稱軸，結(jié)合對(duì)稱軸處/(%)取得最值，計(jì)算即可；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，建立三角形面積關(guān)于/的三角函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)值域即可.

【小問1詳解】

V/(x)<聿)，即當(dāng)》=一巳時(shí)函數(shù)/(%)取到最值，

又7(x)=asin2尤+cos2x=^cr+lsin(2x+。)<J"+1>

其中tane=—(aH0),

=6t2+1,代入得asin21一￡]+cos21一=a2+1,

，出lY2

即----ciH—=a~+l,解得(Q+A/^)=0?a=-y/3

、22J

/(x)=-V3sin2x+cos2x=-2sin12x—：)；

【小問2詳解】

由⑴可得：/(x)=-2sin^2x-^,

由復(fù)數(shù)的幾何意義知：4(—2,T),B(-2,/(r))

???SAABC=1x2x|AB|=\AB\=|/(/)+4|=-2sin+4,

7T7T7L

當(dāng)2,——=2kji——,keZ,即，=E--，時(shí)，So”有最大值6；

626

TTTTTT

當(dāng)2%—=2kitT—,keZ,即1=EH—,左cZ時(shí)，S0AB有最小值2；

623

,,^AOAB￡[2,6].

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，B4_L平面A3CD,AD±CD,AD//BC,BC=4,

K4=AD=CD=2,點(diǎn)E為尸。的中點(diǎn).

(2)求點(diǎn)8到直線ED的距離；

(3)求直線依與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵2&

(3)逅

3

【解析】

【分析】(1)取PB的中點(diǎn)產(chǎn)，證得麻//AD且歷=A￡>,得到以四邊形ADE尸為平行四邊形，得出

DE//AF,結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；

(2)取的中點(diǎn)G,證得PAJ_AD,PAJ_AG,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量

DB=(2,-4,0),DE=(1,-1,1),結(jié)合1=|。3卜也。3,。石，即可求解；

(3)由(2)中的空間直角坐標(biāo)系，求得向量產(chǎn)5=(2,—2,—2)和平面PCD的一個(gè)法向量為“=(0,1,1),

結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：取P3的中點(diǎn)尸，連接因?yàn)镋為尸C的中點(diǎn)，所以EF//BC,

又因?yàn)?C//A。且AO=^8C,所以呼//AD且石戶=A。，

2

所以四邊形ADE尸為平行四邊形，所以。石//",

因?yàn)槠矫鍾IB,Mu平面？A3,所以DE//平面？A3

【小問2詳解】

解：取的中點(diǎn)G,連接AG,因?yàn)锳D//3C且40=工3。，

2

所以AO//CG且AO=GC,所以四邊形AOCG為平行四邊形，所以CD//AG,

因?yàn)锳DLCD,所以ADLAG,

又因?yàn)镽4J_平面A3CD，4。,47匚平面人3。。，所以。A_!A￡>,PAJ.AG,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AG,AD,AP所在的直線分別為蒼y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，可得3(2,—2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),則E(l,l,l),

所以￡>3=(2,—4,0),DE=(1,—1,1),貝/。q=(2,—4,0)=2追

DBDE3-J6

可得8503,0石=言^=小，所以sinDB,。石=[=，

\DB\\DE\，15V15

則點(diǎn)B到直線ED的距離為sinDB,DE=2顯底=272.

11V15

【小問3詳解】

解：由(2)中的空間直角坐標(biāo)系，可得P(0,0,2),

所以P5=(2,-2,-2),DP=(0,-2,2),DC=(2,0,0),

n-DP=-2y+2z=0

設(shè)平面PCZ)的法向量為〃=(x,y,z),則<，

n-DC=2x=0

取y=i,可得x=o,z=i,所以〃=(o,i,i),

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為。，

II\nPB1-2-2176

則sin3=cosn,PB\=L-——=-L-----L=,

11\n\\PBV2X2A/33

所以直線P3與平面PC。所成角的正弦值為好.

3

17.某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了

更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問卷

調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有;的人計(jì)劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊

花文化節(jié)”的游客記1分，兩個(gè)文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計(jì)劃是

否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率.

(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望；

(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計(jì)劃免費(fèi)向

到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市提供的這兩

44

種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為二，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選

擇“單車自由行”的概率為,，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為工，如

43

此往復(fù).

(i)求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；

(ii)求甲第九(〃=1,2,L,16)天選擇“單車自由行”的概率只，并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”

的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).

【答案】(1)4(2)(i)-；

3

【解析】

【分析】(1)由合計(jì)得分可能的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，再由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；

(2)(i)利用互斥事件加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式求概率.；

(ii)由題意，求匕與月」的關(guān)系，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求出〃，再由匕求出對(duì)應(yīng)的機(jī)

【小問1詳解】

21

由題意，每位游客得1分的概率為:，得2分的概率為占，

隨機(jī)抽取三人，用隨機(jī)變量X表示三人合計(jì)得分，則X可能的取值為3,4,5,6,

P（X=

P（X=5）=C；x

所以三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為4.

【小問2詳解】

41

第一天選擇“單車自由行”的概率為彳，則第一天選擇“觀光電車行”的概率為《，

若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為--

4

若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為工，則后一天選擇“單車自由行”的概

3

率為3,

41121

(i)甲第二天選擇“單車自由行''的概率尸=《X-----1——X—=—?

4533

4

(ii)甲第〃(〃=1,2,,16)天選擇“單車自由行”的概率匕，有4=1，

1952

貝?Pn=~^Pn-l+-=^-1+~(〃=2,3,…,16),

??七-2=-露心「2;

P--

又???丹-包=生。，(

72)

1n=2,3,,16,

1785p8121

Q1285

???數(shù)列門一二是以一為首項(xiàng)，以為-一公比的等比數(shù)列，

由題意知，需匕>i—匕，即匕>5，

828f5丫t15丫-85康(〃)

----1-——.......>—,即|-------->----------==1,2,,16,

1785112)2112)34x28

顯然〃必為奇數(shù)，偶數(shù)不成立，

當(dāng)〃=1,3,5,』5時(shí)，有［9丫>Y_=W即

可，

U2J34x2856

”=1時(shí)，1〉工成立；

56

仙f5Y25255-

〃=3時(shí)，一=>---=——成山

{12J14428056

［5丫—625_625<625_5

〃=5時(shí)，［12)144x14420736'700056，則〃=5時(shí)［9］>2-不成立,

(12)56

又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以〃>5時(shí),>3不成立.

156

綜上，16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù)只有2天.

52

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是利用全概率公式得到匕=-五月_i+§,從而利用數(shù)列的

相關(guān)知識(shí)求得匕，從而得解.

22

18.己知橢圓。：土+匕=1,是橢圓外一點(diǎn)，過尸作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為

164

直線MN與直線0P交于點(diǎn)Q,A,B是直線0P與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn).

（1）求直線0P與直線肱V的斜率之積;

（2）求_41加面積的最大值.

【答案】⑴一I

⑵6A/3

【解析】

【分析】（1）設(shè)P（Xo，〉o），Ng,%）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得橢圓的切線方程，從而可

得/“N：$+早=1，再根據(jù)斜率