海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末-數(shù)學(xué)

海淀區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

高三數(shù)學(xué)2024.01

本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無

效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求

的一項O

(I)已知集合。={1,2,3,4,5,6),4={1,3,5},B={1,2,3),則［"門8)=

(A)(2,4,5,6}(B){4,6}

(C)(2,4,6}(D)(2.5,6)

(2)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4,z?對應(yīng)的點分別為4,4，則復(fù)數(shù)與；Z2的母

虛部為

(A)-i(B)-I

(C)-3i(D)-3

(3)已知直線L：x+會=l,直線J2x-ay+2=0,U./,///,.貝1］。=

(A)1(B)-1

(C)4(D)-4

(4)已知拋物線C：爐=8x的焦點為￡點〃在C上，IMFI=4,。為坐標(biāo)原點，則IMOI=

(A)472(B)4

(05(D)2/5

(5)在正四棱錐P-ABCD'V，AB=2,二面角P-CD-A的大小為9，則該四棱錐的體積為

4

(A)4(B)2

(C)y(D)y

(6)已知。C：F+2X+/-1=0,直線〃a+〃(y-l)=0與。。交于48兩點.若△/8C為直角

三角形，則

(A)mn=0(B)〃［-〃=0

(C)m+n=()(I))nr-3/72=0

高三年級(數(shù)學(xué))第1頁(共6頁)

(7)若關(guān)于丫的方程1。8/-"=0(。>0且。工1)有實數(shù)解，則a的值可以為

(A)10(B)e

(C)2(D)T

,,

(8)已知直線/八(的斜率分別為自,Q傾斜角分別為%,a2,WOcos(al-a2)>0"是

“人>0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)已知{%}是公比為)的等比數(shù)列，S.為其前〃項和.若對任意的〃CN*,恒成

1-<7

立，則

(A){a?}是遞增數(shù)列(B){??)是遞減數(shù)列

(C){SJ是遞增數(shù)列(D)(SJ是遞減數(shù)列

(10)蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用

材面積最小的結(jié)構(gòu).右圖是一個蜂房的立體模型，底面尸是

正六邊形，棱/G,BH,CI,DJ,EK,尸乙均垂直于底面

上頂由三個全等的菱形PGH1,P1JK,PKLG構(gòu)成.設(shè)8c=I,

乙GP1=/JPK=ZJCPG=。*109。28',則上頂?shù)拿娣e為

(參考數(shù)據(jù)：cos6=-f,tan《=J^)

(A)2^/2(B

(C)竽(D)乎

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在(4-工)5的展開式中，x的系數(shù)為

X

(12)已知雙曲線產(chǎn)-,町，2=1的一條漸近線為Jix7=0,則該雙曲線的離心率為

高三年級(數(shù)學(xué))第2頁(共6頁)

(13)已知點力，B,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小

正方形的邊長為1,則亞?比=;點C到直線的距

離為.

(14)已知無窮等差數(shù)列佃“)的各項均為正數(shù)，公差為乙則能使得

+i為某一個等差數(shù)列0｝的前〃項和(〃=1,2,…)的一組

,d的值為a,=,d=.

(15)已知函數(shù)/(x)=|cosx+a|.給出下列四個結(jié)論：

①任意aCR,函數(shù)/(x)的最大值與最小值的差為2；

②存在aWR,使得對任意xGR,/(x)+/E-x)=2a；

③當(dāng)axO時，對任意非零實數(shù)x,/(x+/)w/(^-x)；

④當(dāng)a=0時，存在76(0,兀)，x0ER,使得對任意〃CZ,都有/(X。)=/區(qū)+〃7).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

如圖，在四棱柱中，側(cè)面4854是正方形，平面188/1平面/8CD,

AB//CD,AD=DC=—AB,M為線段48的中點，AD1B.M.

(I)求證：G/〃平面力。。4；

(n)求直線“G與平面”片G所成角的正弦值.

高三年級(數(shù)學(xué))第3頁(共6頁)

（17）（本小題14分）

在△中，2ccosA=2b-a.

（I）求乙C的大??；

（n）若。=",再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△/8C存在,

求/C邊上中線的長.

條件①：△/8。的面積為2仃；

條件②：sinB-sinA=—;

2

條件③：b2-2a2=2.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

（18）（本小題13分）

甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分

（單位：分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙913812141179121()

丙121191111998911

（I）從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率;

（n）在上述io場比賽中，從甲得分不低于io分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)x表示乙得分大于

丙得分的場數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（ni）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述io場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲

勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)匕為甲獲勝的場數(shù)，為為乙

獲勝的場數(shù)，丫3為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差。（匕），D（Y2）,￡＞（%）的大小關(guān)系.

高三年級（數(shù)學(xué)）第4頁（共6頁）

(19)(本小題15分)

已知橢圓E：芯+，=1(。>6〉0)過點彳(3,0),焦距為2?.

(I)求橢圓E的方程，并求其短軸長；

(n)過點內(nèi)1.0)且不與X軸重合的直線/交橢圓E于兩點C,D,連接。。并延長交橢圓E于

點、M,直線/"與/交于點N,。為。。的中點，其中。為原點.設(shè)直線N。的斜率為4,

求k的最大值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ax2-xsin.r+6.

(I)當(dāng)4=】時,求證：

①當(dāng)x>0時，f(x)>b；

②函數(shù)/(X)有唯一極值點；

(n)若曲線c,與曲線c2在某公共點處的切線重合，則稱該切線為G和c2的“優(yōu)切線”.若曲

線y=/(x)與曲線y=-COST存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求a,b的值.

高三年級(數(shù)學(xué))第5頁(共6頁)

(21)(本小題15分)

對于給定的奇數(shù)m(加23),設(shè),是由帆xm個實數(shù)組成的加行加列的數(shù)表，且，中所

有數(shù)不全相同，力中第i行第/列的數(shù)為G{-1,1},記r(i)為/的第i行各數(shù)之和，c⑺為

A的第/列各數(shù)之和，其中z,7G{1,2,…，沉).記/(/)=*-IND+M；)+…+NMI.設(shè)集合

“={(i,J)<0或他?，(/)<(),iJCU,2,…，川},記〃(/)為集合〃所含元素的個數(shù).

(I)對以下兩個數(shù)表4,A2,寫出/(4),“(4),/(4)，H(A2)的值；

11111-1-1111

1111-1-1111-1

111-1-1111-1-1

11-1-1-111-1-1-1

1-1-1-1-11-1-1-1-1

44

(H)若N1),尸⑵，…,r(m)中恰有s個正數(shù)，c(l),c⑵；…,c(加)中恰有Z個正數(shù).

求證：H(A)Nml+ms—2的；

(in)當(dāng)m=5時，求4寒的最小值.

/(4)

高三年級(數(shù)學(xué))第6頁(共6頁)

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高三數(shù)學(xué)參考答案

一'選擇題（共10小題,每小題4分,共40分）

(1)A(2)D(3)B(4)D(5)C

(6)A(7)D(8)B(9)B(10)D

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)-5(12)2

(13)-1—(14)11（答案不唯一）

5

(15)②?

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：（I）連接AD\.

在四棱柱中，側(cè)面CDAG為平行四邊形，

所以C'DJ/CD,C、DI=CD.

因為A8〃C￡）,CD=-AB,M為AB中點,

2

所以CD〃/W,CD=AM.

所以C|R〃AM,CQi=AM.

所以四邊形為平行四邊形.

所以MCJ/AD].

因為GMU平面AORA，

所以GM〃平面AZ）AA.

（H）在正方形ABB[4中，A^IAB.

因為平面ABB^1平面ABCD,

所以的_L平面ABCD.

所以44,J.AD.

因為B|Mu平面4“與441相交,

高三年級（數(shù)學(xué)）參考答案第1頁（共9頁）

所以4。_1平面488出.

所以AO_LAB.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-qz.

不妨設(shè)A￡>=1,則

A(0,0,0),C,(1,2,1),B,(0,2,2),A/(O,O,1).

所以AC；=(1,2,1),qX=(-1,0,1)，

A/q=(1,2,0).

設(shè)平面的法向量為”=(x,y,z)，貝iJ

〃?汨=0,即1-x+z=0,

n-MC[=0,'[x+2y=0.

令x=2,則y=-l,2=2.于是"=(2,-1,2).

因為cos<AC|,n>=AQ"—=,

|AC,|.|?/9

所以直線AG與平面歷5G所成角的正弦值為骼.

高三年級（數(shù)學(xué)）參考答案第2頁（共9頁）

(17)(共14分)

解：(I)由正弦定理一二一=―-—=―-—及2ccosA=，得

sinAsin3sinC

2sinCcosA=2sinB-sinA.①

因為A+8+C=7t,

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.②

由①②得2sinAcosC-sinA=0.

因為Ae(0,兀)，所以sinAw0.

所以cosC=—.

2

因為Cw(0,n)9

所以C

3

(II)選條件②：sinB-sinA=—.

2

由(I)知，ZB=7t---ZA=--ZA.

33

所以sin8-sinA=sin(--A)-sinA

3

1

73-1.A?入6A-A

=——cosA+—sinA-sinA=——cosA——sinA

2222

=sin(^-A)?

所以sing-AX；.

因為Aw(0,寺),所以Aw(-—).

所以四_A=E,即4=4.

366

所以AABC是以AC為斜邊的直角三角形.

因為c=6>

所以AC=-^=正=2.

sinC.兀

sin—

3

高三年級（數(shù)學(xué)）參考答案第3頁（共9頁）

所以AC邊上的中線的長為1.

選條件③：b2-2a2=2.

由余弦定理得-必=3.

設(shè)4c邊上的中線長為d,由余弦定理得

d2=a2+-——-2cosC

42

2b2ab

=a"4---------------

42

b1a2+b2-3

2=a~-\-------------------

42

=1.

所以AC邊上的中線的長為1.

（18）（共13分）

解：（I）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場,

第8場，第10場.

設(shè)A表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則

（H）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場,

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙

得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

1「Iz"?loz^Ox-?2、

p（x=o）=-^A=—,p（x=1）=-^-=—,p（x=2）=^~A=-.

C；15C；15C；5

所以X的分布列為

X012

182

P

15155

151553

（III）哪）＞。（匕）＞。（匕）.

高三年級（數(shù)學(xué)）參考答案第4頁（共9頁）

（19）（共15分）

解：（I）由題意知〃=3,2c—2y/5.

所以0=正，b2=a2—c2=4.

22

所以橢圓E的方程為二+匕=1,其短軸長為4.

94

(II)設(shè)直線CD的方程為“=陽+1,C(X1,yt),。(孫＞2)，則M(-為,-

x2y2_

由，亍+彳=1'得（4；?2+9）y2+8畋-32=0.

x=my+1

一87n

所以M+乃=

4m2+9

由A(3,0)得直線AM的方程為y=」一(x-3).

玉+3

y=t；（x-3）-2yx

由"西+3=-----!—

3+x.-zny.

x=my+1

因為占=my/+l,

所以y=（,*=?/+1=空.

所以N（守,_9.

因為。為0D的中點，且々=my2+1，

所以屋宇亭.

所以直線NQ的斜率

互+叢-8m

k=22=y2+兇=4/+9=8m

22

my2+\2-my|w（y2+yi）-l-8/M12/n+9

T~~4^79-

當(dāng)時，k<0.

高三年級(數(shù)學(xué))參考答案第5頁(共9頁)

當(dāng)機(jī)＞0時,

因為12m+2z2j時=12萬，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=3時，等號成立.

m2

所以］=Is童.

12m2+99

所以當(dāng)機(jī)=3時，及取得最大值2叵.

29

(20)(共15分)

解：(I)①當(dāng)a=1時，f(x)=x2-xsinx+b=x(x-sinx)+ft.

記g(x)=x-sinx(x>0),貝I]g'(x)=l-cosxN0.

所以g(x)在[0,+8)上是增函數(shù).

所以當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)=0.

所以當(dāng)x>0時，f(x)=x(x-sinx)+b>.

②由/(x)=x?-xsinx+b得f'(x)=2x-sinx-xcosx,且/'(0)=0.

當(dāng)x>0時，f\x)=x(l-cosx)+x-sinx.

因為1-cosxNO,x-sinx>0,

所以_T(x)>0.

因為/'(-x)=對任意xwR恒成立，

所以當(dāng)x<0時，f\x)<0.

所以0是f(x)的唯一極值點.

(II)設(shè)曲線y=f(x)與曲線y=-cosx的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點的橫坐標(biāo)

分別為內(nèi)，上，其斜率分別為乙，&,則%鬲=-1?

因為(-cosx)，=sinx,

所以sin玉sin^=kxk2=-1.

所以{sin』,sinx2)={-1,1}.

不妨設(shè)sinX]=l,則芭=24九+],kGZ.

因為K=7'(X])=2ar]-sin玉一玉cos玉，

由“優(yōu)切線”的定義可知2oT]-sinX]-xcosjq=sinjq.

高三年級（數(shù)學(xué)）參考答案第6頁（共9頁）

1?

所以a=—=------,2￡Z.

X]4女九+兀

由“優(yōu)切線”的定義可知」??x；-玉sin%+b=-cos玉，

玉

所以6=0.

當(dāng)〃=―-—,ZeZ,〃=0時，取用=2攵兀+工，％=-2左兀一四，貝IJ

42兀+九12飛2

/(玉)=-cos玉=0,/(x2)="cosx2=0,f'(Xj)=sinxx=1,/'(-^)=sinx2=-1,

符合題意.

2

所以a=---,AeZ,b=0.

4kn+n

(21)(共15分)

解：

(I)y(A)=io,”(A)=i2；f(4)=i2,”(4)=i5.

由定義可知：將數(shù)表A中的每個數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行(列)，"(A),/(A)

的值不變.因為“1為奇數(shù)，a(>e｛-l,l｝,所以/"⑴,“2),…,r(m),c⑴,c(2),…,c(/n)均

不為0.

(II)當(dāng)sw｛0,m｝或，w｛0,m｝時,不妨設(shè)s=0,B[Jr(z)<0,i=l,2,…,m.

若"0,結(jié)論顯然成立；

若，w0,不妨設(shè)c(j)>0,j=,則i=l,2,…,zn,j=\,2,---,t.

所以”(A)N而，結(jié)論成立.

當(dāng)s任｛0,刈且/任｛0,,〃｝時，不妨設(shè)/Xi)〉。，i=l,2,…,s,c(y)>0,j=1,2,--,t,

則